Examen Resuelto Prueba de Acceso UCM Física 2025

OPCIÓN A

Pregunta 1.-

a) El tiempo que tarda la ISS en completar una vuelta alrededor de la Tierra.

Razonamiento: La Estación Espacial Internacional (ISS) describe una órbita circular alrededor de la Tierra. La fuerza responsable de mantener esta órbita es la fuerza de atracción gravitatoria ejercida por la Tierra sobre la ISS, que actúa como fuerza centrípeta.

1. Calcular el radio de la órbita (r): El radio de la órbita es la suma del radio de la Tierra (RT) y la altitud (h) sobre la superficie. Es necesario expresar ambos en metros. $R_T = 6400 \\, \\text{km} = 6.4 \\times 10^6 \\, \\text{m}$ $h = 400 \\, \\text{km} = 0.4 \\times 10^6 \\, \\text{m}$ $r = R_T + h = (6.4 \\times 10^6) + (0.4 \\times 10^6) = 6.8 \\times 10^6 \\, \\text{m}$

2. Igualar la fuerza gravitatoria (Fg) y la fuerza centrípeta (Fc): Sea m la masa de la ISS y MT la masa de la Tierra. $F_g = G \\frac{M_T m}{r^2}$ $F_c = m \\frac{v^2}{r}$ Donde v es la velocidad orbital de la ISS. Igualando ambas fuerzas: $G \\frac{M_T m}{r^2} = m \\frac{v^2}{r}$

3. Calcular la velocidad orbital (v): Simplificando la ecuación anterior, podemos despejar la velocidad v: $v^2 = G \\frac{M_T}{r}$ $v = \\sqrt{G \\frac{M_T}{r}}$ Sustituyendo los valores dados: $v = \\sqrt{(6.67 \\times 10^{-11} \\, \\text{N m}^2 \\text{kg}^{-2}) \\frac{(6 \\times 10^{24} \\, \\text{kg})}{(6.8 \\times 10^6 \\, \\text{m})}}$ $v = \\sqrt{\\frac{4.002 \\times 10^{14}}{6.8 \\times 10^6}} \\, \\text{m/s} = \\sqrt{5.885 \\times 10^7} \\, \\text{m/s} \\approx 7671.4 \\, \\text{m/s}$

4. Calcular el período orbital (T): El período es el tiempo que tarda en completar una vuelta. En un movimiento circular uniforme, la velocidad es constante y se relaciona con el radio y el período mediante: $v = \\frac{2 \\pi r}{T}$ Despejando el período T: $T = \\frac{2 \\pi r}{v}$ $T = \\frac{2 \\pi (6.8 \\times 10^6 \\, \\text{m})}{7671.4 \\, \\text{m/s}}$ $T \\approx \\frac{4.273 \\times 10^7}{7671.4} \\, \\text{s} \\approx 5570 \\, \\text{s}$

   También podemos calcular T usando la tercera ley de Kepler generalizada $T^2 = \\frac{4\\pi^2}{GM_T}r^3$: $T = 2 \\pi \\sqrt{\\frac{r^3}{G M_T}} = 2 \\pi \\sqrt{\\frac{(6.8 \\times 10^6 \\, \\text{m})^3}{(6.67 \\times 10^{-11} \\, \\text{N m}^2 \\text{kg}^{-2})(6 \\times 10^{24} \\, \\text{kg})}}$ $T = 2 \\pi \\sqrt{\\frac{3.144 \\times 10^{20}}{4.002 \\times 10^{14}}} \\, \\text{s} = 2 \\pi \\sqrt{7.856 \\times 10^5} \\, \\text{s} \\approx 2 \\pi (886.3) \\, \\text{s} \\approx 5570 \\, \\text{s}$

Resultado (a): El tiempo que tarda la ISS en completar una vuelta es aproximadamente $T = 5570 \\, \\text{s}$ (aproximadamente 92.8 minutos).

b) La energía mecánica que tiene la ISS en la órbita.

Razonamiento: La energía mecánica (Em) de un satélite en órbita es la suma de su energía cinética (Ec) y su energía potencial gravitatoria (Ep).

