Propuesta A

Ejercicio 1

a) La función objetivo es el tiempo total de montaje, que queremos minimizar. Si llamamos x al número de bicicletas de paseo e y al número de bicicletas de montaña, y dado que el montaje de una bicicleta de paseo tarda 1 hora y el de una de montaña 2 horas, la función objetivo es:

$$\text{Minimizar } Z = 1x + 2y$$

b) Las restricciones del problema, expresadas como inecuaciones, son:

• Bicicletas de paseo entre 1 y 2: $1 \\le x \\le 2$
• Bicicletas de montaña entre 3 y 6: $3 \\le y \\le 6$
• Triple de bicicletas de paseo más las de montaña debe ser al menos 9: $3x + y \\ge 9$

Para representar gráficamente el recinto, dibujamos las rectas correspondientes a cada inecuación y sombreamos la región factible que cumple todas las restricciones.

1. $x = 1$ (recta vertical)
2. $x = 2$ (recta vertical)
3. $y = 3$ (recta horizontal)
4. $y = 6$ (recta horizontal)
5. $3x + y = 9 \\Rightarrow y = -3x + 9$ (recta con pendiente negativa)

La región factible es la intersección de todos los semiplanos definidos por las inecuaciones. Se observa que es un polígono convexo.

c) Para encontrar el mínimo tiempo, evaluamos la función objetivo en los vértices de la región factible. Los vértices son los puntos de intersección de las rectas que definen las restricciones:

• Intersección de $x = 1$ y $y = 6$: (1, 6)
• Intersección de $x = 2$ y $y = 6$: (2, 6)
• Intersección de $x = 2$ y $3x + y = 9 \\Rightarrow y=-3(2)+9= 3$: (2, 3)
• Intersección de $x = 1$ y $3x + y = 9 \\Rightarrow y=-3(1)+9= 6$: (1,6)

Evaluamos la función objetivo $Z = x + 2y$ en cada vértice:

• (1, 6): $Z = 1 + 2(6) = 13$
• (2, 6): $Z = 2 + 2(6) = 14$
• (2, 3): $Z = 2 + 2(3) = 8$

El tiempo mínimo se alcanza en el vértice (2, 3), con un valor de 8 horas. Por lo tanto, se deben montar 2 bicicletas de paseo y 3 bicicletas de montaña para cumplir las condiciones en un tiempo mínimo de 8 horas.

Ejercicio 2

a) Sea x el número de acciones compradas de la empresa A, y el número de acciones de la empresa B, y z el número de acciones de la empresa C. Podemos plantear el siguiente sistema de ecuaciones:

• Gasto total: $20x + 25y + 40z = 7000$
• Acciones de A son la mitad de la suma de B y C: $x = \\frac{1}{2}(y + z) \\Rightarrow 2x = y + z \\Rightarrow 2x - y - z = 0$
• Total de acciones: $x + y + z = 255$

El sistema de ecuaciones es:

$$\begin{cases} 20x + 25y + 40z = 7000 \\ 2x - y - z = 0 \\ x + y + z = 255 \end{cases}$$

b) Resolvemos el sistema. Podemos simplificar la primera ecuación dividiendo por 5:

$$\begin{cases} 4x + 5y + 8z = 1400 \\ 2x - y - z = 0 \\ x + y + z = 255 \end{cases}$$

Sumando la segunda y tercera ecuación, obtenemos: $3x = 255 \\Rightarrow x = 85$.

Sustituyendo x = 85 en la segunda y tercera ecuación:

$$\begin{cases} 2(85) - y - z = 0 \\ 85 + y + z = 255 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 170 - y - z = 0 \\ y + z = 170 \end{cases}$$

Ambas ecuaciones son equivalentes.

Usamos ahora la primera ecuación y sustituimos $x= 85$ $4(85)+5y+8z=1400$ $340+5y+8z=1400$ $5y+8z=1060$ Como $y+z=170$, entonces $y=170-z$ Sustituimos $5(170-z)+8z=1060$ $850-5z+8z=1060$ $3z=210$ $z=70$ $y=170-70=100$

Por lo tanto, se compraron 85 acciones de la empresa A, 100 acciones de la empresa B y 70 acciones de la empresa C.

