Examen Resuelto PCE UNED Física Modelo 2024

Parte 1: Interacción electromagnética

Problema 1a

(a) El campo magnético creado por un hilo conductor rectilíneo e indefinido viene dado por la ley de Ampère:

$B = \\frac{\\mu_0 I}{2\\pi r}$,

donde $I$ es la corriente que circula por el hilo, $\\mu_0$ es la permeabilidad magnética del vacío, y $r$ es la distancia perpendicular desde el hilo al punto donde se calcula el campo. La dirección del campo magnético es tangencial a un círculo centrado en el hilo, y su sentido viene dado por la regla de la mano derecha.

• Región x < 0:

  • El campo magnético debido al hilo en x = 0 apunta hacia adentro de la página (-z)
  • El campo magnético debido al hilo en x = L apunta hacia adentro de la página (-z)

  Los campos tienen el mismo sentido.

• Región 0 < x < L:

  • El campo magnético debido al hilo en x = 0 apunta hacia afuera de la página (+z).
  • El campo magnético debido al hilo en x = L apunta hacia adentro de la página (-z).

  Los campos tienen sentidos opuestos.

• Región L < x:

  • El campo magnético debido al hilo en x = 0 apunta hacia afuera de la página (+z).
  • El campo magnético debido al hilo en x = L apunta hacia afuera de la página (+z).

  Los campos tienen el mismo sentido.

(b) El campo magnético total será nulo en los puntos donde los campos magnéticos de ambos hilos sean iguales en magnitud y de sentido opuesto. Esto solo ocurre en la región 0 < x < L.

$B_1 = B_2$

$\\frac{\\mu_0 I_1}{2\\pi x} = \\frac{\\mu_0 I_2}{2\\pi (L-x)}$

$I_1 (L-x) = I_2 x$

$5(L-x) = 10x$

$5L = 15x$

$x = \\frac{L}{3} = \\frac{12 \\text{ cm}}{3} = 4 \\text{ cm}$

El campo magnético total es nulo a 4 cm del hilo situado en x=0

(c) La fuerza magnética sobre una carga en movimiento viene dada por la ley de Lorentz:

$F = q(\\vec{v} \\times \\vec{B})$

En este caso, la carga se mueve en la dirección +y, y necesitamos calcular el campo magnético en x = L/2 = 6 cm.

$B_{total} = B_1 - B_2 = \\frac{\\mu_0 I_1}{2\\pi (L/2)} - \\frac{\\mu_0 I_2}{2\\pi (L/2)} = \\frac{\\mu_0}{2\\pi (L/2)}(I_1 - I_2)$ $B_{total} = \\frac{4\\pi \\cdot 10^{-7}}{2\\pi (0.06)}(5 - 10) = -1.67 \\cdot 10^{-5} \\text{ T} (\\text{en dirección -z})$ $F = q \\cdot v_0 \\cdot B \\cdot sin(90^{\\circ}) = q \\cdot v_0 \\cdot 1.67 \\cdot 10^{-5}$

La fuerza tiene una magnitud de $|q| \\cdot v_0 \\cdot 1.67 \\cdot 10^{-5}$, y por la regla de la mano derecha, su dirección es en el sentido positivo de x.

Problema 1b

(a) Cuando una partícula cargada se mueve en un campo magnético uniforme perpendicular a su velocidad, describe un movimiento circular uniforme. La fuerza magnética actúa como fuerza centrípeta.

$F_m = F_c$

$q v B = \\frac{mv^2}{R}$

$m = \\frac{qBR}{v}$

El radio es la mitad del diámetro: R = 0.65 m / 2 = 0.325 m. La carga del ion K+ es igual a la carga elemental, pero positiva.

$m = \\frac{1.6 \\cdot 10^{-19} \\text{ C} \\cdot 0.1 \\text{ T} \\cdot 0.325 \\text{ m}}{8 \\cdot 10^4 \\text{ m/s}} = 6.5 \\cdot 10^{-26} \\text{ kg}$

(b) Para que el ion no se desvíe, la fuerza eléctrica debe equilibrar la fuerza magnética.

$\\vec{F_e} = -\\vec{F_m}$ $q\\vec{E} = -q(\\vec{v} \\times \\vec{B})$

$\\vec{E} = -(\\vec{v} \\times \\vec{B})$

Como v está en la dirección +x y B en la dirección +z, el producto vectorial v x B apunta en la dirección -y. Por tanto, el campo eléctrico debe apuntar en la dirección +y.

$E = vB\\sin(90^{\\circ}) = vB = (8 \\cdot 10^4 \\text{ m/s}) \\cdot (0.1 \\text{ T}) = 8 \\cdot 10^3 \\text{ V/m}$ El campo eléctrico que se tiene que aplicar es de $8 \\cdot 10^3$ V/m en la dirección positiva del eje y.