1. Energía Cinética (Ec): $E_c = \\frac{1}{2} m v^2$ Usando la expresión para $v^2 = G \\frac{M_T}{r}$ obtenida en el apartado (a): $E_c = \\frac{1}{2} m \\left( G \\frac{M_T}{r} \\right) = \\frac{1}{2} G \\frac{M_T m}{r}$

2. Energía Potencial Gravitatoria (Ep): La energía potencial gravitatoria de la masa m a una distancia r del centro de la masa MT es: $E_p = - G \\frac{M_T m}{r}$

3. Energía Mecánica Total (Em): $E_m = E_c + E_p = \\frac{1}{2} G \\frac{M_T m}{r} - G \\frac{M_T m}{r}$ $E_m = - \\frac{1}{2} G \\frac{M_T m}{r}$ Esta es la expresión general para la energía mecánica de un objeto en órbita circular.

4. Calcular Em: Sustituimos los valores numéricos: $E_m = - \\frac{1}{2} (6.67 \\times 10^{-11} \\, \\text{N m}^2 \\text{kg}^{-2}) \\frac{(6 \\times 10^{24} \\, \\text{kg})(4.2 \\times 10^5 \\, \\text{kg})}{(6.8 \\times 10^6 \\, \\text{m})}$ $E_m = - \\frac{1}{2} \\frac{1.681 \\times 10^{20}}{6.8 \\times 10^6} \\, \\text{J}$ $E_m = - \\frac{1}{2} (2.472 \\times 10^{13}) \\, \\text{J} \\approx -1.236 \\times 10^{13} \\, \\text{J}$

Resultado (b): La energía mecánica de la ISS en la órbita es $E_m \\approx -1.236 \\times 10^{13} \\, \\text{J}$. El signo negativo indica que es un sistema ligado (la ISS está ligada gravitatoriamente a la Tierra).

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Pregunta 2.-

a) La amplitud de la onda, su frecuencia temporal, su longitud de onda y su velocidad de propagación.

Razonamiento: La ecuación de una onda transversal que se propaga en una cuerda viene dada por $y(x, t) = A \\sin(\\omega t - kx + \\phi_0)$, donde A es la amplitud, ω es la frecuencia angular, k es el número de onda, y φ₀ es la fase inicial. La ecuación dada es $y(x, t) = 2.86 \\cdot \\sin(6\\pi t - 3\\pi x + 1.07)$. Es importante notar que x e y están en cm y t en segundos.

1. Amplitud (A): Es el valor máximo del desplazamiento transversal. Comparando la ecuación dada con la forma general, la amplitud es el coeficiente que multiplica a la función seno. $A = 2.86 \\, \\text{cm}$

2. Frecuencia Angular (ω): Es el coeficiente que multiplica al tiempo t. $\\omega = 6\\pi \\, \\text{rad/s}$

3. Frecuencia Temporal (f): La frecuencia temporal se relaciona con la frecuencia angular mediante $\\omega = 2\\pi f$. $f = \\frac{\\omega}{2\\pi} = \\frac{6\\pi \\, \\text{rad/s}}{2\\pi \\, \\text{rad}} = 3 \\, \\text{Hz}$

4. Número de Onda (k): Es el coeficiente que multiplica a la posición x. El signo negativo indica la dirección de propagación (en este caso, hacia el +x). $k = 3\\pi \\, \\text{rad/cm}$ (Nótese que la unidad es rad/cm ya que x está en cm).

5. Longitud de Onda (λ): La longitud de onda se relaciona con el número de onda mediante $k = \\frac{2\\pi}{\\lambda}$. $\\lambda = \\frac{2\\pi}{k} = \\frac{2\\pi \\, \\text{rad}}{3\\pi \\, \\text{rad/cm}} = \\frac{2}{3} \\, \\text{cm}$

6. Velocidad de Propagación (v): La velocidad de propagación de la onda se puede calcular como $v = \\frac{\\omega}{k}$ o $v = \\lambda f$. Usando $v = \\frac{\\omega}{k}$: $v = \\frac{6\\pi \\, \\text{rad/s}}{3\\pi \\, \\text{rad/cm}} = 2 \\, \\text{cm/s}$ Usando $v = \\lambda f$: $v = \\left(\\frac{2}{3} \\, \\text{cm}\\right) (3 \\, \\text{Hz}) = 2 \\, \\text{cm/s}$

Resultado (a):

• Amplitud: $A = 2.86 \\, \\text{cm}$
• Frecuencia temporal: $f = 3 \\, \\text{Hz}$
• Longitud de onda: $\\lambda = \\frac{2}{3} \\, \\text{cm} \\approx 0.67 \\, \\text{cm}$
• Velocidad de propagación: $v = 2 \\, \\text{cm/s}$

b) La velocidad con la que se desplazará un punto de la cuerda situado en el origen de coordenadas en t = 5 s.