Ejercicio 3

a) Para que la función sea continua en $x = 1$, los límites laterales deben ser iguales al valor de la función en ese punto. Es decir:

$$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)$$

Calculamos los límites laterales:

$$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (4x - t) = 4(1) - t = 4 - t$$ $$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} ((x - 2)^2 + t) = (1 - 2)^2 + t = 1 + t$$

Igualamos los límites:

$$4 - t = 1 + t$$ $$3 = 2t$$ $$t = \frac{3}{2}$$

Para que f(x) sea continua en x = 1, t debe ser igual a 3/2.

b) Para $t = 0$, la función es:

$$f(x) = \begin{cases} 4x & \text{si } x \le 1 \\ (x - 2)^2 & \text{si } x > 1 \end{cases}$$

Para representarla gráficamente, dibujamos cada parte en su intervalo correspondiente:

• Para $x \\le 1$, $f(x) = 4x$ es una recta que pasa por el origen (0, 0) y el punto (1, 4).
• Para $x > 1$, $f(x) = (x - 2)^2$ es una parábola con vértice en (2, 0) que se abre hacia arriba. Como solo consideramos la parte a la derecha de x = 1, dibujamos solo esa rama de la parábola.

La gráfica es una línea recta hasta x=1, y a partir de este punto, una parábola.

Ejercicio 4

Sabemos que G(x) tiene un punto de inflexión en (2, -44). Esto significa que la segunda derivada de G(x) es cero en x=2, y que G(2) = -44. También sabemos que G(x) tiene un mínimo relativo en x=6, lo que implica que la primera derivada de G(x) es cero en x=6.

Primero, calculamos las derivadas de $G(x) = ax^3 + bx^2 + cx$:

$$G'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$$ $$G''(x) = 6ax + 2b$$

Usamos la información del punto de inflexión:

1. $G''(2) = 0 \\Rightarrow 6a(2) + 2b = 0 \\Rightarrow 12a + 2b = 0 \\Rightarrow 6a + b = 0$
2. $G(2) = -44 \\Rightarrow a(2)^3 + b(2)^2 + c(2) = -44 \\Rightarrow 8a + 4b + 2c = -44 \\Rightarrow 4a + 2b + c = -22$

Usamos la información del mínimo relativo:

3. $G'(6) = 0 \\Rightarrow 3a(6)^2 + 2b(6) + c = 0 \\Rightarrow 108a + 12b + c = 0$

Ahora tenemos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:

$$\begin{cases} 6a + b = 0 \\ 4a + 2b + c = -22 \\ 108a + 12b + c = 0 \end{cases}$$

De la primera ecuación, $b = -6a$. Sustituimos en las otras dos ecuaciones:

$$\begin{cases} 4a + 2(-6a) + c = -22 \\ 108a + 12(-6a) + c = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -8a + c = -22 \\ 36a + c = 0 \end{cases}$$

Restamos la primera ecuación de la segunda:

$$44a = 22 \Rightarrow a = \frac{1}{2}$$

Sustituimos a en $b = -6a$:

$$b = -6\left(\frac{1}{2}\right) = -3$$

Sustituimos a en $36a + c = 0$:

$$36\left(\frac{1}{2}\right) + c = 0 \Rightarrow 18 + c = 0 \Rightarrow c = -18$$

Por lo tanto, los valores de los parámetros son: $a = \\frac{1}{2}, b = -3, c = -18$.

Ejercicio 5

a) Sean los sucesos:

• L: Ser aficionado a la lectura.
• C: Ser aficionado al cine.

Tenemos las siguientes probabilidades:

• P(L) = 0.40
• P(C) = 0.50
• P(L ∪ C) = 0.70

Queremos encontrar la probabilidad de que le guste la lectura y el cine, es decir, $P(L \\cap C)$. Usamos la fórmula de la probabilidad de la unión:

$$P(L \cup C) = P(L) + P(C) - P(L \cap C)$$

Despejamos $P(L \\cap C)$:

$$P(L \cap C) = P(L) + P(C) - P(L \cup C) = 0.40 + 0.50 - 0.70 = 0.20$$

La probabilidad de que a un habitante elegido al azar le guste la lectura y el cine es 0.20 o 20%.

b) Queremos encontrar la probabilidad de que le guste la lectura dado que le gusta el cine, es decir, $P(L|C)$. Usamos la fórmula de la probabilidad condicional:

$$P(L|C) = \frac{P(L \cap C)}{P(C)} = \frac{0.20}{0.50} = 0.40$$

La probabilidad de que a un habitante que le gusta el cine también le guste la lectura es 0.40 o 40%.

