Examen Resuelto Prueba de Acceso Universidad UCM Matemáticas II 2025

OPCIÓN A

A.1.

Identificación de variables: Sea $B$ el número de bolas de Navidad. Sea $C$ el número de campanitas. Sea $M$ el número de muñecos de Papá Noel.

Planteamiento del sistema de ecuaciones: A partir del enunciado, podemos establecer las siguientes ecuaciones:

1. El número total de adornos es 46: $B + C + M = 46$
2. Entre campanitas y muñecos hay uno más que la mitad de bolas: $C + M = \\frac{B}{2} + 1$ Multiplicando por 2 para eliminar el denominador: $2C + 2M = B + 2$ Podemos reescribir esta ecuación como: $-B + 2C + 2M = 2$
3. El coste total de los adornos es 46 euros: $0.5B + 1C + 3.5M = 46$ Multiplicando por 2 para eliminar el decimal: $B + 2C + 7M = 92$

Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales: (1) $B + C + M = 46$ (2) $-B + 2C + 2M = 2$ (3) $B + 2C + 7M = 92$

Resolución del sistema: Podemos usar el método de eliminación. Sumamos la ecuación (1) y la ecuación (2): $(B + C + M) + (-B + 2C + 2M) = 46 + 2$ $3C + 3M = 48$ Dividiendo entre 3: (4) $C + M = 16$

Restamos la ecuación (1) de la ecuación (3): $(B + 2C + 7M) - (B + C + M) = 92 - 46$ $C + 6M = 46$ (5)

Ahora tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (C y M): (4) $C + M = 16$ (5) $C + 6M = 46$

Restamos la ecuación (4) de la ecuación (5): $(C + 6M) - (C + M) = 46 - 16$ $5M = 30$ $M = \\frac{30}{5} = 6$

Sustituimos el valor de M en la ecuación (4): $C + 6 = 16$ $C = 16 - 6 = 10$

Finalmente, sustituimos los valores de C y M en la ecuación (1): $B + 10 + 6 = 46$ $B + 16 = 46$ $B = 46 - 16 = 30$

Comprobación: Verifiquemos si los valores B=30, C=10, M=6 satisfacen las condiciones originales:

1. Total adornos: $30 + 10 + 6 = 46$ (Correcto)
2. Campanitas y muñecos vs bolas: $C + M = 10 + 6 = 16$. Mitad de bolas más uno: $\\frac{B}{2} + 1 = \\frac{30}{2} + 1 = 15 + 1 = 16$ (Correcto)
3. Coste total: $0.5B + C + 3.5M = 0.5(30) + 10 + 3.5(6) = 15 + 10 + 21 = 46$ (Correcto)

Respuesta: En el árbol hay 30 bolas de Navidad, 10 campanitas y 6 muñecos de Papá Noel.

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A.2.

Sea la función $f(x) = \\frac{e^{-|x|}}{1+|x|}$.

Primero, expresamos la función sin el valor absoluto: f(x) = \\begin{cases} \\frac{e^{-x}}{1+x} & \\text{si } x \\ge 0 \\\\ \\frac{e^{x}}{1-x} & \\text{si } x < 0 \\end{cases} El dominio de la función es $\\mathbb{R}$, ya que $1+|x|$ nunca es cero (es $1$ para $x=0$ y mayor que $1$ para $x \\neq 0$).

a) Estudio de la continuidad y derivabilidad:

Continuidad:

• Para $x > 0$, $f(x) = \\frac{e^{-x}}{1+x}$. Es un cociente de funciones continuas (exponencial y polinómica) y el denominador $1+x \\neq 0$ para $x>0$. Por lo tanto, $f(x)$ es continua en $(0, \\infty)$.
• Para $x < 0$, $f(x) = \\frac{e^{x}}{1-x}$. Es un cociente de funciones continuas y el denominador $1-x \\neq 0$ para $x<0$. Por lo tanto, $f(x)$ es continua en $(-\\infty, 0)$.
• Para $x = 0$: Calculamos el valor de la función y los límites laterales. $f(0) = \\frac{e^{-|0|}}{1+|0|} = \\frac{e^0}{1+0} = \\frac{1}{1} = 1$ Límite por la derecha: $\\lim_{x \\to 0^+} f(x) = \\lim_{x \\to 0^+} \\frac{e^{-x}}{1+x} = \\frac{e^0}{1+0} = \\frac{1}{1} = 1$ Límite por la izquierda: $\\lim_{x \\to 0^-} f(x) = \\lim_{x \\to 0^-} \\frac{e^{x}}{1-x} = \\frac{e^0}{1-0} = \\frac{1}{1} = 1$ Como $\\lim_{x \\to 0^+} f(x) = \\lim_{x \\to 0^-} f(x) = f(0) = 1$, la función es continua en $x=0$. Por lo tanto, f(x) es continua en todo su dominio $(\\mathbb{R})$.

Derivabilidad:

• Calculamos la derivada para $x \\neq 0$. Para $x > 0$: $f'(x) = \\frac{d}{dx} \\left( \\frac{e^{-x}}{1+x} \\right) = \\frac{-e^{-x}(1+x) - e^{-x}(1)}{(1+x)^2} = \\frac{-e^{-x}(1+x+1)}{(1+x)^2} = \\frac{-e^{-x}(x+2)}{(1+x)^2}$ Para $x < 0$: $f'(x) = \\frac{d}{dx} \\left( \\frac{e^{x}}{1-x} \\right) = \\frac{e^{x}(1-x) - e^{x}(-1)}{(1-x)^2} = \\frac{e^{x}(1-x+1)}{(1-x)^2} = \\frac{e^{x}(2-x)}{(1-x)^2}$ La función es derivable en $(-\\infty, 0)$ y $(0, \\infty)$ por ser cociente de funciones derivables con denominador no nulo en dichos intervalos.
• Estudiamos la derivabilidad en $x = 0$ calculando las derivadas laterales: Derivada por la derecha: $f'_+(0) = \\lim_{x \\to 0^+} f'(x) = \\lim_{x \\to 0^+} \\frac{-e^{-x}(x+2)}{(1+x)^2} = \\frac{-e^0(0+2)}{(1+0)^2} = \\frac{-1(2)}{1} = -2$ Derivada por la izquierda: $f'_-(0) = \\lim_{x \\to 0^-} f'(x) = \\lim_{x \\to 0^-} \\frac{e^{x}(2-x)}{(1-x)^2} = \\frac{e^0(2-0)}{(1-0)^2} = \\frac{1(2)}{1} = 2$ Como las derivadas laterales en $x=0$ son distintas ($f'_+(0) = -2 \\neq f'_-(0) = 2$), la función no es derivable en $x=0$. Por lo tanto, f(x) es derivable en $\\mathbb{R} \\setminus \\{0\\}$.

b) Determinar la paridad de la función: Calculamos $f(-x)$: $f(-x) = \\frac{e^{-|-x|}}{1+|-x|}$ Dado que $|-x| = |x|$, tenemos: $f(-x) = \\frac{e^{-|x|}}{1+|x|} = f(x)$ Como $f(-x) = f(x)$ para todo $x \\in \\mathbb{R}$, la función f(x) es par.

c) ¿Cuáles son los mínimos y máximos relativos de la función? Buscamos los puntos críticos anulando la derivada $f'(x)$ y estudiando los puntos de no derivabilidad.