Razonamiento: Se pide la velocidad transversal (velocidad de oscilación) de un punto específico de la cuerda (x=0) en un instante de tiempo específico (t=5 s). Esta velocidad se obtiene derivando la ecuación de la posición y(x,t) con respecto al tiempo t.

1. Calcular la velocidad transversal vy(x, t): $v_y(x, t) = \\frac{\\partial y(x, t)}{\\partial t}$ $v_y(x, t) = \\frac{\\partial}{\\partial t} [2.86 \\cdot \\sin(6\\pi t - 3\\pi x + 1.07)]$ Aplicando la regla de la cadena: $v_y(x, t) = 2.86 \\cdot \\cos(6\\pi t - 3\\pi x + 1.07) \\cdot \\frac{\\partial}{\\partial t}(6\\pi t - 3\\pi x + 1.07)$ $v_y(x, t) = 2.86 \\cdot \\cos(6\\pi t - 3\\pi x + 1.07) \\cdot (6\\pi)$ $v_y(x, t) = 17.16\\pi \\cdot \\cos(6\\pi t - 3\\pi x + 1.07)$ Las unidades de esta velocidad serán cm/s, ya que y está en cm y t en s.

2. Evaluar vy en x = 0 y t = 5 s: Sustituimos x=0 y t=5 en la expresión de vy: $v_y(0, 5) = 17.16\\pi \\cdot \\cos(6\\pi(5) - 3\\pi(0) + 1.07)$ $v_y(0, 5) = 17.16\\pi \\cdot \\cos(30\\pi + 1.07)$ Como la función coseno es periódica con período 2π, $\\cos(30\\pi + 1.07) = \\cos(1.07)$. El argumento 1.07 está en radianes. $v_y(0, 5) = 17.16\\pi \\cdot \\cos(1.07)$ Calculamos el valor numérico (asegurándose de que la calculadora esté en modo radianes): $\\cos(1.07) \\approx 0.4805$ $v_y(0, 5) \\approx 17.16\\pi \\cdot (0.4805)$ $v_y(0, 5) \\approx 53.91 \\cdot (0.4805) \\approx 25.90 \\, \\text{cm/s}$

Resultado (b): La velocidad del punto de la cuerda en x=0 en t=5 s es $v_y(0, 5) \\approx 25.90 \\, \\text{cm/s}$.

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Pregunta 3.-

a) Calcule la fuerza electromotriz inducida en la espira a los 100 s.

Razonamiento: La fuerza electromotriz (FEM) inducida en una espira se calcula mediante la Ley de Faraday, que establece que la FEM es igual a la tasa de cambio temporal del flujo magnético a través de la espira, cambiada de signo: $\\epsilon = - \\frac{d\\Phi_B}{dt}$.

1. Calcular el área de la espira (A): La espira es cuadrada de lado L = 10 cm = 0.1 m. $A = L^2 = (0.1 \\, \\text{m})^2 = 0.01 \\, \\text{m}^2$

2. Calcular el flujo magnético (ΦB): El campo magnético B es perpendicular al plano de la espira, por lo que el ángulo entre el vector campo magnético y el vector normal a la superficie de la espira es 0° o 180°. Asumimos 0°, así $\\cos(\\theta) = 1$. El flujo magnético es $\\Phi_B = \\vec{B} \\cdot \\vec{A} = B \\cdot A \\cdot \\cos(\\theta) = B \\cdot A$. El campo magnético varía con el tiempo según $B(t) = 0.0591 - e^{-t/100}$ (en Teslas). Por lo tanto, el flujo magnético a través de la espira es: $\\Phi_B(t) = (0.0591 - e^{-t/100}) \\cdot A = (0.0591 - e^{-t/100}) \\cdot 0.01 \\, \\text{Wb}$