Ejercicio 6

a) Se trata de un intervalo de confianza para la media poblacional con desviación típica poblacional conocida. Los datos son:

• Desviación típica poblacional: $\\sigma = 15$
• Tamaño de la muestra: $n = 400$
• Media muestral: $\\bar{x} = 110$
• Nivel de confianza: $1 - \\alpha = 0.95 \\Rightarrow \\alpha = 0.05$

El valor crítico $z_{\\alpha/2}$ correspondiente a un nivel de confianza del 95% es 1.96 (se busca en la tabla de la distribución normal estándar el valor que deja un área de 0.025 a su derecha).

La fórmula del intervalo de confianza es:

$$\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

Sustituimos los valores:

$$110 \pm 1.96 \cdot \frac{15}{\sqrt{400}} = 110 \pm 1.96 \cdot \frac{15}{20} = 110 \pm 1.47$$

El intervalo de confianza es $(108.53, 111.47)$.

b) El ancho del intervalo de confianza depende del nivel de confianza y del tamaño de la muestra (y de la desviación típica, que en este caso es constante).

• Si aumentamos el nivel de confianza, el valor crítico $z_{\\alpha/2}$ aumenta, y por lo tanto, el intervalo de confianza se hace más ancho. Esto se debe a que para tener mayor confianza en que el intervalo contiene la media poblacional, necesitamos un intervalo más amplio.
• Si disminuimos el nivel de confianza, el valor crítico $z_{\\alpha/2}$ disminuye, y por lo tanto, el intervalo de confianza se hace más estrecho. A menor confianza, menor amplitud del intervalo.

c) Para determinar si se puede admitir que la media poblacional es de 111 kg/cm² con una confianza del 95%, verificamos si este valor está dentro del intervalo de confianza que calculamos en el apartado (a).

El intervalo de confianza al 95% es (108.53, 111.47). El valor 111 está dentro de este intervalo. Por lo tanto, sí se puede admitir que la media de resistencia del material pueda ser de 111 kg/cm² con una confianza del 95%.

Propuesta B

Ejercicio 1

a) Calculamos A²: A^2 = A \\cdot A = \\begin{pmatrix} 2 & 7 \\\\ -1 & -3 \\end{pmatrix} \\cdot \\begin{pmatrix} 2 & 7 \\\\ -1 & -3 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} (2)(2) + (7)(-1) & (2)(7) + (7)(-3) \\\\ (-1)(2) + (-3)(-1) & (-1)(7) + (-3)(-3) \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} -3 & -7 \\\\ 1 & 2 \\end{pmatrix}

Calculamos A⁻¹ utilizando la fórmula para la inversa de una matriz 2x2: Si A = \\begin{pmatrix} a & b \\\\ c & d \\end{pmatrix}, entonces A^{-1} = \\frac{1}{ad-bc}\\begin{pmatrix} d & -b \\\\ -c & a \\end{pmatrix}. En nuestro caso, $ad - bc = (2)(-3) - (7)(-1) = -6 + 7 = 1$. Por tanto: A^{-1} = \\frac{1}{1}\\begin{pmatrix} -3 & -7 \\\\ 1 & 2 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} -3 & -7 \\\\ 1 & 2 \\end{pmatrix}

Como $A^2 = A^{-1}$, queda comprobado.

b) Calculamos A³ y A⁴:

A^3 = A^2 \\cdot A = A^{-1} \\cdot A = I = \\begin{pmatrix} 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \\end{pmatrix}

A^4 = A^3 \\cdot A = I \\cdot A = A = \\begin{pmatrix} 2 & 7 \\\\ -1 & -3 \\end{pmatrix}

Ejercicio 2

a) Sea x el valor de una acción de la empresa A, y el valor de una acción de la empresa B, y z el valor de una acción de la empresa C.

