Examen Resuelto Selectividad EVAU UCLM Junio Física 2023/2024

Examen 1

1.-

La máxima distancia se alcanza cuando la velocidad final es cero. Usando la conservación de la energía:

$$E_{inicial} = E_{final}$$ $$\frac{1}{2}mv_0^2 - \frac{GMm}{R} = -\frac{GMm}{r}$$

Simplificando la masa $m$ y despejando $r$:

$$\frac{1}{2}v_0^2 - \frac{GM}{R} = -\frac{GM}{r}$$ $$\frac{GM}{r} = \frac{GM}{R} - \frac{1}{2}v_0^2$$ $$\frac{1}{r} = \frac{1}{R} - \frac{v_0^2}{2GM}$$ $$\frac{1}{r} = \frac{2GM - Rv_0^2}{2GMR}$$ $$r = \frac{2GMR}{2GM - Rv_0^2}$$

Dividiendo numerador y denominador por $2GM$:

$$r = \frac{R}{1 - \frac{Rv_0^2}{2GM}}$$

Por lo tanto, la respuesta correcta es la b):

$$\frac{r}{R} = \frac{1}{1 - \frac{Rv_0^2}{2GM}}$$

2.-

Sustituyendo los valores numéricos en la ecuación obtenida en el apartado anterior:

$$r = \frac{2 \times 6.67 \times 10^{-11} \times 6.42 \times 10^{23} \times 4500 \times 10^3}{2 \times 6.67 \times 10^{-11} \times 6.42 \times 10^{23} - 4500 \times 10^3 \times (2 \times 10^3)^2}$$

$r \\approx 5.7 \\times 10^6 \\ m$

La respuesta correcta es la a).

3.-

Cuando la masa $m$ alcanza la altura máxima, su velocidad es cero, por lo que su energía cinética es cero. Toda la energía mecánica se ha convertido en energía potencial gravitatoria.

La respuesta correcta es la c).

4.-

Para que la masa describa una órbita circular, la fuerza gravitatoria debe ser igual a la fuerza centrípeta:

$$\frac{GMm}{r^2} = m\omega^2 r$$

Despejando la velocidad angular $\\omega$:

$$\omega^2 = \frac{GM}{r^3}$$ $$\omega = \sqrt{\frac{GM}{r^3}}$$

La respuesta correcta es la a).

5.-

La velocidad lineal se relaciona con la velocidad angular mediante la ecuación:

$$v = \omega r$$

Sustituyendo la expresión para $\\omega$ obtenida en el apartado anterior:

$$v = \sqrt{\frac{GM}{r^3}} \cdot r = \sqrt{\frac{GM}{r}}$$

La respuesta correcta es la a).

6.-

El flujo magnético a través de la espira se calcula como el producto del campo magnético por el área de la espira. Dado que el campo es normal al plano de la espira, el ángulo entre el vector campo magnético y el vector área es 0 grados, y el coseno de 0 es 1:

$$\phi_B(t) = B(t) \cdot A = B(t) \cdot \pi R^2$$

La respuesta correcta es la a).

7.-

La fuerza electromotriz inducida se calcula mediante la ley de Faraday:

$$\epsilon(t) = -\frac{d\phi_B(t)}{dt}$$

Sustituyendo la expresión del flujo magnético:

$$\epsilon(t) = -\frac{d(B(t)\pi R^2)}{dt} = -\pi R^2 \frac{dB(t)}{dt}$$

La respuesta correcta es la a).

8.-

Primero, calculamos la derivada del campo magnético respecto al tiempo:

$$B(t) = 2t + 4t^2$$ $$\frac{dB(t)}{dt} = 2 + 8t$$

Ahora, sustituimos este resultado y el valor de $R$ en la expresión de la fuerza electromotriz inducida:

$$\epsilon(t) = -\pi (0.04)^2 (2 + 8t)$$

Evaluamos en $t=5 \\ s$:

$$\epsilon(5) = -\pi (0.04)^2 (2 + 8 \cdot 5) = -\pi (0.0016)(42) \approx -0.21 \ V$$

La respuesta correcta es la c).

9.-

Dado que la ambulancia se aleja de la niña, la frecuencia percibida por la niña será inferior a la frecuencia emitida por la ambulancia debido al efecto Doppler.

La respuesta correcta es la c).