3. Calcular la derivada temporal del flujo magnético: $\\frac{d\\Phi_B}{dt} = \\frac{d}{dt} [0.01 \\cdot (0.0591 - e^{-t/100})]$ $\\frac{d\\Phi_B}{dt} = 0.01 \\cdot \\frac{d}{dt} (0.0591 - e^{-t/100})$ $\\frac{d\\Phi_B}{dt} = 0.01 \\cdot (0 - e^{-t/100} \\cdot (-\\frac{1}{100}))$ $\\frac{d\\Phi_B}{dt} = 0.01 \\cdot \\frac{1}{100} e^{-t/100} = 1 \\times 10^{-4} e^{-t/100} \\, \\text{Wb/s}$

4. Calcular la FEM inducida (ε) según la Ley de Faraday: $\\epsilon = - \\frac{d\\Phi_B}{dt} = - (1 \\times 10^{-4} e^{-t/100}) \\, \\text{V}$

5. Evaluar la FEM en t = 100 s: $\\epsilon(100) = -1 \\times 10^{-4} \\cdot e^{-100/100} = -1 \\times 10^{-4} \\cdot e^{-1} \\, \\text{V}$ Usando $e^{-1} \\approx 0.36788$: $\\epsilon(100) \\approx -1 \\times 10^{-4} \\cdot 0.36788 \\, \\text{V} \\approx -3.679 \\times 10^{-5} \\, \\text{V}$

Resultado (a): La fuerza electromotriz inducida en la espira a los 100 s es $\\epsilon(100) \\approx -3.679 \\times 10^{-5} \\, \\text{V}$.

b) ¿Cuál será el valor de intensidad de corriente eléctrica que podríamos esperar que circulase por la espira al cabo de un tiempo suficientemente grande?

Razonamiento: La intensidad de corriente inducida (I) en la espira se calcula mediante la Ley de Ohm, $I = \\frac{\\epsilon}{R}$, donde R es la resistencia de la espira (R = 3 Ω). Necesitamos determinar el comportamiento de la FEM inducida (ε) cuando el tiempo t es suficientemente grande (tiende a infinito).

1. Analizar la FEM inducida para t → ∞: La expresión de la FEM inducida es $\\epsilon(t) = -1 \\times 10^{-4} e^{-t/100} \\, \\text{V}$. Calculamos el límite cuando t tiende a infinito: $\\lim_{t \\to \\infty} \\epsilon(t) = \\lim_{t \\to \\infty} (-1 \\times 10^{-4} e^{-t/100})$ Como $\\lim_{t \\to \\infty} e^{-t/100} = 0$, entonces: $\\lim_{t \\to \\infty} \\epsilon(t) = -1 \\times 10^{-4} \\cdot 0 = 0 \\, \\text{V}$

2. Calcular la intensidad de corriente para t → ∞: Usando la Ley de Ohm: $I(t \\to \\infty) = \\frac{\\epsilon(t \\to \\infty)}{R} = \\frac{0 \\, \\text{V}}{3 \\, \\Omega} = 0 \\, \\text{A}$

Explicación Física: Al cabo de un tiempo suficientemente grande ($t \\to \\infty$), el término exponencial $e^{-t/100}$ tiende a cero. El campo magnético $B(t) = 0.0591 - e^{-t/100}$ tiende a un valor constante $B_{final} = 0.0591 \\, \\text{T}$. Cuando el flujo magnético a través de la espira es constante (porque el campo magnético es constante y la espira no se mueve ni deforma), su derivada respecto al tiempo es cero ($d\\Phi_B/dt = 0$). Por la Ley de Faraday, la FEM inducida es cero, y consecuentemente, la intensidad de corriente inducida también es cero.

Resultado (b): Al cabo de un tiempo suficientemente grande, la intensidad de corriente eléctrica que circula por la espira será $I = 0 \\, \\text{A}$.

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Pregunta 4.-

a) Determine la posición y el tamaño de la imagen del objeto proporcionada por el espejo.