Se compraron:

• 85 acciones de A
• 100 acciones de B
• 70 acciones de C El gasto total fue de 7000 euros. La primera ecuación es: $85x + 100y + 70z = 7000$ Una acción de C vale el doble que una de A: $z = 2x$ Una acción de B supera en 5 euros a una de A: $y = x + 5$

El sistema es:

$$\begin{cases} 85x + 100y + 70z = 7000 \\ z = 2x \\ y = x + 5 \end{cases}$$

b) Sustituimos las ecuaciones de z e y en la primera ecuación:

$85x + 100(x + 5) + 70(2x) = 7000$ $85x + 100x + 500 + 140x = 7000$ $325x = 6500$ $x = 20$

Ahora calculamos y y z: $y = x + 5 = 20 + 5 = 25$ $z = 2x = 2(20) = 40$ El valor de una acción de la empresa A es de 20 euros, el de una acción de la empresa B es de 25 euros, y el de una acción de la empresa C es de 40 euros.

Ejercicio 3

a) Para que f(x) sea continua en x = 0, los límites laterales deben ser iguales:

$\\lim_{x \\to 0^-} f(x) = \\lim_{x \\to 0^+} f(x)$

Calculamos los límites: $\\lim_{x \\to 0^-} f(x) = \\lim_{x \\to 0^-} (|x| + 5t) = |0| + 5t = 5t$ $\\lim_{x \\to 0^+} f(x) = \\lim_{x \\to 0^+} ((x + t)^2 - 10x) = (0 + t)^2 - 10(0) = t^2$

Igualamos: $5t = t^2$ $t^2 - 5t = 0$ $t(t - 5) = 0$

Esto nos da dos posibles valores para t: t = 0 y t = 5.

b) Para t = 2, la función en el intervalo (0, +∞) es: $f(x) = (x + 2)^2 - 10x = x^2 + 4x + 4 - 10x = x^2 - 6x + 4$

Para encontrar los extremos relativos, derivamos e igualamos a cero: $f'(x) = 2x - 6$ $2x - 6 = 0$ $x = 3$ Para saber si es máximo o mínimo, calculamos la segunda derivada: $f''(x) = 2$ Como $f''(3) = 2 > 0$, en x=3 hay un mínimo relativo. El valor de la función en ese punto es: $f(3)=(3+2)^2-10 \\cdot 3=25-30=-5$ El mínimo relativo está en el punto (3,-5).

c) Para t = 2, como vimos en el apartado anterior, $f'(x) = 2x - 6$ en el intervalo (0, +∞).

• Si $f'(x) > 0$, la función es creciente. $2x - 6 > 0 \\Rightarrow x > 3$. La función crece en $(3, +\\infty)$.
• Si $f'(x) < 0$, la función es decreciente. $2x - 6 < 0 \\Rightarrow x < 3$. La función decrece en $(0, 3)$.

Ejercicio 4

a) El número de socios al inicio (x=0) es: $S(0) = -\\frac{1}{3}(0)^3 + \\frac{21}{2}(0)^2 - 54(0) + 180 = 180$ Como S(x) está en cientos de socios, el club comenzó con 180 * 100 = 18000 socios.

El número de socios en este momento (x=25) es: $S(25) = -\\frac{1}{3}(25)^3 + \\frac{21}{2}(25)^2 - 54(25) + 180 = -5208.33 + 6562.5 - 1350 + 180 = 184.17$ Como S(x) está en cientos de socios, el club tiene actualmente 184.17 * 100 = 18417 socios (aproximadamente).

b) Para encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, derivamos S(x): $S'(x) = -x^2 + 21x - 54$ Igualamos a cero para encontrar los puntos críticos: $-x^2 + 21x - 54 = 0$ $x^2 - 21x + 54 = 0$ $(x - 3)(x - 18) = 0$ Las soluciones son x=3 y x=18. Estos son los puntos críticos. Analizamos el signo de S'(x) en los intervalos (0, 3), (3, 18) y (18, 25):

• (0, 3): Tomamos x=1. $S'(1) = -1 + 21 - 54 = -34 < 0$. La función decrece.
• (3, 18): Tomamos x=10. $S'(10) = -100 + 210 - 54 = 56 > 0$. La función crece.
• (18, 25): Tomamos x=20. $S'(20)=-400+420-54=-34<0$. La función decrece.

