Examen Resuelto PCE UNED Modelo Matemáticas 2024

1. Problema de Desarrollo (Estadística)

a) ¿Cuál es el porcentaje global de abandono temprano observado tras implementar el programa?

Para calcular el porcentaje global de abandono, debemos considerar la proporción de cada nivel socioeconómico y su respectivo porcentaje de abandono. Sea B, M, y A la proporción de población con nivel socioeconómico bajo, medio, y alto, respectivamente. Sea Ab, Am, y Aa los porcentajes de abandono para cada nivel. El porcentaje global de abandono (Pa) se calcula como:

$Pa = B \\cdot Ab + M \\cdot Am + A \\cdot Aa$

Sustituyendo los valores dados:

$Pa = (0.55)(0.16) + (0.25)(0.08) + (0.20)(0.06)$ $Pa = 0.088 + 0.02 + 0.012$ $Pa = 0.12$

Por lo tanto, el porcentaje global de abandono es del 12%.

b) ¿Ha sido efectivo el programa de prevención?

Para determinar la efectividad del programa, comparamos el porcentaje global de abandono después de la implementación (12%) con la tasa de abandono antes de la implementación (13.6%). Dado que 12% es menor que 13.6%, podemos concluir que el programa ha sido efectivo en reducir la tasa de abandono temprano.

c) ¿Cómo se distribuyen los jóvenes que abandonan sus estudios por nivel socioeconómico?

Para determinar la distribución, necesitamos calcular qué porcentaje del total de abandonos corresponde a cada nivel socioeconómico. Esto se hace dividiendo el aporte de cada nivel al abandono total entre el abandono total.

• Nivel Bajo: $(0.55 \\cdot 0.16) / 0.12 = 0.088 / 0.12 \\approx 0.7333$ (Aproximadamente 73.33%)
• Nivel Medio: $(0.25 \\cdot 0.08) / 0.12 = 0.02 / 0.12 \\approx 0.1667$ (Aproximadamente 16.67%)
• Nivel Alto: $(0.20 \\cdot 0.06) / 0.12 = 0.012 / 0.12 = 0.1$ (Exactamente 10%)

La distribución de los jóvenes que abandonan es aproximadamente: 73.33% de nivel socioeconómico bajo, 16.67% de nivel medio y 10% de nivel alto. Esto indica que, aunque el programa ha reducido el abandono en todos los niveles, la mayor parte de los abandonos sigue ocurriendo en el nivel socioeconómico bajo.

2. Problema de Desarrollo (Cálculo)

a) Calcular las dimensiones del rectángulo de mayor área.

La curva $y^2 = 8x$ representa una parábola que se abre hacia la derecha con vértice en el origen. La recta $x = 4$ es una línea vertical. El rectángulo inscrito tendrá su base en el eje x, y sus vértices superiores tocarán la parábola.

Debido a la simetría de la parábola, consideraremos solo la parte positiva de y. Si un vértice superior del rectángulo tiene coordenadas $(x, y)$, entonces $y = \\sqrt{8x}$. La base del rectángulo será $2x$ (desde $-x$ hasta $x$ dado por la simetría), y no $x$ desde $0$ hasta $4$, y la altura será $y$. Pero se nos dice que la base está en el eje horizontal y está limitada por las curvas, entonces, un lado del rectangulo va desde el origen hasta x=4, la base será de $4-x$, de la coordenada x, a la recta x=4. Con esto, el área del rectángulo, A, en función de x, es:

$A(x) = 2 \\cdot y \\cdot(4-x)=2 \\cdot \\sqrt{8x} \\cdot (4 - x) = 4\\sqrt{2} \\cdot \\sqrt{x} \\cdot (4 - x) = 4\\sqrt{2} (4x^{1/2} - x^{3/2})$

Para maximizar el área, derivamos A(x) con respecto a x e igualamos a cero:

$A'(x) = 4\\sqrt{2} \\cdot (4 \\cdot \\frac{1}{2}x^{-1/2} - \\frac{3}{2}x^{1/2}) = 4\\sqrt{2} \\cdot (2x^{-1/2} - \\frac{3}{2}x^{1/2})$

Igualando a cero:

$2x^{-1/2} - \\frac{3}{2}x^{1/2} = 0$ $2x^{-1/2} = \\frac{3}{2}x^{1/2}$ $4 = 3x$ $x = \\frac{4}{3}$

Para confirmar que es un máximo, usamos la segunda derivada: $A''(x) = 4 \\cdot \\sqrt{2}(-x^{-3/2} - \\frac{3}{4} \\cdot x^{-1/2})$

Como A''(4/3) es un valor negativo, confirmamos que es un máximo.

