Examen Resuelto Prueba de Acceso UCM Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II 2025

OPCIÓN A

Ejercicio 1.

a) Para estudiar la compatibilidad del sistema de ecuaciones lineales:

$$\begin{cases} 2x + my &= 2 \\ x + my + z &= m \\ y - mz &= 0 \end{cases}$$

en función del parámetro real m, analizaremos los rangos de la matriz de coeficientes (A) y la matriz ampliada (A').

La matriz de coeficientes es: A = \\begin{pmatrix} 2 & m & 0 \\\\ 1 & m & 1 \\\\ 0 & 1 & -m \\end{pmatrix} La matriz ampliada es: A' = \\begin{pmatrix} 2 & m & 0 & | & 2 \\\\ 1 & m & 1 & | & m \\\\ 0 & 1 & -m & | & 0 \\end{pmatrix}

Calculamos el determinante de la matriz A para encontrar los valores de m que podrían cambiar el rango de A. \\det(A) = 2 \\begin{vmatrix} m & 1 \\\\ 1 & -m \\end{vmatrix} - m \\begin{vmatrix} 1 & 1 \\\\ 0 & -m \\end{vmatrix} + 0 \\begin{vmatrix} 1 & m \\\\ 0 & 1 \\end{vmatrix} $\\det(A) = 2(m(-m) - 1 \\cdot 1) - m(1(-m) - 1 \\cdot 0) + 0$ $\\det(A) = 2(-m^2 - 1) - m(-m) = -2m^2 - 2 + m^2 = -m^2 - 2$

Ahora, igualamos el determinante a cero para buscar los valores críticos de m: $-m^2 - 2 = 0 \\implies m^2 = -2$ Esta ecuación no tiene solución en los números reales, ya que el cuadrado de un número real no puede ser negativo.

Razonamiento: Dado que el determinante de A, $\\det(A) = -m^2 - 2$, es siempre distinto de cero para cualquier valor real de m (ya que $-m^2 \\le 0$, entonces $-m^2 - 2 < 0$), el rango de la matriz de coeficientes A es siempre 3. $\\text{Rango}(A) = 3$ El número de incógnitas del sistema también es 3 (x, y, z). La matriz ampliada A' tiene 3 filas y 4 columnas, por lo que su rango máximo es 3. Como la matriz A (que es una submatriz de A') tiene rango 3, el rango de A' también debe ser 3. $\\text{Rango}(A') = 3$

Aplicando el Teorema de Rouché-Frobenius: Como $\\text{Rango}(A) = \\text{Rango}(A') = 3 = \\text{número de incógnitas}$, el sistema es Compatible Determinado (SCD) para todos los valores reales de m. El sistema siempre tiene una solución única.

b) Para resolver el sistema cuando $m = 1$, sustituimos este valor en el sistema original:

$$\begin{cases} 2x + y &= 2 \\ x + y + z &= 1 \\ y - z &= 0 \end{cases}$$

Podemos resolver este sistema por varios métodos. Usaremos el método de Cramer, ya que hemos calculado que el determinante de A para cualquier m es $-m^2 - 2$. Para $m=1$, $\\det(A) = -(1)^2 - 2 = -1 - 2 = -3$.

Calculamos los determinantes necesarios para aplicar la regla de Cramer: Para x ($\\Delta_x$), reemplazamos la primera columna de A por la columna de términos independientes: \\Delta_x = \\det(A_x) = \\begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 1 & -1 \\end{vmatrix} = 2(-1-1) - 1(-1-0) + 0 = 2(-2) - 1(-1) = -4 + 1 = -3 Para y ($\\Delta_y$), reemplazamos la segunda columna de A: \\Delta_y = \\det(A_y) = \\begin{vmatrix} 2 & 2 & 0 \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & -1 \\end{vmatrix} = 2(1(-1)-1(0)) - 2(1(-1)-1(0)) + 0 = 2(-1) - 2(-1) = -2 + 2 = 0 Para z ($\\Delta_z$), reemplazamos la tercera columna de A: \\Delta_z = \\det(A_z) = \\begin{vmatrix} 2 & 1 & 2 \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 \\end{vmatrix} = 2(1(0)-1(1)) - 1(1(0)-1(0)) + 2(1(1)-1(0)) = 2(-1) - 1(0) + 2(1) = -2 + 0 + 2 = 0

Ahora calculamos las soluciones: $x = \\frac{\\Delta_x}{\\det(A)} = \\frac{-3}{-3} = 1$ $y = \\frac{\\Delta_y}{\\det(A)} = \\frac{0}{-3} = 0$ $z = \\frac{\\Delta_z}{\\det(A)} = \\frac{0}{-3} = 0$

Solución: Para $m = 1$, la solución única del sistema es $x = 1, y = 0, z = 0$.

Comprobación: $2(1) + (0) = 2 \\quad (\\text{Correcto})$ $(1) + (0) + (0) = 1 \\quad (\\text{Correcto})$ $(0) - (1)(0) = 0 \\quad (\\text{Correcto})$

Ejercicio 2.