Parte 2: Física del siglo XX

Problema 2a

(a) La energía de los fotones incidentes se calcula con la ecuación de Planck:

$E = h\\nu = \\frac{hc}{\\lambda}$

$E = \\frac{6.63 \\cdot 10^{-34} \\text{ J s} \\cdot 3 \\cdot 10^8 \\text{ m/s}}{400 \\cdot 10^{-9} \\text{ m}} = 4.9725 \\cdot 10^{-19} \\text{ J}$

Convertimos esta energía a electronvoltios (eV):

$E = \\frac{4.9725 \\cdot 10^{-19} \\text{ J}}{1.6 \\cdot 10^{-19} \\text{ J/eV}} = 3.11 \\text{ eV}$

Para que haya emisión de fotoelectrones, la energía de los fotones incidentes debe ser mayor o igual que la función de trabajo del metal.

• Sodio: La función de trabajo es 2.28 eV. Como 3.11 eV > 2.28 eV, sí se emitirán fotoelectrones.
• Zinc: La función de trabajo es 4.3 eV. Como 3.11 eV < 4.3 eV, no se emitirán fotoelectrones.

(b) El potencial de frenado (Vf) se relaciona con la energía cinética máxima de los fotoelectrones:

$E_{c,max} = eV_f$ $h\\nu - W_0 = eV_f$

Para el sodio:

$V_f = \\frac{3.11 \\text{ eV} - 2.28 \\text{ eV}}{e} = 0.83 \\text{ V}$

(c) La energía cinética máxima de los fotoelectrones es: Ec, max = 0.83 eV, que es mucho menor a su energía en reposo, por lo tanto $E_{c,max} = \\frac{1}{2}mv^2$

$v = \\sqrt{\\frac{2E_{c,max}}{m}} = \\sqrt{\\frac{2 \\cdot 0.83 \\text{ eV} \\cdot 1.6 \\cdot 10^{-19} \\text{ J/eV}}{9.1 \\cdot 10^{-31} \\text{ kg}}} = 5.4 \\cdot 10^5 \\text{ m/s}$

Problema 2b

(a) La ley de desintegración radiactiva es:

$N(t) = N_0 e^{-\\lambda t}$

donde $N(t)$ es el número de núcleos que quedan en el instante t, $N_0$ es el número inicial de núcleos, y $\\lambda$ es la constante de desintegración. La constante de desintegración se relaciona con el período de semidesintegración ($T_{1/2}$):

$\\lambda = \\frac{\\ln 2}{T_{1/2}} = \\frac{\\ln 2}{1.59 \\cdot 10^3 \\text{ años}} = 4.36 \\cdot 10^{-4} \\text{ años}^{-1}$ El tiempo transcurrido desde 1911 hasta 2024 es t = 2024-1911 = 113 años.

$N(113) = 2.00 \\text{ g} \\cdot e^{-4.36 \\cdot 10^{-4} \\text{ años}^{-1} \\cdot 113 \\text{ años}} = 1.90 \\text{ g}$ Quedarían 1.90g.

(b) Queremos encontrar el tiempo t para el cual N(t) = 0.01 N0:

$0.01 N_0 = N_0 e^{-\\lambda t}$

$0.01 = e^{-\\lambda t}$

$\\ln 0.01 = -\\lambda t$

$t = \\frac{\\ln 0.01}{-\\lambda} = \\frac{\\ln 0.01}{-4.36 \\cdot 10^{-4} \\text{ años}^{-1}} = 10578.5 \\text{ años}$

(c) La desintegración del radio-226 (88Ra) a radón-222 (86Rn) implica una disminución de 2 en el número atómico y de 4 en el número másico. Esto corresponde a la emisión de una partícula alfa ($_2^4He$).

Parte 3: Interacción gravitatoria

Problema 3

(a) El período de un satélite en órbita circular se relaciona con el radio de la órbita mediante la tercera ley de Kepler, que se deduce de la ley de gravitación universal:

$T^2 = \\frac{4\\pi^2}{GM}r^3$

Donde

• G es la constante de gravitación universal.
• M es la masa de la Tierra
• T es el periodo que nos lo dan en horas, hay que transformarlo a segundos.