• Para $x > 0$, $f'(x) = \\frac{-e^{-x}(x+2)}{(1+x)^2}$. $f'(x) = 0 \\implies -e^{-x}(x+2) = 0$. Como $e^{-x}$ siempre es positivo, necesitamos $x+2 = 0$, lo que da $x = -2$. Este valor no está en el dominio $x>0$.
• Para $x < 0$, $f'(x) = \\frac{e^{x}(2-x)}{(1-x)^2}$. $f'(x) = 0 \\implies e^{x}(2-x) = 0$. Como $e^{x}$ siempre es positivo, necesitamos $2-x = 0$, lo que da $x = 2$. Este valor no está en el dominio $x<0$. Por lo tanto, no hay puntos críticos donde la derivada sea cero.
• El único punto crítico es $x=0$, donde la función no es derivable. Analizamos el signo de la derivada a ambos lados de $x=0$.
  • Para $x < 0$: $f'(x) = \\frac{e^{x}(2-x)}{(1-x)^2}$. El numerador $e^{x}(2-x)$ es positivo (ya que $e^x>0$ y $2-x > 0$ si $x<0$). El denominador $(1-x)^2$ es positivo. Por tanto, $f'(x) > 0$ para $x < 0$. La función es creciente en $(-\\infty, 0)$.
  • Para $x > 0$: $f'(x) = \\frac{-e^{-x}(x+2)}{(1+x)^2}$. El término $-e^{-x}$ es negativo. El término $(x+2)$ es positivo si $x>0$. El denominador $(1+x)^2$ es positivo. Por tanto, $f'(x) < 0$ para $x > 0$. La función es decreciente en $(0, \\infty)$.
• Como la función es creciente a la izquierda de $x=0$ y decreciente a la derecha, **hay un máximo relativo (y absoluto) en x=0$**. El valor del máximo es f(0) = 1$$.
• No existen mínimos relativos.

d) Estudiar si f(x) tiene asíntotas y calcularlas.

• Asíntotas Verticales: La función es continua en todo $\\mathbb{R}$, por lo que no tiene asíntotas verticales.
• Asíntotas Horizontales: Calculamos los límites cuando $x \\to \\pm \\infty$. $\\lim_{x \\to +\\infty} f(x) = \\lim_{x \\to +\\infty} \\frac{e^{-x}}{1+x} = \\lim_{x \\to +\\infty} \\frac{1}{e^x(1+x)}$ Cuando $x \\to +\\infty$, $e^x \\to +\\infty$ y $1+x \\to +\\infty$, por lo que el denominador tiende a $+\\infty$. El límite es 0. $\\lim_{x \\to -\\infty} f(x) = \\lim_{x \\to -\\infty} \\frac{e^{x}}{1-x}$ Cuando $x \\to -\\infty$, $e^x \\to 0$ y $1-x \\to +\\infty$. El límite es $\\frac{0}{+\\infty} = 0$. (Alternativamente, por ser par, el límite en $-\\infty$ es el mismo que en $+\\infty$). Por lo tanto, la recta $y=0$ es una asíntota horizontal tanto cuando $x \\to +\\infty$ como cuando $x \\to -\\infty$.
• Asíntotas Oblicuas: Al existir asíntotas horizontales en $+\\infty$ y $-\\infty$, no existen asíntotas oblicuas.

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A.3.

Sea el paralelepípedo definido por las aristas $\\vec{OA}$, $\\vec{OB}$ y $\\vec{OC}$ que parten del origen $O(0,0,0)$. Datos:

• $|\\vec{OA}| = |\\vec{OB}| = |\\vec{OC}| = 1$.
• El ángulo entre cada par de vectores es 60^\\circ. Esto implica: \\vec{OA} \\cdot \\vec{OB} = |\\vec{OA}| |\\vec{OB}| \\cos(60^\\circ) = 1 \\cdot 1 \\cdot \\frac{1}{2} = \\frac{1}{2} \\vec{OA} \\cdot \\vec{OC} = |\\vec{OA}| |\\vec{OC}| \\cos(60^\\circ) = 1 \\cdot 1 \\cdot \\frac{1}{2} = \\frac{1}{2} \\vec{OB} \\cdot \\vec{OC} = |\\vec{OB}| |\\vec{OC}| \\cos(60^\\circ) = 1 \\cdot 1 \\cdot \\frac{1}{2} = \\frac{1}{2}
• Una cara está apoyada sobre el plano OXY (z=0).
• El paralelepípedo está en el primer octante (coordenadas $x, y, z \\ge 0$).
• Un vértice es $A(1, 0, 0)$. Por tanto, $\\vec{OA} = (1, 0, 0)$.

a) Hallar los otros dos vértices B, C adyacentes a O.