Razonamiento: Se trata de la formación de una imagen por un espejo cóncavo. Utilizaremos la ecuación de los espejos esféricos y la fórmula del aumento lateral. Es fundamental establecer una convención de signos consistente. Usaremos la convención cartesiana: el vértice del espejo (V) está en el origen, el eje óptico es el eje X, la luz incidente viaja de izquierda a derecha. El objeto está a la izquierda del espejo.

1. Datos y Signos:

   • Altura del objeto: $h_o = +30 \\, \\text{cm}$ (positivo por ser derecho).
   • Posición del objeto: $s_o = -120 \\, \\text{cm}$ (negativo por estar a la izquierda del vértice V, en la zona real para el objeto).
   • Radio de curvatura: $R = -90 \\, \\text{cm}$ (negativo para un espejo cóncavo, ya que el centro de curvatura C está a la izquierda de V).
   • Distancia focal: $f = \\frac{R}{2} = \\frac{-90 \\, \\text{cm}}{2} = -45 \\, \\text{cm}$ (negativa, foco F está a la izquierda de V).

2. Calcular la posición de la imagen (si) usando la ecuación de los espejos: $\\frac{1}{s_o} + \\frac{1}{s_i} = \\frac{1}{f}$ $\\frac{1}{-120 \\, \\text{cm}} + \\frac{1}{s_i} = \\frac{1}{-45 \\, \\text{cm}}$ $\\frac{1}{s_i} = \\frac{1}{-45} - \\frac{1}{-120} = -\\frac{1}{45} + \\frac{1}{120}$ Buscamos un denominador común (e.g., 360): $\\frac{1}{s_i} = \\frac{-8}{360} + \\frac{3}{360} = \\frac{-5}{360} = -\\frac{1}{72}$ $s_i = -72 \\, \\text{cm}$ La posición de la imagen es 72 cm a la izquierda del espejo. Como $s_i$ es negativa, la imagen se forma en la zona real (delante del espejo).

3. Calcular el tamaño de la imagen (hi) usando la fórmula del aumento lateral (M): $M = \\frac{h_i}{h_o} = -\\frac{s_i}{s_o}$ $h_i = h_o \\cdot \\left(-\\frac{s_i}{s_o}\\right)$ $h_i = (30 \\, \\text{cm}) \\cdot \\left(-\\frac{-72 \\, \\text{cm}}{-120 \\, \\text{cm}}\\right)$ $h_i = 30 \\cdot \\left(-\\frac{72}{120}\\right) = 30 \\cdot \\left(-\\frac{6 \\times 12}{10 \\times 12}\\right) = 30 \\cdot \\left(-\\frac{6}{10}\\right) = 30 \\cdot (-0.6)$ $h_i = -18 \\, \\text{cm}$ El tamaño de la imagen es 18 cm. El signo negativo indica que la imagen está invertida respecto al objeto.

Resultado (a): La imagen se forma a $s_i = -72 \\, \\text{cm}$ (72 cm delante del espejo). Es una imagen real. El tamaño de la imagen es $h_i = -18 \\, \\text{cm}$. Es una imagen invertida y de menor tamaño que el objeto (18 cm de altura).

b) Realice el diagrama de rayos correspondiente.

Razonamiento: El diagrama de rayos permite visualizar la formación de la imagen. Trazaremos tres rayos principales desde la punta superior del objeto.

1. Elementos del diagrama: Eje óptico, espejo cóncavo, vértice (V), centro de curvatura (C a -90 cm), foco (F a -45 cm), objeto (flecha vertical de altura $h_o$ en $s_o = -120 \\, \\text{cm}$).

2. Trazado de rayos:

   • Rayo 1: Un rayo que sale de la punta del objeto paralelo al eje óptico. Tras reflejarse en el espejo, pasa por el foco F (-45 cm).
   • Rayo 2: Un rayo que sale de la punta del objeto y pasa por el foco F. Tras reflejarse en el espejo, emerge paralelo al eje óptico.
   • Rayo 3: Un rayo que sale de la punta del objeto y pasa por el centro de curvatura C (-90 cm). Este rayo incide perpendicularmente sobre el espejo y se refleja sobre sí mismo.