Se considera la función $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$.

a) Intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos: Para estudiar la monotonía (crecimiento y decrecimiento) y encontrar los extremos relativos (máximos y mínimos), necesitamos calcular la primera derivada de la función e igualarla a cero. $f'(x) = \\frac{d}{dx}(x^3 - 6x^2 + 9x) = 3x^2 - 12x + 9$ Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: $3x^2 - 12x + 9 = 0$ Dividimos toda la ecuación por 3 para simplificar: $x^2 - 4x + 3 = 0$ Resolvemos la ecuación cuadrática factorizando o usando la fórmula general. Factorizando: $(x-1)(x-3) = 0$ Los puntos críticos son $x=1$ y $x=3$.

Estos puntos dividen el dominio de la función ($\\mathbb{R}$) en tres intervalos: $(-\\infty, 1)$, $(1, 3)$ y $(3, \\infty)$. Estudiamos el signo de la primera derivada $f'(x)$ en cada intervalo:

• Intervalo $(-\\infty, 1)$: Elegimos un valor de prueba, por ejemplo, $x=0$. $f'(0) = 3(0)^2 - 12(0) + 9 = 9 > 0$. La función es creciente en $(-\\infty, 1)$.
• Intervalo $(1, 3)$: Elegimos un valor de prueba, por ejemplo, $x=2$. $f'(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 9 = 3(4) - 24 + 9 = 12 - 24 + 9 = -3 < 0$. La función es decreciente en $(1, 3)$.
• Intervalo $(3, \\infty)$: Elegimos un valor de prueba, por ejemplo, $x=4$. $f'(4) = 3(4)^2 - 12(4) + 9 = 3(16) - 48 + 9 = 48 - 48 + 9 = 9 > 0$. La función es creciente en $(3, \\infty)$.

Conclusiones sobre la monotonía:

• Intervalos de crecimiento: $(-\\infty, 1) \\cup (3, \\infty)$
• Intervalo de decrecimiento: $(1, 3)$

Determinación de máximos y mínimos: Utilizamos el criterio de la primera derivada (cambio de signo de $f'(x)$):

• En $x=1$: La función pasa de creciente a decreciente ($f'(x)$ cambia de + a -). Por lo tanto, hay un máximo relativo en $x=1$. El valor del máximo es $f(1) = (1)^3 - 6(1)^2 + 9(1) = 1 - 6 + 9 = 4$. El punto máximo es (1, 4).
• En $x=3$: La función pasa de decreciente a creciente ($f'(x)$ cambia de - a +). Por lo tanto, hay un mínimo relativo en $x=3$. El valor del mínimo es $f(3) = (3)^3 - 6(3)^2 + 9(3) = 27 - 6(9) + 27 = 27 - 54 + 27 = 0$. El punto mínimo es (3, 0).

b) Ecuación de la recta tangente a $f(x)$ en el punto de abscisa $x=4$: La ecuación de la recta tangente a la gráfica de $y=f(x)$ en el punto $(x_0, f(x_0))$ es: $y - f(x_0) = f'(x_0) (x - x_0)$ En este caso, $x_0 = 4$. Primero, calculamos el valor de la función en $x_0=4$: $f(4) = (4)^3 - 6(4)^2 + 9(4) = 64 - 6(16) + 36 = 64 - 96 + 36 = 4$ El punto de tangencia es $(4, 4)$. Segundo, calculamos el valor de la derivada (la pendiente de la tangente) en $x_0=4$: $f'(4) = 3(4)^2 - 12(4) + 9 = 48 - 48 + 9 = 9$ La pendiente de la recta tangente es $m_{tan} = 9$. Finalmente, sustituimos estos valores en la ecuación punto-pendiente de la recta: $y - 4 = 9 (x - 4)$ Despejamos y para obtener la ecuación explícita: $y - 4 = 9x - 36$ $y = 9x - 36 + 4$ $y = 9x - 32$

La ecuación de la recta tangente a $f(x)$ en $x=4$ es $y = 9x - 32$.

Ejercicio 3.

Se presenta la distribución de frecuencias del número de granos por espiga en una muestra de espigas de cereal, agrupadas en intervalos.

Nº de granos	Intervalo ($L_{i-1}$, $L_i$]	Marca de Clase ($x_i$)	Frecuencia Absoluta ($f_i$)	$f_i \\cdot x_i$	Frecuencia Acumulada ($F_i$)
	(0,10]	5	5	25	5
	(10,20]	15	6	90	11
	(20,30]	25	8	200	19
	(30,40]	35	14	490	33
	(40,50]	45	5	225	38
	(50,60]	55	2	110	40
Total			N = 40	Σ = 1140

a) Número medio de granos (Media Aritmética) y el intervalo modal:

• Media Aritmética ($\\bar{x}$): Para datos agrupados, se calcula como la suma de los productos de cada marca de clase ($x_i$) por su frecuencia absoluta ($f_i$), dividida por el número total de datos (N). $\\bar{x} = \\frac{\\sum_{i=1}^{k} f_i \\cdot x_i}{N}$ Usando los valores de la tabla: $\\bar{x} = \\frac{1140}{40} = 28.5$ El número medio de granos por espiga es 28.5.

