Sección 1 (3 puntos) Bloque 1

Ejercicio 1

Contexto: Un fabricante produce zapatillas de montaña para hombre y mujer con diferentes beneficios por par. Existen restricciones en la cantidad de pares de cada tipo que se pueden fabricar, así como un límite total de producción. El objetivo es maximizar el beneficio.

a) Función objetivo, restricciones y representación gráfica:

• Variables:

  • $x$ = Número de pares de zapatillas de hombre.
  • $y$ = Número de pares de zapatillas de mujer.

• Función objetivo:

  • Maximizar el beneficio $Z = 30x + 28y$

• Restricciones:

  • $100 ≤ x ≤ 600$ (Producción de zapatillas de hombre)
  • $y ≥ 400$ (Producción mínima de zapatillas de mujer)
  • $x + y ≤ 1200$ (Límite total de producción)
  • $x ≥ 0, y ≥ 0$ (No se pueden producir cantidades negativas)

• Representación gráfica:

  • La región factible está delimitada por las inecuaciones anteriores. Se grafica cada inecuación como una recta y se determina la región que cumple todas las condiciones. Los vértices de esta región son los puntos donde se evalúa la función objetivo para encontrar el máximo.
  • Los vértices de la región factible son:
    • $(100, 400)$
    • $(100, 1100)$
    • $(600, 400)$
    • $(600, 600)$
    • $(800, 400)$

b) Cálculo del beneficio máximo:

• Se evalúa la función objetivo $Z$ en cada uno de los vértices de la región factible:

  • $Z(100, 400) = 30(100) + 28(400) = 14200$
  • $Z(100, 1100) = 30(100) + 28(1100) = 33800$
  • $Z(600, 400) = 30(600) + 28(400) = 29200$
  • $Z(600, 600) = 30(600) + 28(600) = 34800$
  • $Z(800, 400) = 30(800) + 28(400) = 35200$

• El beneficio máximo se obtiene en el vértice $(800, 400)$ con un valor de 35200 euros.

• Respuesta: Para maximizar el beneficio, el fabricante debe producir 800 pares de zapatillas de hombre y 400 pares de zapatillas de mujer, obteniendo un beneficio máximo de 35200 euros.

Ejercicio 2

Contexto: Se tiene una caja de bombones con tres tipos de chocolate (negro, con leche y blanco) con diferentes precios. Se conoce el precio total de la caja y la cantidad de bombones de cada tipo, así como la relación de precios entre ellos. El objetivo es determinar el precio de cada tipo de bombón.

a) Planteamiento del sistema de ecuaciones:

• Variables:

  • $x$ = Precio de un bombón de chocolate negro.
  • $y$ = Precio de un bombón de chocolate con leche.
  • $z$ = Precio de un bombón de chocolate blanco.

• Ecuaciones:

  • $12x + 6y + 6z = 51$ (Precio total de la caja)
  • $x = y + 1$ (El chocolate negro cuesta 1 euro más que el chocolate con leche)
  • $y = z - 0.5$ (El chocolate con leche cuesta 50 céntimos menos que el blanco)

b) Resolución del sistema:

• Se puede resolver el sistema por sustitución. Primero, se sustituye la tercera ecuación en la segunda para obtener $x$ en función de $z$: $x = (z - 0.5) + 1 = z + 0.5$

• Luego, se sustituyen las expresiones de $x$ e $y$ en función de $z$ en la primera ecuación: $12(z + 0.5) + 6(z - 0.5) + 6z = 51$ $12z + 6 + 6z - 3 + 6z = 51$ $24z = 48$ $z = 2$

• Ahora se puede encontrar $y$: $y = z - 0.5 = 2 - 0.5 = 1.5$

• Y finalmente, se encuentra $x$: $x = y + 1 = 1.5 + 1 = 2.5$

• Respuesta: Un bombón de chocolate negro cuesta 2.5 euros, uno de chocolate con leche cuesta 1.5 euros y uno de chocolate blanco cuesta 2 euros.