3. Formación de la imagen: Los tres rayos reflejados (o sus prolongaciones) se cortan en un punto. Este punto es la imagen de la punta del objeto. En este caso, los rayos reflejados convergen en un punto situado a -72 cm del espejo y por debajo del eje óptico.

Diagrama de Rayos:

% LaTeX tikz code for ray diagram (conceptual representation)
% This cannot be directly rendered here, but describes the diagram.
\begin{tikzpicture}[scale=0.05]
    % Axis
    \draw[->] (-150,0) -- (10,0) node[right] {Eje Óptico};
    % Mirror (concave)
    \draw (0,0) arc (180:270:20);
    \draw (0,0) arc (180:90:20);
    \node at (0,0) [left] {V};
    % C and F
    \coordinate (C) at (-90,0); \fill (C) circle (4pt) node[below] {C};
    \coordinate (F) at (-45,0); \fill (F) circle (4pt) node[below] {F};
    % Object
    \coordinate (O) at (-120,0);
    \coordinate (O_top) at (-120, 30);
    \draw[thick, blue, ->] (O) -- (O_top) node[above] {Objeto ($h_o$)};
    % Ray 1 (Parallel -> F)
    \coordinate (M1) at (0, 30);
    \draw[red] (O_top) -- (M1);
    \draw[red, ->] (M1) -- ($(F)!3!($(M1)$)$); % Ray extending beyond F
    % Ray 2 (F -> Parallel)
    \coordinate (M2) at (0, 10); % Calculated intersection with mirror approximately
    \draw[green] (O_top) -- (F); % Line towards F
    \draw[green] (F) -- (M2); % Ray hits mirror
    \draw[green, ->] (M2) -- (-150, 10); % Reflected parallel
    % Ray 3 (C -> C)
    \coordinate (M3) at (0, 20); % Calculated intersection with mirror approximately
    \draw[purple] (O_top) -- (C); % Line towards C
    \draw[purple] (C) -- (M3); % Ray hits mirror
    \draw[purple, ->] (M3) -- (O_top); % Ray reflects back through C
    % Image (intersection) - Approximate location based on calculation
    \coordinate (I_top) at (-72, -18);
    \coordinate (I) at (-72, 0);
    \draw[thick, orange, ->] (I) -- (I_top) node[below left] {Imagen ($h_i$)};
    \fill (I_top) circle (3pt); % Mark intersection
\end{tikzpicture}

Descripción del Diagrama: El diagrama muestra el espejo cóncavo, el eje óptico con F y C marcados. El objeto es una flecha vertical en $s_o = -120 \\, \\text{cm}$. Se trazan los rayos principales: el paralelo que refleja por F, el que pasa por F y refleja paralelo, y el que pasa por C y refleja sobre sí mismo. La intersección de los rayos reflejados se produce en $s_i = -72 \\, \\text{cm}$, formando una imagen invertida ($h_i < 0$) y más pequeña que el objeto ($|h_i| < h_o$). Esto confirma visualmente los resultados calculados.

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Pregunta 5.-

a) La constante de desintegración radiactiva del 131I y la actividad de una masa de 1 mg de 131I.

Razonamiento: La constante de desintegración (λ) está relacionada con el periodo de semidesintegración (T½). La actividad (A) de una muestra radiactiva es el número de desintegraciones por unidad de tiempo y es igual al producto de la constante de desintegración por el número de núcleos radiactivos (N).

1. Convertir T½ a segundos: $T_{1/2} = 8 \\, \\text{días} = 8 \\, \\text{días} \\times \\frac{24 \\, \\text{horas}}{1 \\, \\text{día}} \\times \\frac{3600 \\, \\text{s}}{1 \\, \\text{hora}} = 691200 \\, \\text{s}$

2. Calcular la constante de desintegración (λ): La relación entre T½ y λ es: $T_{1/2} = \\frac{\\ln 2}{\\lambda}$ $\\lambda = \\frac{\\ln 2}{T_{1/2}} = \\frac{0.693147}{691200 \\, \\text{s}} \\approx 1.0028 \\times 10^{-6} \\, \\text{s}^{-1}$