$r = \\sqrt[3]{\\frac{GMT^2}{4\\pi^2}}$

$r = \\sqrt[3]{\\frac{6.67 \\cdot 10^{-11} \\text{ N m}^2\\text{kg}^{-2} \\cdot 5.97 \\cdot 10^{24} \\text{ kg} \\cdot (11 \\text{ h} \\cdot 3600 \\text{ s/h})^2}{4\\pi^2}} = 2.253 \\cdot 10^7 \\text{ m}$

(b) El radio orbital hallado antes, menos el radio terrestre, nos da la altura orbital:

2. 253 * 10^7 m - 6370 * 10^3 m = 16160 * 10^3 m = 16160 Km

Este valor corresponde a un satélite de tipo Órbita terrestre media (MEO) según la tabla proporcionada.

(c) Para calcular la energía necesaria para cambiar de órbita, calculamos la diferencia de energía mecánica entre las dos órbitas. La energía mecánica de un satélite en órbita circular es:

$E = -\\frac{GMm}{2r}$

Como es un satélite MEO vamos a la altura inmediatamente superior que corresponda, será GTO con 35786km de altura:

$r_{GTO} = 35786 \\text{ km} + 6370 \\text{ km} = 42156 \\text{ km} = 4.2156 \\cdot 10^7 \\text{ m}$

Calculamos la diferencia de energía:

$\\Delta E = E_{GTO} - E_{MEO} = -\\frac{GMm}{2r_{GTO}} - \\left(-\\frac{GMm}{2r_{MEO}}\\right) = \\frac{GMm}{2}\\left(\\frac{1}{r_{MEO}} - \\frac{1}{r_{GTO}}\\right)$

$\\Delta E = \\frac{6.67 \\cdot 10^{-11} \\cdot 5.97 \\cdot 10^{24} \\cdot 50}{2}\\left(\\frac{1}{2.253 \\cdot 10^7} - \\frac{1}{4.2156 \\cdot 10^7}\\right) = 2.07 \\cdot 10^8 \\text{ J}$

Parte 4: Cuestiones tipo test

1. El ángulo límite se calcula mediante la ley de Snell, considerando que el ángulo de refracción es de 90º:

$n_1 \\sin(\\theta_i) = n_2 \\sin(\\theta_r)$

1.33 \\sin(\\theta_L) = 1 \\sin(90^\\circ)

\\theta_L = \\arcsin\\left(\\frac{1}{1.33}\\right) = 48.75^\\circ

Respuesta correcta: c)

2. Aplicamos la ley de Snell:

$n_1 \\sin(\\theta_i) = n_2 \\sin(\\theta_r)$ 1\\cdot\\sin(30^\\circ) = 1.6 \\cdot \\sin(\\theta_r) $sin(\\theta_r)=\\frac{0.5}{1.6}$

\\theta_r = \\arcsin\\left(\\frac{0.5}{1.6}\\right) = 18.2^\\circ

Respuesta correcta: b)

3. La relación entre frecuencia, longitud de onda y velocidad de propagación es:

$v = \\lambda \\nu$

$\\lambda = \\frac{v}{\\nu} = \\frac{340 \\text{ m/s}}{523 \\text{ Hz}} = 0.65 \\text{ m}$

Respuesta correcta: c)

4. La imagen formada por un espejo plano es siempre virtual, derecha y del mismo tamaño que el objeto.

Respuesta correcta: a)

5. La intensidad de una onda esférica disminuye con el cuadrado de la distancia:

$I = \\frac{P}{4\\pi r^2}$

Donde P es la potencia de la fuente. Como la potencia es constante: $I_1 r_1^2 = I_2 r_2^2$

$18 \\text{ W/m}^2 \\cdot (5 \\text{ m})^2 = 2 \\text{ W/m}^2 \\cdot r_2^2$

$r_2^2 = \\frac{18 \\cdot 25}{2} = 225$ $r_2=15 \\text{ m}$

Respuesta correcta: b)

6. $n = \\frac{c}{v}$ $v=\\frac{c}{n} = \\frac{3 \\cdot 10^{8} m/s}{1.333} = 2.25 \\cdot 10^{8} \\text{m/s}$

Respuesta correcta: b)

7. La fuerza gravitatoria entre dos masas es: $F = G \\frac{Mm}{r^2}$

Debido a la simetría del problema, las componentes horizontales de las fuerzas ejercidas por las tres masas M sobre m se cancelan. Solo quedan las componentes verticales, y la suma de las tres es cero, ya que forman 120º entre sí. Por lo tanto la fuerza total es 0.

Respuesta correcta: a)

8. La longitud de onda de De Broglie se calcula como:

$\\lambda = \\frac{h}{p} = \\frac{h}{mv}$ Hay que pasar la masa a kg

$\\lambda = \\frac{6.63 \\cdot 10^{-34} \\text{ J s}}{0.015 \\text{ kg} \\cdot 1000 \\text{ m/s}} = 4.42 \\cdot 10^{-35} \\text{ m}$

Respuesta correcta: a)