Sección 1 (3 puntos) Bloque 2

Ejercicio 1

Contexto: Se tiene una función definida a trozos con una constante $c$ desconocida. Se debe determinar el valor de $c$ para que la función sea continua en $x=c$ y luego graficar la función para $c = 1$.

a) Determinación del valor de $c$ para la continuidad:

• Para que la función sea continua en $x=c$, los límites laterales deben ser iguales al valor de la función en ese punto. Es decir: $\\lim_{{x \\to c^-}} f(x) = \\lim_{{x \\to c^+}} f(x) = f(c)$

• Calculando los límites laterales: $\\lim_{{x \\to c^-}} f(x) = \\lim_{{x \\to c^-}} (2x - 4) = 2c - 4$ $\\lim_{{x \\to c^+}} f(x) = \\lim_{{x \\to c^+}} (-(x-3)^2 + 2) = -(c-3)^2 + 2$

• Igualando los límites laterales: $2c - 4 = -(c-3)^2 + 2$ $2c - 4 = -c^2 + 6c - 9 + 2$ $c^2 - 4c + 3 = 0$

• Resolviendo la ecuación cuadrática: $(c-3)(c-1) = 0$ $c = 3$ o $c = 1$

• Como la función debe ser continua en $x = c$, ambos valores de $c$ son válidos. Sin embargo, para que la función esté bien definida a trozos, debemos elegir $c = 3$ ya que si eligiéramos $c = 1$ se superpondrían los intervalos.

b) Representación gráfica para $c = 1$:

• La función para $c=1$ es: f(x) = \\begin{cases} 2x - 4 & \\text{si } x \\leq 1 \\\\ -(x-3)^2 + 2 & \\text{si } x > 1 \\end{cases}

• Para $x ≤ 1$, se grafica la recta $2x - 4$.

• Para $x > 1$, se grafica la parábola $−(x − 3)^2 + 2$. El vértice de la parábola es $(3, 2)$, y se abre hacia abajo.

• Respuesta: El valor de $c$ para que la función sea continua en $x = c$ es $c = 3$. La gráfica de la función para $c = 1$ consiste en una recta para $x ≤ 1$ y una parábola para $x > 1$.

Ejercicio 2

Contexto: Se tiene una función $f(x) = ax^4 + bx^2 + c$ con un mínimo en el punto $(-1, 0)$ y que corta al eje $OY$ en $y = 1$. Se deben determinar los valores de $a$, $b$ y $c$.

• Condición 1: Corte con el eje OY en y = 1:

  • Cuando $x = 0$, $f(x) = 1$. Sustituyendo en la función: $f(0) = a(0)^4 + b(0)^2 + c = 1$ $c = 1$

• Condición 2: Mínimo en el punto (-1, 0):

  • Si hay un mínimo en $x = -1$, entonces la derivada de la función en ese punto es cero: $f'(-1) = 0$.
  • La derivada de la función es: $f'(x) = 4ax^3 + 2bx$
  • Sustituyendo $x = -1$: $f'(-1) = 4a(-1)^3 + 2b(-1) = -4a - 2b = 0$ $2a + b = 0$

• Condición 3: El punto (-1, 0) pertenece a la función:

  • Sustituyendo $x = -1$ y $f(x) = 0$ en la función y usando $c = 1$: $f(-1) = a(-1)^4 + b(-1)^2 + 1 = 0$ $a + b + 1 = 0$ $a + b = -1$

• Resolución del sistema:

  • Se tiene el sistema de ecuaciones: $2a + b = 0$ $a + b = -1$
  • Restando la segunda ecuación de la primera: $a = 1$
  • Sustituyendo $a = 1$ en la segunda ecuación: $1 + b = -1$ $b = -2$

• Respuesta: Los valores de los parámetros son $a = 1$, $b = -2$ y $c = 1$. La función es $f(x) = x^4 - 2x^2 + 1$.

Sección 2 (3.5 puntos) Bloque 1

Ejercicio 3

Contexto: Se analizan los turistas que visitan una ciudad, clasificándolos según su lugar de alojamiento (centro o afueras) y el tipo de hotel (3 o más estrellas o de menor calidad). Se deben calcular probabilidades relacionadas con estas clasificaciones.

a) Probabilidad de alojarse en un hotel de 3 o más estrellas:

• Definición de eventos:

  • $C$: Alojarse en el centro.
  • $A$: Alojarse en las afueras.
  • $E$: Alojarse en un hotel de 3 o más estrellas.
  • $M$: Alojarse en un hotel de menor calidad.