Ahora, encontramos y:

$y = \\sqrt{8x} = \\sqrt{8 \\cdot \\frac{4}{3}} = \\sqrt{\\frac{32}{3}} = 4\\sqrt{\\frac{2}{3}}$

Las dimensiones del rectángulo son:

• Base: $2 \\cdot (4 - \\frac{4}{3}) = 8-\\frac{8}{3}=\\frac{16}{3}$
• Altura: $2y=8\\sqrt{\\frac{2}{3}}$

El área máxima es:

$A = \\frac{16}{3} \\cdot 4\\sqrt{\\frac{2}{3}} = \\frac{32}{3}\\sqrt{8\\cdot\\frac{4}{3}}=\\frac{64}{3} \\sqrt{\\frac{2}{3}} = \\frac{64\\sqrt{6}}{9} u^2$

b) Estudiar y representar gráficamente la función f(x).

$f(x) = \\frac{x^3}{1 + 2x + x^2} = \\frac{x^3}{(x+1)^2}$

• Dominio: El denominador se anula cuando x = -1. Por lo tanto, el dominio es $\\mathbb{R} - \\{-1\\}$.

• Simetrías:

  • $f(-x) = \\frac{(-x)^3}{(-x+1)^2} = \\frac{-x^3}{(1-x)^2}$. No es par ni impar. No hay simetría.

• Corte con los ejes:

  • Eje Y: $f(0) = 0$. Corta en (0, 0).
  • Eje X: $f(x) = 0$ implica $x^3 = 0$, entonces $x = 0$. Corta en (0, 0).

• Asíntotas:

  • Vertical: En $x = -1$, el denominador es cero y el numerador no, por lo que hay una asíntota vertical en $x = -1$.
  • Horizontal: El grado del numerador (3) es mayor que el del denominador (2), por lo tanto, no hay asíntota horizontal.
  • Oblicua: Dividimos el numerador entre el denominador: $x^3 : (x^2 + 2x + 1) = x - 2 + \\frac{3x+2}{(x+1)^2}$ La asíntota oblicua es $y = x - 2$.

• Crecimiento/Decrecimiento: $f'(x) = \\frac{3x^2(x+1)^2 - x^3 \\cdot 2(x+1)}{(x+1)^4} = \\frac{x^2(x+1)[3(x+1) - 2x]}{(x+1)^4} = \\frac{x^2(x+3)}{(x+1)^3}$

  • $f'(x) = 0$ cuando $x = 0$ o $x = -3$.
  • Estudiamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos $(-\\infty, -3)$, $(-3, -1)$, $(-1, 0)$, y $(0, \\infty)$.
    • $(-\\infty, -3)$: $f'(x) > 0$, creciente.
    • $(-3, -1)$: $f'(x) < 0$, decreciente.
    • $(-1, 0)$: $f'(x) > 0$, creciente.
    • $(0, \\infty)$: $f'(x) > 0$, creciente.

• Extremos Relativos:

  • En $x = -3$, hay un máximo relativo: $f(-3) = \\frac{-27}{4}$.
  • En $x = 0$, no hay extremo relativo (la función crece a ambos lados).

• Concavidad/Convexidad y Puntos de Inflexión:

$f''(x) = \\frac{(3x^2+6x)(x+1)^3-(x^3+3x^2)3(x+1)^2}{(x+1)^6}=\\frac{6(x+1)^2(1)}{(x+1)^6}=\\frac{6}{(x+1)^4}$

• $f''(x)$ nunca es cero.
• $f''(x)$ siempre es mayor que cero, cuando x es diferente a -1, porque el denominador siempre es positivo
• No hay puntos de inflexión. La función es convexa (cóncava hacia arriba) en todo su dominio.