Vértice B: Sea $\\vec{OB} = (b_x, b_y, b_z)$. Como una cara está apoyada en el plano OXY, podemos suponer que es la cara OAB la que está en OXY. Esto significa que los vértices O, A y B tienen coordenada z=0. Por lo tanto, $b_z = 0$. $\\vec{OB} = (b_x, b_y, 0)$. Sabemos que $|\\vec{OB}| = 1$, entonces $b_x^2 + b_y^2 + 0^2 = 1^2 \\implies b_x^2 + b_y^2 = 1$. Sabemos que $\\vec{OA} \\cdot \\vec{OB} = 1/2$. $(1, 0, 0) \\cdot (b_x, b_y, 0) = 1 \\cdot b_x + 0 \\cdot b_y + 0 \\cdot 0 = b_x$ Por lo tanto, $b_x = 1/2$. Sustituimos $b_x$ en la ecuación de la norma: $(1/2)^2 + b_y^2 = 1 \\implies 1/4 + b_y^2 = 1 \\implies b_y^2 = 3/4$ Como el paralelepípedo está en el primer octante, las coordenadas deben ser no negativas, $b_y \\ge 0$. $b_y = \\sqrt{3/4} = \\frac{\\sqrt{3}}{2}$ Así, el vector $\\vec{OB} = (1/2, \\sqrt{3}/2, 0)$ y el vértice es $B(1/2, \\sqrt{3}/2, 0)$.

Vértice C: Sea $\\vec{OC} = (c_x, c_y, c_z)$. Sabemos que $|\\vec{OC}| = 1$, entonces $c_x^2 + c_y^2 + c_z^2 = 1$. Sabemos que $\\vec{OA} \\cdot \\vec{OC} = 1/2$. $(1, 0, 0) \\cdot (c_x, c_y, c_z) = c_x$ Por lo tanto, $c_x = 1/2$. Sabemos que $\\vec{OB} \\cdot \\vec{OC} = 1/2$. $(1/2, \\sqrt{3}/2, 0) \\cdot (c_x, c_y, c_z) = (1/2)c_x + (\\sqrt{3}/2)c_y + 0 \\cdot c_z = \\frac{1}{2} c_x + \\frac{\\sqrt{3}}{2} c_y$ Entonces, $\\frac{1}{2} c_x + \\frac{\\sqrt{3}}{2} c_y = \\frac{1}{2}$. Sustituimos $c_x = 1/2$: $\\frac{1}{2} (1/2) + \\frac{\\sqrt{3}}{2} c_y = \\frac{1}{2} \\implies \\frac{1}{4} + \\frac{\\sqrt{3}}{2} c_y = \\frac{1}{2}$ $\\frac{\\sqrt{3}}{2} c_y = \\frac{1}{2} - \\frac{1}{4} = \\frac{1}{4}$ $c_y = \\frac{1}{4} \\cdot \\frac{2}{\\sqrt{3}} = \\frac{1}{2\\sqrt{3}} = \\frac{\\sqrt{3}}{6}$ Sustituimos $c_x$ y $c_y$ en la ecuación de la norma: $(1/2)^2 + (\\sqrt{3}/6)^2 + c_z^2 = 1$ $\\frac{1}{4} + \\frac{3}{36} + c_z^2 = 1 \\implies \\frac{1}{4} + \\frac{1}{12} + c_z^2 = 1$ $\\frac{3}{12} + \\frac{1}{12} + c_z^2 = 1 \\implies \\frac{4}{12} + c_z^2 = 1 \\implies \\frac{1}{3} + c_z^2 = 1$ $c_z^2 = 1 - \\frac{1}{3} = \\frac{2}{3}$ Como el paralelepípedo está en el primer octante, $c_z \\ge 0$. $c_z = \\sqrt{2/3} = \\frac{\\sqrt{2}}{\\sqrt{3}} = \\frac{\\sqrt{6}}{3}$ Así, el vector $\\vec{OC} = (1/2, \\sqrt{3}/6, \\sqrt{6}/3)$ y el vértice es $C(1/2, \\sqrt{3}/6, \\sqrt{6}/3)$.

