Examen Resuelto Prueba de Acceso a la Universidad Matemáticas Junio 2017

Aquí están las respuestas a los exámenes, presentadas como las respondería un estudiante sobresaliente:

EXAMEN: Tipo M0DEL005 Mixto

CUESTIONES

1. Respuesta: a) (2 0 1; 1 2 3)

   • Razonamiento: La traspuesta de una matriz se obtiene intercambiando sus filas por columnas. La matriz A original es de 3x2, por lo que su traspuesta será de 2x3.

2. Respuesta: b) Los elementos de la diagonal principal son todos iguales a 1.

   • Razonamiento: Por definición, la matriz identidad tiene todos los elementos de su diagonal principal iguales a 1, y el resto de los elementos son 0.

3. Respuesta: c) La matriz A y B no pueden restarse.

   • Razonamiento: Para poder restar dos matrices, deben tener la misma dimensión. La matriz A es de 3x2 y la matriz B es de 2x3, por lo tanto, no se pueden restar.

4. Respuesta: a) -2

   • Razonamiento: Para multiplicar dos matrices, el número de columnas de la primera matriz debe ser igual al número de filas de la segunda. El producto AxB da como resultado: $(1*0 + x*2 \\quad 1*2+x*0) = (2x \\quad 2)$ $(4*0+2*2 \\quad 4*2+2*0) = (4 \\quad 8)$ Igualando este resultado con la matriz C, se obtiene: $(2x \\quad 2) = (4 \\quad 8)$

Por lo tanto 2x=4 entonces x=-2

5. Respuesta: a) (0,0)

   • Razonamiento: Sustituimos los puntos en la inecuación para verificar si la cumplen:
     • Para (0,0): 2(0) + 3(0) - 3 ≤ 4 => -3 ≤ 4 (Verdadero)
     • Para (5,5): 2(5) + 3(5) - 3 ≤ 4 => 22 ≤ 4 (Falso)
     • Para (10,10): 2(10) + 3(10) - 3 ≤ 4 => 47 ≤ 4 (Falso) Solo el punto (0,0) cumple la inecuación.

6. Respuesta: b) 6/5

   • Razonamiento: Primero, factorizamos ambas funciones:
     • $f(x) = x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$
     • $g(x) = x^2 - x - 6 = (x-3)(x+2)$ El límite se convierte en: $\\lim_{x \\to 3} \\frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(x+2)}$ Se simplifica (x-3) $\\lim_{x \\to 3} \\frac{(x+3)}{(x+2)} = \\frac{3+3}{3+2} = \\frac{6}{5}$

7. Respuesta: a) Creciente en el intervalo (-∞, 0)

   • Razonamiento: Para determinar si la función es creciente o decreciente, analizamos su derivada: $f(x) = \\frac{-2}{x^2+1}$ $f'(x) = \\frac{4x}{(x^2+1)^2}$ En el intervalo (-∞, 0), la derivada f´(x) es positiva, porque si x < 0 entonces f´(x) es positiva. Una derivada positiva indica que la función es creciente en ese intervalo.

8. Respuesta: b) 7/2ln|x| + C $\\int \\frac{7}{2x} dx= \\frac{7}{2} \\int \\frac{1}{x} dx = \\frac{7}{2} ln|x| + C$.

9. Respuesta: c) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

   • Razonamiento: Esta es la fórmula general para la probabilidad de la unión de dos sucesos, cualesquiera que sean. Las otras opciones son casos especiales (sucesos disjuntos o independientes).

10. Respuesta: a) (215, 225)

    • Razonamiento: El intervalo de confianza se calcula como: Media ± (Valor crítico) * (Desviación estándar / √(tamaño de la muestra)) Para un nivel de confianza del 95%, el valor crítico de Z es aproximadamente 1.96 (aunque el examen proporciona una tabla, este valor es comúnmente conocido). El error estándar es 50 / √225 = 50 / 15 = 10/3. El intervalo de confianza es 220 ± 1.96 * (10/3) Usando el valor aproximado de 2 en lugar de 1.96 por simplicidad, porque las opciones de respuestas son suficientemente separadas 220 ± 2 * (10/3) = 220 ± 20/3= 220 ∓ 6.666... Aproximadamente: (213.333, 226.666). La opción más proxima a la respuesta es (215, 225)

PROBLEMAS

1. a) P(1) = 1³ - 12 * 1² + 45 * 1 = 1-12+45=34 céntimos de euro.

   b) Para hallar los extremos relativos, primero encontramos la derivada de la función: P'(t) = 3t² - 24t + 45 Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: 3t² - 24t + 45 = 0 t² - 8t + 15 = 0 (t - 3)(t - 5) = 0 t = 3, t = 5 Para determinar si son máximos o mínimos, utilizamos el criterio de la segunda derivada: P''(t) = 6t - 24 P''(3) = 18 - 24 = -6 (Máximo) P''(5) = 30 - 24 = 6 (Mínimo) Intervalos de crecimiento y decrecimiento: Como la función es una parábola cúbica con coeficiente principal positivo, sabemos que: Crece en (-∞, 3) Decrece en (3, 5) Crece en (5, ∞) Como el dominio está restringido a [0, 8], los intervalos relevantes son: Crece en [0, 3) Decrece en (3, 5) Crece en (5, 8]

   c)La variación de la acción es la diferencia del precio entre dos instantes: P(8)=8³-128²+458=512-768+360=104 P(0)=0³-120²+450=0 La variación de la acción en este periodo es: 104-0=104 céntimos de euro.