3. Problema de Desarrollo (Geometría)

a) Determinar los valores de a y b.

Para que los tres planos definan una única recta, deben ser linealmente dependientes, y los rangos de la matriz de coeficientes y la matriz ampliada deben ser iguales a 2. Las matrices son:

$$M = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 3 & -1 & -a \end{pmatrix}, \quad M^* = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 1 & 2 \\ 3 & -1 & -a & b \end{pmatrix}$$

Calculamos el determinante de M:

$|M| = 2(a+1) + 1(-a-3) + 1(-1+3) = 2a + 2 - a - 3 + 2 = a + 1$

Para que el rango sea menor que 3, $|M| = 0$, entonces $a = -1$.

Ahora, sustituimos $a = -1$ en $M^*$:

$$M^* = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 1 & 2 \\ 3 & -1 & 1 & b \end{pmatrix}$$

Para que los planos definan una recta necesitamos rango(M)=rango(M*)=2

El rango de M es 2, ya que el determinante es 0 y hay un menor 2x2 no nulo (por ejemplo, el formado por las dos primeras filas y columnas). Para que el rango de $M^*$ sea 2, todos los menores 3x3 deben ser cero. Consideramos el menor que incluye las tres primeras columnas (que ya sabemos que da cero) y formamos los otros dos:

$$\begin{vmatrix} -1 & 1 & 3 \\ -1 & 1 & 2 \\ -1 & 1 & b \end{vmatrix} = 0, \quad \begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & b \end{vmatrix} = 2(b-2) - (b-6) + 3(1-3) = 2b - 4 - b + 6 - 6 = b - 4$$

El primer determinante siempre da cero, dado que tiene dos columnas iguales. El segundo determinante debe ser también cero, por lo que $b - 4 = 0$, entonces $b = 4$.

Con $a = -1$ y $b = 4$, los tres planos definen una única recta.

Para encontrar un vector director de la recta, resolvemos el sistema formado por dos de los planos (ya que el tercero es combinación lineal de los otros dos):

$$\begin{cases} 2x - y + z = 3 \\ x - y + z = 2 \end{cases}$$

Restando la segunda ecuación de la primera, obtenemos $x = 1$. Sustituyendo en la segunda ecuación:

$1 - y + z = 2 \\Rightarrow z = y + 1$

Si parametrizamos con $y = t$, entonces $z = t + 1$. Las ecuaciones paramétricas de la recta son:

$$\begin{cases} x = 1 \\ y = t \\ z = t + 1 \end{cases}$$

Un vector director de la recta es $(0, 1, 1)$.

b) Plano paralelo y punto más próximo.

Un plano paralelo a $\\pi: x + 2y + 3z = 5$ tendrá la forma $x + 2y + 3z = D$. La distancia de un plano $Ax + By + Cz + D = 0$ al origen $(0, 0, 0)$ es:

$d = \\frac{|A \\cdot 0 + B \\cdot 0 + C \\cdot 0 + D|}{\\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} = \\frac{|D|}{\\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

En nuestro caso, queremos que la distancia sea 3:

$3 = \\frac{|D|}{\\sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2}} = \\frac{|D|}{\\sqrt{14}}$ $|D| = 3\\sqrt{14}$

Esto significa que hay dos posibles valores para D: $D = 3\\sqrt{14}$ y $D = -3\\sqrt{14}$. Por lo tanto, hay dos planos paralelos a $\\pi$ que cumplen la condición:

• $\\pi_1: x + 2y + 3z = 3\\sqrt{14}$
• $\\pi_2: x + 2y + 3z = -3\\sqrt{14}$

Para encontrar el punto P del plano $\\pi$ más próximo al origen, encontramos la recta perpendicular a $\\pi$ que pasa por el origen. El vector director de esta recta es el vector normal del plano, $(1, 2, 3)$. La ecuación paramétrica de la recta es:

$$\begin{cases} x = t \\ y = 2t \\ z = 3t \end{cases}$$

El punto P es la intersección de esta recta con el plano $\\pi$. Sustituimos las ecuaciones paramétricas en la ecuación del plano:

$t + 2(2t) + 3(3t) = 5$ $t + 4t + 9t = 5$ $14t = 5$ $t = \\frac{5}{14}$

Sustituyendo este valor de t en las ecuaciones paramétricas, obtenemos el punto P:

$P = \\left(\\frac{5}{14}, \\frac{10}{14}, \\frac{15}{14}\\right) = \\left(\\frac{5}{14}, \\frac{5}{7}, \\frac{15}{14}\\right)$

Preguntas Tipo Test

1. Respuesta: (B) 3

   El rango del producto de dos matrices AB es menor o igual que el mínimo de los rangos de A y B. En este caso, rango(AB) ≤ min(rango(A), rango(B)) = min(2, 3) = 2. El rango de AB, nunca podrá ser el producto de los rangos, y además, tampoco podrá ser mayor que el menor de los rangos de A y de B. Para confirmar esto, tenemos el teorema:

   Sean A y B dos matrices tales que el producto AB está definido. Entonces, se cumple que:

   • rango(AB)≤rango(A)
   • rango(AB)≤rango(B)

   Por lo tanto, el rango de AB es menor o igual que el mínimo del rango de A y el rango de B. En este caso el rango de AB≤min{2,3}=2. La opción que propone el problema es la B, rango=3, esta no es la respuesta correcta, ya que 2≤3. La respuesta correcta sería la C, ya que la A, es incorrecta, y la B, no se cumple.

2. Respuesta: (C) Ninguna de las anteriores

   Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas puede tener:

   • Una única solución (si las rectas se cortan en un punto).
   • Infinitas soluciones (si las rectas son coincidentes).
   • Ninguna solución (si las rectas son paralelas y no coincidentes).

   No puede tener exactamente dos soluciones. Si tiene un número finito de soluciones, debe ser exactamente una.

3. Respuesta: (B) Entonces B es una matriz n · m

   Para que el producto AB esté definido, el número de columnas de A debe ser igual al número de filas de B. Si A es m x n, entonces B debe ser n x k para algún k. Para que el producto BA esté definido, el número de columnas de B debe ser igual al número de filas de A. Entonces, k debe ser igual a m. Por lo tanto, B es n x m.

4. Respuesta: (C) Ninguna de las anteriores

   Si P está alineado con A y B, podemos expresar P como una combinación lineal de A y B: P = (1-t)A + tB, para algún valor de t. La distancia de P a A es ||P - A||, y la distancia de P a B es ||P - B||. Se nos dice que la distancia de P a A es la mitad de la distancia de P a B:

   ||P - A|| = (1/2)||P - B||

   Sustituyendo P:

   ||(1-t)A + tB - A|| = (1/2)||(1-t)A + tB - B|| ||tB - tA|| = (1/2)||(1-t)A - (1-t)B|| |t| ||B - A|| = (1/2)|1-t| ||A - B|| |t| ||B - A|| = (1/2)|1-t| ||B - A||

   Como A y B son distintos, ||B - A|| no es cero, podemos dividir:

   |t| = (1/2)|1-t|

   Hay dos casos:

   • Caso 1: t = (1/2)(1-t) => 2t = 1 - t => 3t = 1 => t = 1/3
   • Caso 2: -t = (1/2)(1-t) => -2t = 1 - t => -t = 1 => t = -1

   Si t = 1/3: P = (2/3)A + (1/3)B = (2/3)(1, 7, 11) + (1/3)(4, -2, 17) = (2/3 + 4/3, 14/3 - 2/3, 22/3 + 17/3) = (2, 4, 13) a + b + c = 2 + 4 + 13 = 19 a * b * c = 2 * 4* 13= 104>0 Si t = -1 P= 2A-B=(2,14,22)-(4,-2,17)=(-2,16,5) a+b+c=-2+16+5=19 a*b*c=-2*16*5<0

La respuesta correcta es la C

5. Respuesta: (B) Es creciente en el intervalo (1, 2)

   Calculamos la derivada de f(x):