• Intervalo Modal: Es el intervalo de clase que tiene la mayor frecuencia absoluta ($f_i$). Observando la columna de $f_i$, la frecuencia más alta es 14, que corresponde al intervalo (30,40].

b) Cálculo de la mediana e interpretación:

• Mediana ($Me$): Es el valor que divide la distribución en dos partes iguales. Primero, encontramos la posición de la mediana calculando $N/2$. $\\frac{N}{2} = \\frac{40}{2} = 20$ Buscamos el primer intervalo cuya frecuencia acumulada ($F_i$) sea mayor o igual a 20. Mirando la columna $F_i$, vemos que el intervalo (30,40] tiene $F_i = 33$, que es el primer valor mayor o igual a 20. Por lo tanto, el intervalo mediano es (30,40]. La fórmula para calcular la mediana en datos agrupados es: $Me = L_{i-1} + \\frac{\\frac{N}{2} - F_{i-1}}{f_i} \\cdot a_i$ Donde:

  • $L_{i-1}$ es el límite inferior del intervalo mediano = 30.
  • $N$ es el número total de datos = 40.
  • $F_{i-1}$ es la frecuencia acumulada del intervalo anterior al mediano = 19 (correspondiente al intervalo (20,30]).
  • $f_i$ es la frecuencia absoluta del intervalo mediano = 14.
  • $a_i$ es la amplitud del intervalo mediano = 40 - 30 = 10. Sustituimos los valores en la fórmula: $Me = 30 + \\frac{20 - 19}{14} \\cdot 10$ $Me = 30 + \\frac{1}{14} \\cdot 10 = 30 + \\frac{10}{14} = 30 + \\frac{5}{7}$ $Me \\approx 30 + 0.71428... \\approx 30.71$ La mediana es aproximadamente 30.71 granos.

• Interpretación del resultado: La mediana de 30.71 granos indica que aproximadamente el 50% de las espigas estudiadas tienen un número de granos igual o inferior a 30.71, mientras que el otro 50% tiene un número de granos superior a 30.71. Es una medida de tendencia central que representa el valor "central" de la distribución.

Ejercicio 4.

Definimos los siguientes sucesos:

• C: El coche tiene problemas de chapa.
• L: El coche tiene problemas con las lunas.

Se nos dan las siguientes probabilidades:

• $P(C) = 0.60$
• $P(L) = 0.15$
• $P(C \\cap L) = 0.06$ (Probabilidad de que tenga problemas de chapa Y de lunas)

a) Probabilidad de que un coche no tenga problemas de chapa ni de lunas: Buscamos la probabilidad del suceso "no C y no L", que se representa como $P(C^c \\cap L^c)$, donde $C^c$ es el suceso complementario de C (no tener problemas de chapa) y $L^c$ es el suceso complementario de L (no tener problemas de lunas). Por las leyes de De Morgan, sabemos que $C^c \\cap L^c = (C \\cup L)^c$. Por lo tanto, $P(C^c \\cap L^c) = P((C \\cup L)^c)$. La probabilidad del suceso complementario es $P(A^c) = 1 - P(A)$. Entonces: $P((C \\cup L)^c) = 1 - P(C \\cup L)$ Primero, necesitamos calcular la probabilidad de la unión $P(C \\cup L)$ (tener problemas de chapa O de lunas O ambos) usando la fórmula de la probabilidad de la unión: $P(C \\cup L) = P(C) + P(L) - P(C \\cap L)$ $P(C \\cup L) = 0.60 + 0.15 - 0.06 = 0.75 - 0.06 = 0.69$ Ahora calculamos la probabilidad pedida: $P(C^c \\cap L^c) = 1 - P(C \\cup L) = 1 - 0.69 = 0.31$ La probabilidad de que un coche no tenga problemas de chapa ni de lunas es 0.31.

b) Probabilidad de que un coche tenga problemas de lunas pero no de chapa: Buscamos la probabilidad del suceso "L y no C", que se representa como $P(L \\cap C^c)$. Podemos pensar en el suceso L como la unión de dos sucesos disjuntos: "tener problemas de lunas y de chapa" ($L \\cap C$) y "tener problemas de lunas pero no de chapa" ($L \\cap C^c$). $P(L) = P(L \\cap C) + P(L \\cap C^c)$ Despejamos la probabilidad que buscamos: $P(L \\cap C^c) = P(L) - P(L \\cap C)$ $P(L \\cap C^c) = 0.15 - 0.06 = 0.09$ La probabilidad de que un coche tenga problemas de lunas pero no de chapa es 0.09.

c) Probabilidad de que tenga un problema con las lunas si sabemos que tiene problemas de chapa: Esta es una probabilidad condicionada. Buscamos la probabilidad de L dado C, representada como $P(L | C)$. La fórmula de la probabilidad condicionada es: $P(L | C) = \\frac{P(L \\cap C)}{P(C)}$ Sustituimos los valores dados: $P(L | C) = \\frac{0.06}{0.60} = \\frac{6}{60} = \\frac{1}{10} = 0.10$ Si sabemos que un coche tiene problemas de chapa, la probabilidad de que también tenga un problema con las lunas es 0.10.