• Probabilidades dadas:

  • $P(C) = 0.7$
  • $P(A) = 0.3$
  • $P(E|C) = 0.6$
  • $P(E|A) = 0.4$
  • $P(M|C) = 0.4$
  • $P(M|A) = 0.6$

• Teorema de la probabilidad total:

  • $P(E) = P(E|C)P(C) + P(E|A)P(A)$
  • $P(E) = (0.6)(0.7) + (0.4)(0.3) = 0.42 + 0.12 = 0.54$

• Respuesta: La probabilidad de que un turista elegido al azar se haya alojado en un hotel de 3 o más estrellas es 0.54.

b) Probabilidad de alojarse en el centro dado que se alojó en un hotel de menor calidad:

• Teorema de Bayes:

  • $P(C|M) = \\frac{P(M|C)P(C)}{P(M)}$

• Cálculo de P(M):

  • $P(M) = P(M|C)P(C) + P(M|A)P(A)$
  • $P(M) = (0.4)(0.7) + (0.6)(0.3) = 0.28 + 0.18 = 0.46$

• Sustituyendo en el Teorema de Bayes:

  • $P(C|M) = \\frac{(0.4)(0.7)}{0.46} = \\frac{0.28}{0.46} \\approx 0.6087$

• Respuesta: Si se sabe que una persona se ha alojado en un establecimiento de menor calidad, la probabilidad de que se haya alojado en el centro es aproximadamente 0.6087.

Ejercicio 4

Contexto: Se analiza el número de pacientes atendidos en un centro de salud por semana, que sigue una distribución normal. Se tiene una muestra de 25 semanas y se debe calcular un intervalo de confianza para la media poblacional, analizar el efecto del tamaño de muestra en la amplitud del intervalo y determinar si se puede aceptar una afirmación sobre la media poblacional.

a) Intervalo de confianza al 95%:

• Datos:

  • Desviación típica poblacional: $\\sigma = 50$
  • Tamaño de la muestra: $n = 25$
  • Media muestral: $\\bar{x} = 322$
  • Nivel de confianza: $1 - \\alpha = 0.95$

• Valor crítico:

  • Para un nivel de confianza del 95%, $\\alpha/2 = 0.025$. El valor crítico $z_{\\alpha/2}$ correspondiente es 1.96 (obtenido de la tabla de la distribución normal estándar).

• Error estándar:

  • $SE = \\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}} = \\frac{50}{\\sqrt{25}} = 10$

• Margen de error:

  • $ME = z_{\\alpha/2} \\cdot SE = 1.96 \\cdot 10 = 19.6$

• Intervalo de confianza:

  • $\\bar{x} \\pm ME = 322 \\pm 19.6$
  • $(302.4, 341.6)$

• Respuesta: El intervalo de confianza para la media poblacional del número de pacientes atendidos con un nivel de confianza del 95% es (302.4, 341.6).

b) Efecto del aumento del tamaño de muestra en la amplitud del intervalo:

• La amplitud del intervalo de confianza es inversamente proporcional a la raíz cuadrada del tamaño de la muestra ($n$).

• Si se aumenta el tamaño de la muestra, el error estándar ($SE = \\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}}$) disminuye.

• Un menor error estándar implica un menor margen de error ($ME$) y, por lo tanto, un intervalo de confianza más estrecho (menor amplitud).

• Respuesta: Al aumentar el tamaño de la muestra para el mismo nivel de confianza, la amplitud del intervalo de confianza disminuirá.

c) Aceptación de la afirmación sobre la media poblacional:

• Se afirma que la media de pacientes atendidos a la semana es de 330 con un nivel de confianza del 99%.

• Valor crítico para el 99%:

  • Para un nivel de confianza del 99%, $\\alpha/2 = 0.005$. El valor crítico $z_{\\alpha/2}$ correspondiente es aproximadamente 2.58.

• Margen de error para el 99%:

  • $ME = z_{\\alpha/2} \\cdot SE = 2.58 \\cdot 10 = 25.8$

• Intervalo de confianza para el 99%:

  • $\\bar{x} \\pm ME = 322 \\pm 25.8$
  • $(296.2, 347.8)$

• Conclusión: El valor de 330 se encuentra dentro del intervalo de confianza del 99% (296.2, 347.8).