Por lo tanto, el número de socios decrece en los intervalos (0, 3) y (18, 25), y crece en el intervalo (3, 18).

c) Del análisis anterior, sabemos que hay un mínimo relativo en x=3 y un máximo relativo en x=18. Calculamos el número de socios en esos puntos: $S(3) = -\\frac{1}{3}(3)^3 + \\frac{21}{2}(3)^2 - 54(3) + 180 = -9 + 94.5 - 162 + 180 = 103.5$ $S(18) = -\\frac{1}{3}(18)^3 + \\frac{21}{2}(18)^2 - 54(18) + 180= -1944+3402-972+180=666$

El número mínimo de socios fue de 103.5 * 100 = 10350 socios en el año 3. El número máximo de socios fue de 666 * 100 = 66600 socios en el año 18.

Ejercicio 5

a) Definimos los eventos:

• M: Crédito para motocicleta.
• I: Crédito impagado.

Tenemos las siguientes probabilidades:

• P(M) = 0.05
• P(I|M) = 0.40
• P(I|M') = 0.10 (M' es el complemento de M, es decir, crédito no para motocicleta)

Queremos encontrar P(I). Usamos el teorema de la probabilidad total: $P(I) = P(I|M)P(M) + P(I|M')P(M')$

Sabemos que $P(M') = 1 - P(M) = 1 - 0.05 = 0.95$

Sustituimos los valores: $P(I) = (0.40)(0.05) + (0.10)(0.95) = 0.02 + 0.095 = 0.115$ La probabilidad de que un crédito elegido al azar sea impagado es 0.115 o 11.5%.

b) Queremos encontrar P(M|I'). Usamos el teorema de Bayes:

$P(M|I) = \\frac{P(I|M)P(M)}{P(I)}$ Sustituimos con los valores que ya conocemos:

$P(M|I) = \\frac{(0.40)(0.05)}{0.115} = \\frac{0.02}{0.115} \\approx 0.1739$

La probabilidad de que un crédito impagado fuera para una motocicleta es de aproximadamente 0.1739 o 17.39%. Si el crédito se ha pagado (I'), entonces:

$P(M|I')=\\frac{P(I'|M) \\cdot P(M)}{P(I')}$ $P(I'|M)=1-P(I|M)=1-0.4=0.6$ $P(I')=1-P(I)=1-0.115=0.885$ $P(M|I')=\\frac{0.6 \\cdot 0.05}{0.885} \\approx 0.0339$

Ejercicio 6

a) Se trata de un intervalo de confianza para la media poblacional con desviación típica poblacional conocida.

• Desviación típica poblacional: $\\sigma = 4$
• Tamaño de la muestra: n = 10
• Media muestral: Calculamos la media de los tiempos dados: $\\bar{x} = \\frac{50 + 58 + 59 + 60 + 62 + 63 + 64 + 65 + 68 + 71}{10} = \\frac{620}{10} = 62$
• Nivel de confianza: $1 - \\alpha = 0.95 \\Rightarrow \\alpha = 0.05$

El valor crítico $z_{\\alpha/2}$ para un nivel de confianza del 95% es 1.96.

La fórmula del intervalo de confianza es: $\\bar{x} \\pm z_{\\alpha/2} \\cdot \\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}}$

Sustituimos: $62 \\pm 1.96 \\cdot \\frac{4}{\\sqrt{10}} = 62 \\pm 1.96 \\cdot \\frac{4}{3.162} \\approx 62 \\pm 2.48$

El intervalo de confianza es (59.52, 64.48).

b) Para disminuir la amplitud del intervalo de confianza con el mismo nivel de confianza, podemos aumentar el tamaño de la muestra. Al aumentar n, el denominador de $\\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}}$ aumenta, lo que hace que el margen de error $z_{\\alpha/2} \\cdot \\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}}$ disminuya. Un menor margen de error implica un intervalo más estrecho.

c) Queremos un nivel de confianza del 99%. El valor de $\\alpha$ es $1-0.99 = 0.01$ Buscamos el valor $z_{\\alpha/2}$, que en este caso es $z_{0.005}$, que corresponde con 2.575 (aproximando, ya que no está directamente en la tabla, se usa un valor intermedio entre 2.57 y 2.58)

El nuevo intervalo de confianza con los mismos datos, pero con un nivel de confianza de 99% es $62 \\pm 2.575 \\cdot \\frac{4}{\\sqrt{10}} \\approx 62 \\pm 3.25$ $(58.75, 65.25)$ Como 64 está dentro del intervalo, si que podriamos decir con un 99% de probabilidad, que la media es 64 días.