Examen Resuelto Selectividad EVAU 2017 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II

Opción A

Ejercicio 1

a) Para despejar X en la expresión matricial $M \\cdot X \\cdot N = P$, primero multiplicamos por la izquierda por la inversa de M ($M^{-1}$) a ambos lados de la ecuación:

$M^{-1} \\cdot M \\cdot X \\cdot N = M^{-1} \\cdot P$

Como $M^{-1} \\cdot M = I$ (la matriz identidad), la ecuación se simplifica a:

$I \\cdot X \\cdot N = M^{-1} \\cdot P$

$X \\cdot N = M^{-1} \\cdot P$

Ahora, multiplicamos por la derecha por la inversa de N ($N^{-1}$) a ambos lados:

$X \\cdot N \\cdot N^{-1} = M^{-1} \\cdot P \\cdot N^{-1}$

Dado que $N \\cdot N^{-1} = I$, obtenemos la solución para X:

$X = M^{-1} \\cdot P \\cdot N^{-1}$

b) Dadas las matrices:

A = \\begin{pmatrix} -3 & 1 \\\\ -1 & 0 \\end{pmatrix}, B = \\begin{pmatrix} -1 & -1 \\\\ 4 & 5 \\end{pmatrix}

Tenemos la ecuación: $A \\cdot X \\cdot B = I$. Siguiendo el mismo razonamiento que en el apartado (a):

$X = A^{-1} \\cdot I \\cdot B^{-1} = A^{-1} \\cdot B^{-1}$

Primero, calculamos la inversa de A:

$|A| = (-3)(0) - (1)(-1) = 1$

A^{-1} = \\frac{1}{|A|} \\cdot adj(A)^T = \\frac{1}{1} \\cdot \\begin{pmatrix} 0 & -1 \\\\ 1 & -3 \\end{pmatrix}^T = \\begin{pmatrix} 0 & 1 \\\\ -1 & -3 \\end{pmatrix}

Ahora, calculamos la inversa de B: $|B| = (-1)(5) - (-1)(4) = -5 + 4 = -1$

$$\begin{pmatrix} 5 & 1\\ -4& -1 \end{pmatrix}^T = -1\cdot \begin{pmatrix} 5& -4\\ 1& -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5& 4\\ -1& 1 \end{pmatrix}$$

Finalmente, calculamos X:

X = A^{-1} \\cdot B^{-1} = \\begin{pmatrix} 0 & 1 \\\\ -1 & -3 \\end{pmatrix} \\cdot \\begin{pmatrix} -5 & 4 \\\\ -1 & 1 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} -1 & 1 \\\\ 8 & -7 \\end{pmatrix}

Ejercicio 2

a) Sean x, y, y z los pesos en gramos de las pesas mayores, intermedias y menores, respectivamente. Planteamos el sistema de ecuaciones basado en la información proporcionada:

• Total de pesas y peso total: 8x + 12y + 20z = 3800
• Peso intermedio vs. mayor: y = x/2 => x = 2y
• Pesas menores vs. mayor: 4z = x

b) Sustituimos las ecuaciones de x en función de y y z en la primera ecuación:

$8(2y) + 12y + 20(x/4) = 3800$ $16y + 12y + 5(2y) = 3800$ $16y + 12y + 10y = 3800$ $38y = 3800$ $y = 100$

Ahora, encontramos x y z:

$x = 2y = 2(100) = 200$ $z = x/4 = 200/4 = 50$

Por lo tanto, las pesas mayores pesan 200g, las intermedias 100g y las menores 50g.

Ejercicio 3

a) Para que f(x) sea continua en x = 0, los límites laterales deben ser iguales:

$\\lim_{x \\to 0^-} f(x) = \\lim_{x \\to 0^+} f(x)$

$\\lim_{x \\to 0^-} (x + 2t) = \\lim_{x \\to 0^+} ((x+t)^3 - x)$

$0 + 2t = (0 + t)^3 - 0$

$2t = t^3$

$t^3 - 2t = 0$

$t(t^2 - 2) = 0$

Esto nos da tres posibles valores para t: t = 0, $t = \\sqrt{2}$, y $t = -\\sqrt{2}$.

b) Para t = 0, la función en el intervalo (0, +∞) es:

$f(x) = x^3 - x$

Para encontrar los extremos relativos, calculamos la primera derivada y la igualamos a cero:

$f'(x) = 3x^2 - 1 = 0$

$x^2 = \\frac{1}{3}$

$x = \\pm\\sqrt{\\frac{1}{3}}$

Como estamos en el intervalo (0, +∞), solo consideramos $x = \\sqrt{\\frac{1}{3}}$. Para determinar si es un máximo o un mínimo, usamos el criterio de la segunda derivada:

$f''(x) = 6x$

$f''\\left(\\sqrt{\\frac{1}{3}}\\right) = 6\\sqrt{\\frac{1}{3}} > 0$

Dado que la segunda derivada es positiva, tenemos un mínimo relativo en $x = \\sqrt{\\frac{1}{3}}$.

c) Para t = 0, analizamos el signo de la primera derivada en (0, +∞):

$f'(x) = 3x^2 - 1$

• $f'(x) < 0$ cuando $0 < x < \\sqrt{\\frac{1}{3}}$: La función es decreciente.
• $f'(x) > 0$ cuando $x > \\sqrt{\\frac{1}{3}}$: La función es creciente.

Por lo tanto, la función es decreciente en $(0, \\sqrt{\\frac{1}{3}})$ y creciente en $(\\sqrt{\\frac{1}{3}}, +\\infty)$.

Ejercicio 4

Dada $J(x) = ax^4 + bx^3 + cx$, sabemos que $J'(0) = -2$ y que hay un punto de inflexión en (2, 0).

1. Derivada en el origen:

   $J'(x) = 4ax^3 + 3bx^2 + c$ $J'(0) = c = -2$

2. Punto de inflexión en (2, 0): Esto significa que $J(2) = 0$ y $J''(2) = 0$.

   $J(x) = ax^4 + bx^3 - 2x$ $J(2) = 16a + 8b - 4 = 0$ (Ecuación 1)

   $J''(x) = 12ax^2 + 6bx$ $J''(2) = 48a + 12b = 0$ (Ecuación 2)

3. Resolviendo el sistema: De la Ecuación 2, podemos simplificar a:

   $4a + b = 0 \\Rightarrow b = -4a$

   Sustituyendo en la Ecuación 1:

   $16a + 8(-4a) - 4 = 0$ $16a - 32a - 4 = 0$ $-16a = 4$ $a = -\\frac{1}{4}$

   Entonces, $b = -4a = -4(-\\frac{1}{4}) = 1$

Por lo tanto, los valores son: $a = -\\frac{1}{4}, b = 1, c = -2$.

Ejercicio 5

Sean los sucesos:

• A: Superar los límites de alcohol en sangre. P(A) = 0.29
• B: Presencia de drogas en sangre. P(B) = 0.14
• $A \\cup B$: Superar límites de alcohol o tener drogas, o ambas. $P(A \\cup B) = 0.37$

a) Queremos calcular $P(A \\cap B)$. Usamos la fórmula:

$P(A \\cup B) = P(A) + P(B) - P(A \\cap B)$

$0.37 = 0.29 + 0.14 - P(A \\cap B)$

$P(A \\cap B) = 0.29 + 0.14 - 0.37 = 0.06$

b) Los sucesos A y B son independientes si y solo si $P(A \\cap B) = P(A) \\cdot P(B)$. Verificamos:

$P(A) \\cdot P(B) = 0.29 \\cdot 0.14 = 0.0406$

Como $P(A \\cap B) = 0.06 \\neq 0.0406 = P(A) \\cdot P(B)$, los sucesos no son independientes.

Ejercicio 6

a) Intervalo de confianza para la media poblacional (μ) con un nivel de confianza del 95%.

• Desviación típica poblacional: σ = 1.2
• Tamaño de la muestra: n = 40
• Media muestral: $\\bar{x} = 6.7$
• Nivel de confianza: 95% => α = 0.05 => $Z_{\\alpha/2} = Z_{0.025} = 1.96$ (de la tabla de distribución normal)

La fórmula del intervalo de confianza es:

$IC = \\bar{x} \\pm Z_{\\alpha/2} \\cdot \\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}}$

$IC = 6.7 \\pm 1.96 \\cdot \\frac{1.2}{\\sqrt{40}}$

$IC = 6.7 \\pm 1.96 \\cdot 0.1897$

$IC = 6.7 \\pm 0.372$

$IC = (6.328, 7.072)$

b) * Aumento del nivel de confianza: Si aumentamos el nivel de confianza (por ejemplo, al 99%), el valor de $Z_{\\alpha/2}$ aumenta, lo que hace que el margen de error ($Z_{\\alpha/2} \\cdot \\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}}$) sea mayor. Por lo tanto, el intervalo de confianza se amplía.