• Respuesta: Sí, se puede aceptar la afirmación de que la media de pacientes atendidos a la semana es de 330 con un nivel de confianza del 99%.

Sección 2 (3.5 puntos) Bloque 2

Ejercicio 3

Contexto: Un programa de televisión tiene tres secciones (magia, humor y noticias) con duraciones relacionadas entre sí. Se conoce la duración total del programa y la relación entre las duraciones de las secciones. El objetivo es determinar la duración de cada sección.

a) Planteamiento del sistema de ecuaciones:

• Variables:

  • $x$ = Duración de la sección de magia (en minutos).
  • $y$ = Duración de la sección de humor (en minutos).
  • $z$ = Duración de la sección de noticias (en minutos).

• Ecuaciones:

  • $y = x + 5$ (El humor dura 5 minutos más que la magia)
  • $x + y = \\frac{1}{4}z$ (Magia y humor duran la cuarta parte que las noticias)
  • $x + y + z = 60 + 55 = 115$ (Duración total del programa en minutos)

b) Resolución del sistema:

• Se puede resolver el sistema por sustitución. Primero, se sustituye la primera ecuación en la segunda: $x + (x + 5) = \\frac{1}{4}z$ $2x + 5 = \\frac{1}{4}z$ $8x + 20 = z$

• Luego, se sustituyen las expresiones de $y$ y $z$ en función de $x$ en la tercera ecuación: $x + (x + 5) + (8x + 20) = 115$ $10x + 25 = 115$ $10x = 90$ $x = 9$

• Ahora se puede encontrar $y$: $y = x + 5 = 9 + 5 = 14$

• Y finalmente, se encuentra $z$: $z = 8x + 20 = 8(9) + 20 = 72 + 20 = 92$

• Respuesta: La sección de magia dura 9 minutos, la de humor dura 14 minutos y la de noticias dura 92 minutos.

Ejercicio 4

Contexto: Se analizan operaciones con matrices, incluyendo la resolución de ecuaciones matriciales y la determinación de las dimensiones para que se puedan realizar ciertos productos.

a) Resolución de ecuaciones matriciales AX = B y B = XA:

• No se obtiene el mismo resultado. La multiplicación de matrices no es conmutativa, lo que significa que, en general, $A \\cdot B \\neq B \\cdot A$.
• Para resolver $A \\cdot X = B$, se debe multiplicar por la inversa de $A$ por la izquierda: $A^{-1} \\cdot A \\cdot X = A^{-1} \\cdot B$ $I \\cdot X = A^{-1} \\cdot B$ $X = A^{-1} \\cdot B$
• Para resolver $B = X \\cdot A$, se debe multiplicar por la inversa de $A$ por la derecha: $B \\cdot A^{-1} = X \\cdot A \\cdot A^{-1}$ $B \\cdot A^{-1} = X \\cdot I$ $B \\cdot A^{-1} = X$
• Propiedad: La propiedad a la que se hace referencia es la no conmutatividad de la multiplicación de matrices.

b) Dimensiones para el producto M · N · P:

• Para que el producto de matrices esté definido, el número de columnas de la primera matriz debe ser igual al número de filas de la segunda matriz.

• Para que se pueda realizar $M \\cdot N \\cdot P$, se deben cumplir las siguientes condiciones:

  • $M_{3 \\times m} \\cdot N_{2 \\times 5}$: $m$ debe ser igual a 2.
  • $(M \\cdot N)_{3 \\times 5} \\cdot P_{p \\times p}$: $p$ debe ser igual a 5.

• La matriz resultante tendrá la dimensión de la primera matriz por el número de columnas de la última matriz. En este caso, la matriz resultante $(M \\cdot N \\cdot P)$ tendrá una dimensión de $3 \\times 5$.