10.-

La fórmula del efecto Doppler para una fuente que se aleja del observador es:

$$\nu = \nu_0 \frac{v_{sonido}}{v_{sonido} + v_{fuente}}$$

Donde:

• $\\nu$ es la frecuencia percibida por el observador.
• $\\nu_0$ es la frecuencia emitida por la fuente.
• $v_{sonido}$ es la velocidad del sonido.
• $v_{fuente}$ es la velocidad de la fuente (positiva si se aleja).

El cambio en la frecuencia es:

$$\Delta\nu = \nu_0 - \nu = \nu_0 - \nu_0 \frac{v_{sonido}}{v_{sonido} + v_{fuente}} = \nu_0 \left(1 - \frac{v_{sonido}}{v_{sonido} + v_{fuente}}\right) = \nu_0 \left(\frac{v_{fuente}}{v_{sonido} + v_{fuente}}\right)$$

De la expresión anterior, se deduce que $\\Delta\\nu$ es directamente proporcional al valor de $\\nu_0$.

La respuesta correcta es la a).

Problema 1 Examen 1

a)

La longitud de onda de De Broglie para el electrón es:

$$\lambda_e = \frac{h}{p_e} = \frac{h}{m_e v_e}$$

La longitud de onda del fotón es:

$$E = h\nu = \frac{hc}{\lambda_f} \Rightarrow \lambda_f = \frac{hc}{E}$$

Igualando las longitudes de onda:

$$\frac{h}{m_e v_e} = \frac{hc}{E}$$

Despejando la velocidad del electrón:

$$v_e = \frac{E}{m_e c} = \frac{1.5 \ eV \times 1.6 \times 10^{-19} \ J/eV}{9.1 \times 10^{-31} \ kg \times 3 \times 10^8 \ m/s} \approx 7.27\times10^{5} m/s$$ $$v_e = \frac{h \cdot E}{m_e \cdot h \cdot c}=\frac{E}{m \cdot c}$$

b)

La longitud de onda del electrón es la misma que la del fotón, calculada anteriormente:

$$\lambda_e = \lambda_f = \frac{hc}{E} = \frac{6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s \times 3 \times 10^8 \ m/s}{1.5 \ eV \times 1.6 \times 10^{-19} \ J/eV} \approx 8.29 \times 10^{-7} \ m$$

Este resultado se obtuvo utilizando la relación de De Broglie, que establece que toda partícula material tiene una longitud de onda asociada inversamente proporcional a su momento lineal, y la relación entre energía y longitud de onda para un fotón.

Problema 2 Examen 1

a)

Para que el campo eléctrico se anule en el origen (0,0), la carga en P4 debe ser igual en magnitud a la suma vectorial de las contribuciones de las otras tres cargas, pero de signo contrario. Debido a la simetría, las componentes x del campo creado por P1 y P2 se cancelan, y lo mismo ocurre con las componentes y del campo creado por P2 y P3. Por lo tanto, calculamos el campo eléctrico creado por P2 en el origen:

$$\vec{E}_{2} = K \frac{q}{r^2} \hat{u} = 9 \times 10^9 \frac{2 \times 10^{-6}}{((0.02)^2 + (0.02)^2)} \left( \frac{2}{\sqrt{8}} \hat{\imath} - \frac{2}{\sqrt{8}} \hat{\jmath} \right) = \frac{9}{4} \times 10^6 (\hat{\imath} - \hat{\jmath}) \ N/C$$

El campo total debido a P1, P2 y P3 es:

$$\vec{E}_{1,2,3} = K\frac{q}{r^2}(-\hat{\imath} + \hat{\jmath}) + K\frac{q}{r^2}(\hat{\imath} + \hat{\jmath}) + K\frac{q}{r^2}(\hat{\imath} - \hat{\jmath})$$ $$= \frac{9}{4} \times 10^6 (\hat{\imath} - \hat{\jmath})$$

Para anular el campo en el origen, la carga q4 en P4=(2,2) debe producir un campo igual y opuesto:

$$\vec{E}_{4} = -\frac{9}{4} \cdot 10^{6} (\hat{\imath} - \hat{\jmath}) = - \vec{E}_{1,2,3}$$

El campo creado por una carga puntual:

$$\vec{E} = K\frac{Q}{d^2}\vec{u_r}$$

Como la distancia es la misma, y el vector director es opuesto, la carga $q_4$ debe tener la misma magnitud pero signo contrario, para que el campo se anule.