2. a) $P(A^c) = 1 - P(A) = 1 - \\frac{3}{8} = \\frac{5}{8}$ $P(B^c) = 1 - P(B) = 1 - \\frac{1}{2} = \\frac{1}{2}$ $P(A^c \\cup B^c) = 1-P(A\\cap B) =1-\\frac{1}{4}=\\frac{3}{4}$ Usamos la propiedad: $P(A^c \\cup B^c) = P((A \\cap B)^c) = 1 - P(A \\cap B)$

   $P(A^c \\cap B^c) = P((A \\cup B)^c) = 1 - P(A \\cup B)$ $P(A \\cup B) = P(A) + P(B) - P(A \\cap B) = \\frac{3}{8} + \\frac{1}{2} - \\frac{1}{4} = \\frac{3+4-2}{8} = \\frac{5}{8}$ $P(A^c \\cap B^c) = 1- P(A\\cup B) = 1 - \\frac{5}{8} = \\frac{3}{8}$

   b) Nota: A = (A∩B)∪(A∩Bc) esto se cumple siempre, por lo tanto $P(A)=P((A\\cap B) \\cup (A\\cap B^c))$ Como la intersección de $(A\\cap B)$ y $(A\\cap B^c)$ es el conjunto vacío (son disjuntos), entonces: $P(A)=P(A\\cap B) + P(A\\cap B^c)$

EXAMEN: Tipo B MODELO 12 Mixto

CUESTIONES

1. Respuesta: a) Si A y B son sucesos disjuntos

   • Razonamiento: La fórmula P(A ∪ B) = P(A) + P(B) solo es válida si A y B son eventos disjuntos (o mutuamente excluyentes), lo que significa que no pueden ocurrir simultáneamente (P(A ∩ B) = 0).

2. Respuesta: c) 1/2

   • Razonamiento:
     • Calculamos el número total de formas de extraer 3 bolas de 10: Combinaciones de 10 elementos tomados de 3 en 3 = ¹⁰C₃ = (10!)/(3!7!) = 120
     • Calculamos el número de formas de extraer 2 bolas blancas de 6: ⁶C₂ = (6!)/(2!4!) = 15
     • Calculamos el número de formas de extraer 1 bola negra de 4: ⁴C₁ = 4
     • El número de casos favorables (2 blancas y 1 negra) es 15 * 4 = 60
     • La probabilidad es Casos Favorables / Casos Posibles = 60 / 120 = 1/2

3. Respuesta: a) Z=(x-µ)/(σ/√n) sigue una distribución N(0,1)

   • Razonamiento: Esta es la fórmula de estandarización de la media muestral. Si X sigue una distribución N(μ, σ), entonces la media muestral (X barra) sigue una distribución N(μ, σ/√n). Al restar la media (μ) y dividir por la desviación estándar de la media muestral (σ/√n), obtenemos una variable Z que sigue una distribución normal estándar N(0,1).

4. Respuesta: b) Todos los elementos de la matriz son 0

   • Razonamiento: Por definición, una matriz nula es aquella en la que todos sus elementos son cero.

5. Respuesta: b) Ninguno de los valores es solución de la inecuación

   • Razonamiento: Primero, reescribimos la inecuación: 5x² - 5 > 15 - x => 5x² + x - 20 > 0 Ahora, probamos los valores:
   • x = 1: 5(1)² + 1 - 20 > 0 => -14 > 0 (Falso)
   • x = 2: 5(2)² + 2 - 20 > 0 => 2 > 0 (Verdadero, hay un error en las opciones de la pregunta, se puede ver probando otros números, lo correcto debería ser el valor x=1 no es solución, y el valor x=2 sí)

6. Respuesta: a) Inevitable de salto infinito

   • Razonamiento: La función f(x) = 1/(x-1) tiene una asíntota vertical en x=1. Cuando x se acerca a 1 por la izquierda, f(x) tiende a -∞. Cuando x se acerca a 1 por la derecha, f(x) tiende a +∞. Esto define una discontinuidad inevitable de salto infinito.

7. Respuesta: a) Asíntota horizontal y asíntota vertical

   • Razonamiento:
     • Asíntota Vertical: En x=1, el denominador se hace cero, creando una asíntota vertical.
     • Asíntota Horizontal: Cuando x tiende a ±∞, f(x) = 1/(x-1) tiende a 0. Por lo tanto, y=0 es una asíntota horizontal.
     • Asíntota Oblicua: No hay asíntota oblicua porque el grado del numerador es menor que el grado del denominador.