• Respuesta: Para que se pueda realizar el producto $M \\cdot N \\cdot P$, $m$ debe ser igual a 2 y $p$ debe ser igual a 5. La matriz resultante tendrá una dimensión de $3 \\times 5$.

c) Resolución de la ecuación X · C - D² = (1/3)E^T:

• Primero, se calcula $D^2$: D^2 = D \\cdot D = \\begin{pmatrix} 5 & 0 \\\\ -1 & 2 \\end{pmatrix} \\cdot \\begin{pmatrix} 5 & 0 \\\\ -1 & 2 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 25 & 0 \\\\ -7 & 4 \\end{pmatrix}

• Luego, se calcula $\\frac{1}{3}E^T$: \\frac{1}{3}E^T = \\frac{1}{3} \\begin{pmatrix} 9 & 3 \\\\ -3 & -9 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 3 & 1 \\\\ -1 & -3 \\end{pmatrix}

• La ecuación queda como: $X \\cdot C - D^2 = \\frac{1}{3}E^T$ $X \\cdot C = \\frac{1}{3}E^T + D^2$

• Se calcula $\\frac{1}{3}E^T + D^2$: \\begin{pmatrix} 3 & 1 \\\\ -1 & -3 \\end{pmatrix} + \\begin{pmatrix} 25 & 0 \\\\ -7 & 4 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 28 & 1 \\\\ -8 & 1 \\end{pmatrix}

• Ahora se tiene: X \\cdot C = \\begin{pmatrix} 28 & 1 \\\\ -8 & 1 \\end{pmatrix}

• Para encontrar $X$, se multiplica por la inversa de $C$ por la derecha: X \\cdot C \\cdot C^{-1} = \\begin{pmatrix} 28 & 1 \\\\ -8 & 1 \\end{pmatrix} \\cdot C^{-1} X = \\begin{pmatrix} 28 & 1 \\\\ -8 & 1 \\end{pmatrix} \\cdot C^{-1}

• Se calcula la inversa de $C$: C^{-1} = \\frac{1}{(-4)(-3) - (11)(1)} \\begin{pmatrix} -3 & -11 \\\\ -1 & -4 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 3 & 11 \\\\ 1 & 4 \\end{pmatrix}

• Finalmente, se calcula $X$: X = \\begin{pmatrix} 28 & 1 \\\\ -8 & 1 \\end{pmatrix} \\cdot \\begin{pmatrix} 3 & 11 \\\\ 1 & 4 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 85 & 312 \\\\ -23 & -84 \\end{pmatrix}

• Respuesta: La solución de la ecuación es X = \\begin{pmatrix} 85 & 312 \\\\ -23 & -84 \\end{pmatrix}.

Sección 3 (3.5 puntos) Bloque 1

Ejercicio 5

Contexto: Se analizan las personas que acuden a una consulta médica, clasificándolas según si van a diagnosticar una enfermedad, a solicitar recetas o a ambas cosas. Se deben calcular probabilidades relacionadas con estas clasificaciones.

a) Probabilidad de solicitar recetas o diagnosticar una enfermedad o ambos:

• Definición de eventos:

  • $E$: Acudir para diagnosticar una enfermedad.
  • $R$: Acudir para solicitar recetas.

• Probabilidades dadas:

  • $P(E) = 0.4$
  • $P(R) = 0.3$
  • $P(E \\cap R) = 0.1$ (Probabilidad de acudir a ambas cosas)

• Probabilidad de la unión:

  • $P(E \\cup R) = P(E) + P(R) - P(E \\cap R)$
  • $P(E \\cup R) = 0.4 + 0.3 - 0.1 = 0.6$

• Respuesta: La probabilidad de que una persona elegida al azar acuda a solicitar recetas o a diagnosticar una enfermedad o a ambas cosas es 0.6.

b) Probabilidad de solicitar recetas dado que ha acudido a diagnosticar una enfermedad:

• Probabilidad condicional:

  • $P(R|E) = \\frac{P(R \\cap E)}{P(E)}$
  • $P(R|E) = \\frac{0.1}{0.4} = 0.25$

• Respuesta: Si se sabe que una persona ha acudido a diagnosticar una enfermedad, la probabilidad de que también solicite recetas es 0.25.