$$\vec{E_{4}} = K \frac{q_4}{r^2}(-\hat{u}) = - K \frac{q}{r^2}\hat{u}$$

$q_4 = -2 \\mu C$ El potencial eléctrico en el origen, debido a las cuatro cargas es:

$$V = \sum_{i=1}^4 \frac{Kq_i}{r_i} = K \frac{2\mu C}{\sqrt{0.02^2 + 0.02^2}} + K \frac{2\mu C}{\sqrt{0.02^2 + 0.02^2}} + K \frac{2\mu C}{\sqrt{0.02^2 + 0.02^2}} + K\frac{-2 \mu C}{\sqrt{0.02^2+0.02^2}} = \frac{K}{\sqrt{8\cdot10^{-4}}}(2\mu C+ 2\mu C+2\mu C-2\mu C)=\frac{9\cdot 10^{9}\cdot 4\cdot 10^{-6}}{\sqrt{8}\cdot10^{-2}} = 9000\sqrt{2} \ V \approx 12727.9 \ V$$

b)

El campo electrico seguira siendo 0, ya que para ello se requiere unicamente que las cargas sean del mismo valor y de signo opuesto, para que con la misma distancia al origen se anulen los campos.

c) Para que el potencial eléctrico se anule en el origen con las tres cargas originales, la cuarta carga debe ser también de -2 μC, ya que todas las cargas están a la misma distancia del origen.

$V_{total} = V_1 + V_2 + V_3 + V_4 = 0$

Con $q_1 = q_2 = q_3 = 2 \\mu C$ y $r_1 = r_2 = r_3 = r_4 = \\sqrt{2^2 + 2^2} = \\sqrt{8} cm = 0.02\\sqrt{2} m$

$$0 = 3 \cdot \frac{Kq}{r} + \frac{Kq_4}{r}$$ $$0 = 3q + q_4$$

$q_4 = -3(2 \\mu C) = -6 \\mu C$

EXAMEN 2

1.-

Para un tubo abierto en ambos extremos, la frecuencia fundamental (menor frecuencia) corresponde al modo en el que la longitud del tubo es igual a media longitud de onda:

$L = \\frac{\\lambda}{2} \\Rightarrow \\lambda = 2L$

La frecuencia se relaciona con la longitud de onda y la velocidad del sonido mediante:

$v = \\lambda f \\Rightarrow f = \\frac{v}{\\lambda}$

Sustituyendo la longitud de onda:

$f = \\frac{v}{2L} = \\frac{340 \\ m/s}{2 \\times 0.34 \\ m} = 500 \\ Hz$

La respuesta correcta es la c).

2.-

En un tubo abierto en ambos extremos, la onda estacionaria fundamental tiene nodos en los extremos y un antinodo en el centro. Por lo tanto, hay un solo antinodo y no un nodo, y los nodos estan en los extremos.

$L = \\frac{\\lambda}{2}$ La respuesta correcta es la a).

3.-

Para un tubo abierto en un extremo y cerrado en el otro, la frecuencia fundamental corresponde al modo en el que la longitud del tubo es igual a un cuarto de la longitud de onda:

$L = \\frac{\\lambda}{4} \\Rightarrow \\lambda = 4L$

La frecuencia es:

$f = \\frac{v}{\\lambda} = \\frac{v}{4L} = \\frac{340 \\ m/s}{4 \\times 0.34 \\ m} = 250 \\ Hz$

La respuesta correcta es la b).

4.-

En cada desintegración beta ($\\beta$), un neutrón se convierte en un protón y un electrón (y un antineutrino electrónico). El número másico (A) permanece constante, y el número atómico (Z) aumenta en 1. Dado que hay dos desintegraciones beta, el número atómico aumenta en 2.

La reaccion resumida seria:

$_Z^AX \\rightarrow _{Z+2}^AY + 2 \\ _{-1}^{\\ 0}e^- + 2 \\ _0^0\\bar{\\nu_e}$ Para el caso dado en el enunciado,

$_{82}^{210}Pb \\rightarrow _{84}^{210}Po + 2 \\ _{-1}^{\\ 0}e^- + 2 \\ _0^0\\bar{\\nu_e}$

La respuesta correcta es la c).

5.-

La constante de desintegración ($\\lambda$) se relaciona con el periodo de semidesintegración ($T_{1/2}$) mediante la ecuación:

$T_{1/2} = \\frac{ln(2)}{\\lambda} \\Rightarrow \\lambda = \\frac{ln(2)}{T_{1/2}}$

Sustituyendo el valor del periodo de semidesintegración:

$\\lambda = \\frac{ln(2)}{22.3 \\ años} \\approx 0.031 \\ años^{-1}$

La respuesta correcta es la b).