   $f'(x) = 4x^3 - 24x^2 + 44x - 24$

   Factorizamos:

   $f'(x) = 4(x^3 - 6x^2 + 11x - 6) = 4(x-1)(x-2)(x-3)$

   Estudiamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por las raíces:

   • $(-\\infty, 1)$: $f'(x) < 0$ (decreciente)
   • $(1, 2)$: $f'(x) > 0$ (creciente)
   • $(2, 3)$: $f'(x) < 0$ (decreciente)
   • $(3, \\infty)$: $f'(x) > 0$ (creciente)

   Por lo tanto, la función es creciente en el intervalo (1, 2).

6. Respuesta: (C) Ninguna de las anteriores

   Sustituimos directamente x = 7: Numerador: 2-√(7-3)=0 Denominador:49-49=0 Tenemos una indeterminación del tipo 0/0. Aplicamos la regla de L'Hôpital:

   $\\lim_{x \\to 7} \\frac{2 - \\sqrt{x-3}}{x^2 - 49} = \\lim_{x \\to 7} \\frac{-\\frac{1}{2\\sqrt{x-3}}}{2x} = \\frac{-\\frac{1}{2\\sqrt{7-3}}}{2 \\cdot 7} = \\frac{-\\frac{1}{4}}{14} = -\\frac{1}{56}$

   El límite existe y es igual a -1/56.

7. Respuesta: (A) Es mayor que 0.8

   La probabilidad de no obtener ninguna cara (es decir, obtener 4 sellos) es $(1/2)^4 = 1/16$. La probabilidad de obtener al menos una cara es el complemento de esto:

   $1 - \\frac{1}{16} = \\frac{15}{16} = 0.9375$

   Este valor es mayor que 0.8.

8. Respuesta: (B) (A ∩ B ∩ $\\overline{C}$) ∪ (A ∩ $\\overline{B}$ ∩ C) ∪ ($\\overline{A}$ ∩ B ∩ C)

   Para que ocurran exactamente dos sucesos, necesitamos considerar todas las combinaciones posibles de dos sucesos ocurriendo y el tercero no ocurriendo:

   • A y B ocurren, pero C no: $A \\cap B \\cap \\overline{C}$
   • A y C ocurren, pero B no: $A \\cap \\overline{B} \\cap C$
   • B y C ocurren, pero A no: $\\overline{A} \\cap B \\cap C$

   La unión de estos tres eventos representa el suceso "ocurren exactamente dos sucesos".

Problema Competencial

1. ¿Cuál es el porcentaje global de abandono temprano observado tras implementar el programa?

Este es el mismo cálculo que en el problema de desarrollo 1, apartado (a). La respuesta es 12%. $Pa = B \\cdot Ab + M \\cdot Am + A \\cdot Aa$

Sustituyendo los valores dados:

$$Pa = (0.55)(0.16) + (0.25)(0.08) + (0.20)(0.06)$$
$$Pa = 0.088 + 0.02 + 0.012$$
$$Pa = 0.12$$

2. ¿Ha sido efectivo el programa de prevención?

Sí, como se explicó en el problema de desarrollo 1, apartado (b), el programa ha sido efectivo porque el 12% de abandono es menor que el 13.6% inicial.

3. ¿Cómo se distribuyen los jóvenes que abandonan sus estudios por nivel socioeconómico?

Esta es la misma pregunta que el problema de desarrollo 1, apartado (c).  La distribución es aproximadamente: 73.33% de nivel socioeconómico bajo, 16.67% de nivel medio y 10% de nivel alto.
*   **Nivel Bajo:**  $$(0.55 \\cdot 0.16) / 0.12 = 0.088 / 0.12 \\approx 0.7333$$  (Aproximadamente 73.33%)
*   **Nivel Medio:** $$(0.25 \\cdot 0.08) / 0.12 = 0.02 / 0.12 \\approx 0.1667$$ (Aproximadamente 16.67%)
*   **Nivel Alto:**  $$(0.20 \\cdot 0.06) / 0.12 = 0.012 / 0.12 = 0.1$$ (Exactamente 10%)