• Disminución del nivel de confianza: Si disminuimos el nivel de confianza (por ejemplo, al 90%), el valor de $Z_{\\alpha/2}$ disminuye, lo que hace que el margen de error sea menor. Por lo tanto, el intervalo de confianza se estrecha.

c) Para un nivel de confianza del 90%, α = 0.10 => $Z_{\\alpha/2} = Z_{0.05} = 1.645$ (aproximadamente, usando valores intermedios de la tabla, en el examen viene dado un valor de 1.64, también valdría). El intervalo de confianza sería:

$IC = 6.7 \\pm 1.645 \\cdot \\frac{1.2}{\\sqrt{40}}$ $IC = 6.7 \\pm 0.31$ $IC = (6.39, 7.01)$ Como se puede observar en el resultado, con un nivel de confianza del 90% el valor $\\mu=5$ no estaría dentro del intervalo de confianza $IC = (6.39, 7.01)$, por lo tanto, no es razonable que la media del rendimiento sea de $\\mu=5$ con un 90% de confianza

Opción B

Ejercicio 1

a) Sean:

• x: Número de sacos de cemento.
• y: Número de sacos de yeso.

La función objetivo, que representa el peso total a minimizar, es:

$f(x, y) = 30x + 20y$

b) Las restricciones son:

• $25 \\le x \\le 100$ (Restricción para sacos de cemento)
• $30 \\le y \\le 90$ (Restricción para sacos de yeso)

Estas inecuaciones definen un rectángulo en el plano xy. Los vértices del recinto son:

• (25, 30)
• (25, 90)
• (100, 30)
• (100, 90)

c) Para minimizar el peso, evaluamos la función objetivo en los vértices del recinto:

• f(25, 30) = 30(25) + 20(30) = 750 + 600 = 1350
• f(25, 90) = 30(25) + 20(90) = 750 + 1800 = 2550
• f(100, 30) = 30(100) + 20(30) = 3000 + 600 = 3600
• f(100, 90) = 30(100) + 20(90) = 3000 + 1800 = 4800

El peso mínimo se alcanza en el vértice (25, 30), con un valor de 1350 kg. Por lo tanto, debe llevar 25 sacos de cemento y 30 sacos de yeso.

Ejercicio 2

a) Sean:

• x: Precio de una entrada de cine.
• y: Precio de una entrada de teatro.
• z: Precio de una entrada de concierto.

El sistema de ecuaciones es:

• Recaudación total: 120x + 50y + 150z = 6460
• Relación cine-teatro: 2y = 5x
• Relación teatro-concierto: 2z = 3y

b) Resolvemos el sistema. De la segunda ecuación, $x = \\frac{2}{5}y$. De la tercera ecuación, $z = \\frac{3}{2}y$. Sustituimos en la primera ecuación:

$120\\left(\\frac{2}{5}y\\right) + 50y + 150\\left(\\frac{3}{2}y\\right) = 6460$

$48y + 50y + 225y = 6460$

$323y = 6460$

$y = 20$

Ahora encontramos x y z:

$x = \\frac{2}{5}(20) = 8$

$z = \\frac{3}{2}(20) = 30$

Por lo tanto, la entrada de cine cuesta 8 euros, la de teatro 20 euros y la de concierto 30 euros.

Ejercicio 3

a) Para que f sea continua en x = 1, los límites laterales deben ser iguales:

$\\lim_{x \\to 1^-} f(x) = \\lim_{x \\to 1^+} f(x)$

$\\lim_{x \\to 1^-} 4 = \\lim_{x \\to 1^+} (tx - 6)^2$

$4 = (t - 6)^2$

Esto nos da dos posibles soluciones:

• $t - 6 = 2 \\Rightarrow t = 8$
• $t - 6 = -2 \\Rightarrow t = 4$

b) Para t = 2, la función es:

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