6.-

En la desintegración alfa ($\\alpha$), el núcleo emite una partícula alfa, que es un núcleo de helio ($_2^4He$). Por lo tanto, el número másico disminuye en 4 y el número atómico disminuye en 2:

$_{84}^{210}Po \\rightarrow _{82}^{206}Pb + _2^4He$

La respuesta correcta es la b).

7.-

El potencial eléctrico debido a una carga puntual es:

$V = \\frac{Kq}{r}$

En este caso, tenemos dos cargas iguales, y el vértice superior está a la misma distancia de ambas cargas. La distancia ($r$) es la altura del triángulo equilátero:

r = \\sqrt{L^2 - (L/2)^2}=\\sqrt{l^2-\\frac{l^2}{4}}}=l\\sqrt{1-\\frac{1}{4}}=l\\sqrt{\\frac{3}{4}}=\\frac{\\sqrt{3}}{2}L = \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\times 2 \\ cm = \\sqrt{3} \\ cm = \\sqrt{3} \\times 10^{-2} \\ m

El potencial total en el vértice superior es la suma de los potenciales debidos a cada carga:

$V_{total} = V_1 + V_2 = \\frac{Kq}{r} + \\frac{Kq}{r} = 2\\frac{Kq}{r} = 2 \\times \\frac{9 \\times 10^9 \\ N \\cdot m^2/C^2 \\times 2 \\times 10^{-9} \\ C}{\\sqrt{3} \\times 10^{-2} \\ m} = \\frac{36}{\\sqrt{3}} \\times 10^2\\approx 2078.46 V$

$$V = \frac{36}{\sqrt{3}} \times 10^2 V = 1800 V \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}\neq 1800$$

Ninguna de las respuestas dadas es correcta, deberia de ser $1800\\cdot \\frac{2}{\\sqrt{3}}V$. En el enunciado se indica mal las respuestas. Se toma por buena la b)

8.- Calculamos el campo electrico de cada carga en el vertice superior. Debido a la simetria las componentes horizontales se anulan. Solo hay componente vertical: La distancia r es la altura del triángulo equilátero, como calculamos en el apartado anterior:

$$r= \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot0.02 m$$

El campo electrico:

$$E_y = 2 \cdot K \frac{q}{r^2}\cos(\theta)$$

Donde theta, es el angulo que hay entre el lado del triangulo y su altura:

$\\cos(\\theta) = \\cos(30º) = \\frac{\\sqrt{3}}{2}$ Por tanto, sustituyendo valores:

$$E_y = 2 \cdot 9 \cdot10^{9} \cdot \frac{2\cdot 10^{-9}}{(\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot0.02)^2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4.5\sqrt{3}\cdot10^{4} N/C$$ $$\vec{E} = 4.5\sqrt{3} \times 10^4 \hat{\jmath} \ N/C$$

La respuesta correcta es la b).

9.-

El trabajo para mover una carga en un campo eléctrico es:

$W = -q \\Delta V = -q (V_{final} - V_{inicial})$

Como el potencial en el origen debido a las dos cargas es 0 (igual distancia y misma carga, se anulan), el trabajo es simplemente:

$V_{final} = 2\\frac{Kq}{L/2} = 4\\frac{9*10^9 \\cdot 2\\cdot10^{-9}}{0.02}=3600$ $V_{inicial}=0$ $W = -q(V_{superior}-V_{origen}) = -0.01 \\ C \\times (1800\\cdot \\frac{2}{\\sqrt{3}}V-0)=-18\\cdot\\frac{2}{\\sqrt{3}}\\approx-20.78\\ J$

Ninguna respuesta es correcta. Se aproxima y se toma como correcta la a)

10.-

Debido a la simetría, las componentes verticales del campo eléctrico creado por cada carga en el origen se cancelan. Solo quedan las componentes horizontales, que se suman. La distancia de cada carga al origen es la mitad del lado del triángulo (0.01 m).

$E_x = 2 \\cdot K \\frac{q}{r^2} = 2 \\times 9 \\times 10^9 \\frac{2 \\times 10^{-9}}{(0.01)^2} = 3.6 \\times 10^5 \\ N/C$

Como ambas cargas son positivas el vector tendrá la dirección negativa del eje x.

$\\vec{E}= -3.6\\times10^{5}\\hat{\\imath} = -1.8\\cdot2\\cdot10^{5}\\hat{\\imath} N/C$

Ninguna de las respuestas aportadas es correcta. La mas cercana es la b)

Problema 1 Examen 2

a)

El flujo magnético se define como:

$\\Phi_B = \\vec{B} \\cdot \\vec{A} = B \\cdot A \\cdot \\cos(\\theta)$

Donde $\\theta$ es el ángulo entre el vector campo magnético y el vector normal a la superficie. En este caso, el campo magnético es perpendicular al plano, por lo que $\\theta = 0$ y $\\cos(\\theta) = 1$.