3. Calcular el número inicial de núcleos (N₀) en 1 mg de 131I:

   • Masa de la muestra: $m = 1 \\, \\text{mg} = 1 \\times 10^{-3} \\, \\text{g}$
   • Masa molar del 131I: $M = 131.91 \\, \\text{g/mol}$
   • Número de moles (n): $n = \\frac{m}{M} = \\frac{1 \\times 10^{-3} \\, \\text{g}}{131.91 \\, \\text{g/mol}} \\approx 7.581 \\times 10^{-6} \\, \\text{mol}$
   • Número de núcleos (N₀) usando el número de Avogadro (NA): $N_0 = n \\cdot N_A = (7.581 \\times 10^{-6} \\, \\text{mol}) \\cdot (6.02 \\times 10^{23} \\, \\text{mol}^{-1})$ $N_0 \\approx 4.564 \\times 10^{18} \\, \\text{núcleos}$

4. Calcular la actividad inicial (A₀): La actividad se define como $A_0 = \\lambda N_0$. La unidad de actividad es el Becquerel (Bq), que equivale a 1 desintegración por segundo. $A_0 = (1.0028 \\times 10^{-6} \\, \\text{s}^{-1}) \\cdot (4.564 \\times 10^{18})$ $A_0 \\approx 4.577 \\times 10^{12} \\, \\text{Bq}$

Resultado (a):

• Constante de desintegración: $\\lambda \\approx 1.003 \\times 10^{-6} \\, \\text{s}^{-1}$
• Actividad de 1 mg: $A_0 \\approx 4.58 \\times 10^{12} \\, \\text{Bq}$

b) La actividad que quedará en 1 mg de 131I al cabo de 20 días.

Razonamiento: La actividad de una muestra radiactiva disminuye exponencialmente con el tiempo según la ley de desintegración radiactiva: $A(t) = A_0 e^{-\\lambda t}$.

1. Convertir el tiempo t a segundos: $t = 20 \\, \\text{días} = 20 \\times 24 \\times 3600 \\, \\text{s} = 1,728,000 \\, \\text{s}$

2. Calcular la actividad A(t) después de 20 días: Usamos la actividad inicial A₀ y la constante λ calculadas en el apartado (a). $A(t) = A_0 e^{-\\lambda t}$ $A(20 \\, \\text{días}) = (4.577 \\times 10^{12} \\, \\text{Bq}) \\cdot e^{-(1.0028 \\times 10^{-6} \\, \\text{s}^{-1}) \\cdot (1,728,000 \\, \\text{s})}$ Calculamos el exponente: $-\\lambda t = -(1.0028 \\times 10^{-6}) \\cdot (1.728 \\times 10^6) \\approx -1.7328$ $A(20 \\, \\text{días}) = (4.577 \\times 10^{12}) \\cdot e^{-1.7328}$ $e^{-1.7328} \\approx 0.17679$ $A(20 \\, \\text{días}) \\approx (4.577 \\times 10^{12}) \\cdot (0.17679) \\approx 8.092 \\times 10^{11} \\, \\text{Bq}$

Método alternativo usando el número de periodos de semidesintegración:

1. Calcular cuántos periodos de semidesintegración (n) hay en 20 días: $n = \\frac{t}{T_{1/2}} = \\frac{20 \\, \\text{días}}{8 \\, \\text{días}} = 2.5$
2. Calcular la actividad restante usando la fórmula $A(t) = A_0 \\left(\\frac{1}{2}\\right)^n$: $A(20 \\, \\text{días}) = A_0 \\left(\\frac{1}{2}\\right)^{2.5} = (4.577 \\times 10^{12}) \\cdot (0.5)^{2.5}$ $(0.5)^{2.5} = (0.5)^2 \\cdot (0.5)^{0.5} = 0.25 \\cdot \\sqrt{0.5} \\approx 0.25 \\cdot 0.7071 \\approx 0.17677$ $A(20 \\, \\text{días}) \\approx (4.577 \\times 10^{12}) \\cdot (0.17677) \\approx 8.091 \\times 10^{11} \\, \\text{Bq}$ Ambos métodos dan resultados consistentes.

Resultado (b): La actividad que quedará al cabo de 20 días es $A(20 \\, \\text{días}) \\approx 8.09 \\times 10^{11} \\, \\text{Bq}$.