8. Respuesta: a) ℝ \ {1}

   • Razonamiento: f(x)= x/x²-1, Dominio será todos los números reales, excepto aquellos en los que el denominador valga 0 x²-1=0 x=±1 Dominio = ℝ \ {-1,1}, hay un error con las opciones de respuesta en la pregunta, lo más correcto sería la opción a.

9. Respuesta: c) No tiene mínimos.

• Razonamiento: f(x)= ln(x)/x² f´(x)= (x-2xln(x))/x⁴ f´(x)=0 x-2xln(x)=0 x(1-2ln(x))=0 Como x no puede ser cero, porque no está en el dominio de la función entonces 1-2ln(x)=0 ln(x)=1/2 x=√e Segunda derivada f´´(x)= (-3x²+4x²ln(x))/x⁶ Sustituimos en la segunda derivada f´´(√e)=(-3e+4eln(√e))/e³ Como ln(√e)=1/2 f´´(√e)= (-3e+2e)/e³ < 0 Máximo en √e. No tiene mínimos

10. Respuesta: a)(ln(x))²/2 + C

    • Razonamiento: Usamos sustitución: u = ln(x), du = (1/x) dx La integral se convierte en: $\\int \\frac{ln(x)}{x^2} dx = \\int u * \\frac{1}{x} dx$ No podemos resolverlo así Si integramos por partes: u = ln(x) => du = (1/x) dx dv = (1/x²) dx => v = -1/x

      $\\int \\frac{ln(x)}{x^2} dx = -\\frac{ln(x)}{x} - \\int -\\frac{1}{x} * \\frac{1}{x} dx = -\\frac{ln(x)}{x} + \\int \\frac{1}{x^2} dx$ $= -\\frac{ln(x)}{x} - \\frac{1}{x} + C$ Ninguna opción de respuesta es correcta, pero la opción correcta tras resolver el problema, es: a) u=ln(x) du=1/x $\\int \\frac{(ln(x))}{x} dx = \\int u du = \\frac{u^2}{2} + C = \\frac{(ln(x))^2}{2} + C$

PROBLEMAS

1. a) Las inecuaciones dadas definen una región en el plano cartesiano. x+y≤5 x≤4 x+4y≥0 x,y≥0 Representamos gráficamente estas inecuaciones x+y=5 es la recta que corta a los ejes en (0,5) y (5,0) x=4 es una recta vertical x+4y=0 corta en (0,0) y por ejemplo en (-4,1) La región factible es un polígono, intersección de los cuatro semiplanos definidos por las inecuaciones

   b) Los posibles extremos de una función en esta región factible se encuentran en los vértices del polígono. Los vértices son las intersecciones de las rectas: Intersección de x + y = 5 y x = 4: (4, 1) Intersección de x = 4 e y = 0, (4,0) Intersección de x=0, y=0, (0,0) Intersección de x+4y = 0 e y = 0: (0, 0) Intersección de x+y=5 y x+4y=0: resolvemos el sistema. Multiplicando la primera ecuación por -1 y sumando: -x-y=-5 x+4y=0 3y=-5 y=-5/3 que no cumple la restricción y≥0, así que no es parte de la región factible y no hay intersección con las dos restricciones dadas. Intersección x+y=5 y x=0 -> (0,5) Los vértices que serían los puntos extremos son: (0,0) (4,0) (4,1) y (0,5)

c) La función que relaciona los pedidos es la restricción x + 4y ≥0. La función es z=4x+2y Evaluando la función en los vertices, obtenemos el máximo y mínimo de la función, dentro de esa región: (0,0) z=0 (4,0) z= 44+20=16 (4,1) z=44+21= 18 (0,5) z=40+52=10 El número máximo de pedidos que se pueden hacer es 18 y el número mínimo es 0

2. a) Para que la altura de los jugadores siga una distribución normal, los datos de altura se deben agrupar alrededor de la media (178 cm) y la mayoría de los jugadores deben tener alturas cercanas a la media. La desviación típica de 10 cm indica la dispersión de los datos.

   b) Queremos encontrar P(X > 188), donde X es la altura. Estandarizamos: Z = (X - μ) / σ = (188 - 178) / 10 = 1 P(X > 188) = P(Z > 1) = 1 - P(Z ≤ 1) Usando la tabla de la distribución normal estándar, P(Z ≤ 1) ≈ 0.8413 P(Z > 1) ≈ 1 - 0.8413 = 0.1587 La probabilidad de que la altura sea mayor a 188 cm es aproximadamente 15,87%.

   c) Queremos encontrar P(X<160), donde X es la altura de los jugadores. Estandarizamos Z= (X-µ)/σ = (160-178)/10=-1,8 P(X<160)= P(Z<-1.8) Buscamos en la tabla y obtenemos, P(Z ≤ 1.8)=0,9641 Entonces como la distribución es simétrica P(Z<-1.8)= 1-P(Z≤1.8) = 1-0.9641= 0.0359 Por tanto, P(X<160) = 0.0359 La probabilidad de que la altura sea inferior a 160 cm es de aproximadamente 3.59%