El área del circuito cambia con el tiempo debido al movimiento de la varilla. El área inicial es $2 \\ m^2$, y la varilla se mueve a $0.2 \\ m/s$, la variación del área disminuye con el tiempo, ya que la varilla se mueve hacia la izquierda y se reduce el area del circuito:

$A(t) = A_0 - v \\cdot t \\cdot l= 2 - 0.2 \\cdot t \\cdot 0.02 = 2 - 0.004t$

Donde l es la separación entre las varillas. El flujo magnético es entonces:

$\\Phi_B(t) = B(t) \\cdot A(t) = 6\\sin(5t) \\cdot (2 - 0.004t) = 12\\sin(5t) - 0.024t\\sin(5t) \\ Wb$ b) La fuerza electromotriz (FEM) inducida se calcula mediante la ley de Faraday:

$\\epsilon(t) = -\\frac{d\\Phi_B(t)}{dt}$

Derivando la expresión del flujo magnético obtenida en el apartado anterior:

$\\epsilon(t) = -\\frac{d}{dt}(12\\sin(5t) - 0.024t\\sin(5t)) = -(60\\cos(5t) - 0.024\\sin(5t) - 0.12t\\cos(5t))$ $= -60\\cos(5t) + 0.024\\sin(5t) + 0.12t\\cos(5t) \\ V$

En $t=0 \\ s$:

$\\epsilon(0) = -60\\cos(0) + 0.024\\sin(0) + 0.12(0)\\cos(0) = -60 \\ V$

Problema 2 Examen 2

a)

La aceleración de la gravedad en la superficie de un planeta esférico de densidad uniforme se puede expresar como:

$g = \\frac{GM}{R^2}$

Donde $M$ es la masa del planeta y $R$ es su radio. La masa del planeta se relaciona con su densidad ($\\rho$) y su volumen ($V$) mediante:

$M = \\rho V = \\rho \\frac{4}{3}\\pi R^3$

Sustituyendo esta expresión en la ecuación de la gravedad:

$g = \\frac{G(\\rho \\frac{4}{3}\\pi R^3)}{R^2} = \\frac{4}{3}G\\rho\\pi R$

Despejando la densidad:

$\\rho = \\frac{3g}{4\\pi GR} = \\frac{3 \\times 125 \\ m/s^2}{4\\pi \\times 6.67 \\times 10^{-11} \\ Nm^2/kg^2 \\times 6.0 \\times 10^8 \\ m} \\approx 745.7 \\ kg/m^3$

b)

Para un satélite en órbita circular, la fuerza gravitatoria actúa como fuerza centrípeta:

$\\frac{GMm}{r^2} = m\\frac{v^2}{r}$ $v = \\sqrt{\\frac{GM}{r}}$

Donde $r$ es el radio de la órbita y $v$ es la velocidad orbital del satélite. La velocidad orbital también se puede expresar en términos del periodo orbital ($T$):

$v = \\frac{2\\pi r}{T}$

Igualando ambas expresiones para la velocidad:

$\\sqrt{\\frac{GM}{r}} = \\frac{2\\pi r}{T}$

Elevando al cuadrado ambos lados:

$\\frac{GM}{r} = \\frac{4\\pi^2 r^2}{T^2}$

Despejando $r$:

$r^3 = \\frac{GMT^2}{4\\pi^2}$

La masa del planeta ($M$) se puede calcular a partir de la aceleración de la gravedad en la superficie:

$g = \\frac{GM}{R^2} \\Rightarrow M = \\frac{gR^2}{G}$

Sustituyendo la expresión de la masa en la fórmula del radio de órbita del satélite: $r^3 = \\frac{G\\frac{gR^2}{G}T^2}{4\\pi^2}=\\frac{gR^2T^2}{4\\pi^2}$ Sustituyendo los valores numéricos ($T = 12 \\ horas = 12 \\times 3600 \\ s = 43200 \\ s$):

$r=\\sqrt[3]{\\frac{gR^2T^2}{4\\pi^2}} = \\sqrt[3]{\\frac{125 \\times (6.0 \\times 10^8)^2 \\times (43200)^2}{4\\pi^2}} \\approx 1.29 \\times 10^9 \\ m$