b) Hallar el volumen del paralelepípedo. El volumen $V$ del paralelepípedo formado por los vectores $\\vec{OA}$, $\\vec{OB}$ y $\\vec{OC}$ es el valor absoluto del producto mixto de estos tres vectores: $V = |\\det(\\vec{OA}, \\vec{OB}, \\vec{OC})|$ Los vectores son: $\\vec{OA} = (1, 0, 0)$ $\\vec{OB} = (1/2, \\sqrt{3}/2, 0)$ $\\vec{OC} = (1/2, \\sqrt{3}/6, \\sqrt{6}/3)$ Calculamos el determinante: \\det \\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\\\ 1/2 & \\sqrt{3}/2 & 0 \\\\ 1/2 & \\sqrt{3}/6 & \\sqrt{6}/3 \\end{pmatrix} Expandiendo por la primera fila: = 1 \\cdot \\det \\begin{pmatrix} \\sqrt{3}/2 & 0 \\\\ \\sqrt{3}/6 & \\sqrt{6}/3 \\end{pmatrix} - 0 + 0 $= 1 \\cdot \\left( \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\cdot \\frac{\\sqrt{6}}{3} - 0 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{6} \\right)$ $= \\frac{\\sqrt{3 \\cdot 6}}{2 \\cdot 3} = \\frac{\\sqrt{18}}{6} = \\frac{\\sqrt{9 \\cdot 2}}{6} = \\frac{3\\sqrt{2}}{6} = \\frac{\\sqrt{2}}{2}$ El volumen es el valor absoluto de este determinante, que ya es positivo. $V = \\frac{\\sqrt{2}}{2}$ El volumen del paralelepípedo es $\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ unidades cúbicas.

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A.4.

Datos:

• $P(A) = 0.5$
• $P(B) = 0.3$
• $P(A \\cap B) = 0.2$
• $P(A \\cap C) = 0.1$
• $P(A \\cap (B \\cup C)) = 0.36$
• $P(A | B \\cup C) = 1/2$
• B y C son independientes: $P(B \\cap C) = P(B) P(C)$

a) Hallar P(C | A). La probabilidad condicionada $P(C | A)$ se define como: $P(C | A) = \\frac{P(C \\cap A)}{P(A)}$ Conocemos $P(A \\cap C) = 0.1$ y $P(A) = 0.5$. $P(C | A) = \\frac{0.1}{0.5} = \\frac{1}{5} = 0.2$ Por lo tanto, $P(C | A) = 0.2$.

b) ¿Son A, B sucesos independientes? Dos sucesos A y B son independientes si y solo si $P(A \\cap B) = P(A) P(B)$. Calculamos $P(A) P(B)$: $P(A) P(B) = (0.5)(0.3) = 0.15$ Comparamos este valor con $P(A \\cap B)$ que nos dan: $P(A \\cap B) = 0.2$ Como $P(A \\cap B) = 0.2 \\neq P(A) P(B) = 0.15$, los sucesos A y B no son independientes.

c) Hallar P(C). Utilizamos la fórmula de la probabilidad condicionada que nos dan: $P(A | B \\cup C) = \\frac{P(A \\cap (B \\cup C))}{P(B \\cup C)}$ Sustituimos los valores conocidos: $\\frac{1}{2} = \\frac{0.36}{P(B \\cup C)}$ Despejamos $P(B \\cup C)$: $P(B \\cup C) = 2 \\times 0.36 = 0.72$ Ahora utilizamos la fórmula de la probabilidad de la unión: $P(B \\cup C) = P(B) + P(C) - P(B \\cap C)$ Como B y C son independientes, $P(B \\cap C) = P(B) P(C)$. Sea $x = P(C)$. Entonces $P(B \\cap C) = P(B) x = 0.3 x$. Sustituimos en la fórmula de la unión: $0.72 = P(B) + P(C) - P(B) P(C)$ $0.72 = 0.3 + x - 0.3x$ $0.72 - 0.3 = x(1 - 0.3)$ $0.42 = 0.7x$ Despejamos $x$: $x = \\frac{0.42}{0.7} = \\frac{4.2}{7} = 0.6$ Por lo tanto, $P(C) = 0.6$.