Ejercicio 6

Contexto: Se analiza el número de libros que lee un estudiante de Bachillerato al año, que sigue una distribución normal. Se tiene una muestra de 10 estudiantes y se debe calcular un intervalo de confianza para la media poblacional, analizar qué se podría hacer para obtener un intervalo de confianza con mayor amplitud y calcular el error máximo admisible para una muestra más grande.

a) Intervalo de confianza al 97%:

• Datos:

  • Varianza poblacional: $\\sigma^2 = 6$
  • Desviación típica poblacional: $\\sigma = \\sqrt{6} \\approx 2.45$
  • Tamaño de la muestra: $n = 10$
  • Muestra: 4, 8, 2, 9, 3, 7, 5, 6, 7, 4
  • Media muestral: $\\bar{x} = \\frac{4+8+2+9+3+7+5+6+7+4}{10} = 5.5$
  • Nivel de confianza: $1 - \\alpha = 0.97$

• Valor crítico:

  • Para un nivel de confianza del 97%, $\\alpha/2 = 0.015$. El valor crítico $z_{\\alpha/2}$ correspondiente es aproximadamente 2.17 (obtenido de la tabla de la distribución normal estándar).

• Error estándar:

  • $SE = \\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}} = \\frac{\\sqrt{6}}{\\sqrt{10}} \\approx 0.775$

• Margen de error:

  • $ME = z_{\\alpha/2} \\cdot SE = 2.17 \\cdot 0.775 \\approx 1.68$

• Intervalo de confianza:

  • $\\bar{x} \\pm ME = 5.5 \\pm 1.68$
  • $(3.82, 7.18)$

• Respuesta: El intervalo de confianza para la media poblacional de libros leídos con un nivel de confianza del 97% es (3.82, 7.18).

b) Aumento de la amplitud del intervalo de confianza:

• Para aumentar la amplitud del intervalo de confianza para el mismo nivel de confianza, se puede disminuir el tamaño de la muestra.

• Al disminuir el tamaño de la muestra ($n$), el error estándar ($SE = \\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}}$) aumenta.

• Un mayor error estándar implica un mayor margen de error ($ME$) y, por lo tanto, un intervalo de confianza más amplio (mayor amplitud).

• Otra forma de aumentar la amplitud es disminuir el nivel de confianza.

• Respuesta: Para conseguir un intervalo de confianza con mayor amplitud para el mismo nivel de confianza, se podría disminuir el tamaño de la muestra o disminuir el nivel de confianza.

c) Error máximo admisible con n = 64 y 95.96% de confianza:

• Datos:

  • Desviación típica poblacional: $\\sigma = \\sqrt{6} \\approx 2.45$
  • Tamaño de la muestra: $n = 64$
  • Nivel de confianza: $1 - \\alpha = 0.9596$

• Valor crítico:

  • Para un nivel de confianza del 95.96%, el valor crítico $z_{\\alpha/2}$ correspondiente es 2.05.

• Error estándar:

  • $SE = \\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}} = \\frac{\\sqrt{6}}{\\sqrt{64}} \\approx 0.306$

• Error máximo admisible (margen de error):

  • $ME = z_{\\alpha/2} \\cdot SE = 2.05 \\cdot 0.306 \\approx 0.627$

• Respuesta: El error máximo admisible si se hubiera utilizado una muestra de tamaño 64 estudiantes y un nivel de confianza del 95.96% sería aproximadamente 0.627.

Sección 3 (3.5 puntos) Bloque 2

Ejercicio 5

Contexto: Se tiene una función definida a trozos con una constante $t$ desconocida. Se debe determinar el valor de $t$ para que la función sea continua en $x=-1$, y luego, para $t=0$, calcular los extremos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento en el intervalo $(-1, \\infty)$.

a) Determinación del valor de $t$ para la continuidad en $x=-1$:

• Para que la función sea continua en $x=-1$, los límites laterales deben ser iguales al valor de la función en ese punto. Es decir: $\\lim_{{x \\to -1^-}} f(x) = \\lim_{{x \\to -1^+}} f(x) = f(-1)$

• Calculando los límites laterales y el valor de la función en $x=-1$: $\\lim_{{x \\to -1^-}} f(x) = \\lim_{{x \\to -1^-}} (x + t + 1)^2 = (-1 + t + 1)^2 = t^2$ $\\lim_{{x \\to -1^+}} f(x) = \\lim_{{x \\to -1^+}} (-x^2 + (t+2)x + 5) = -(-1)^2 + (t+2)(-1) + 5 = -1 - t - 2 + 5 = 2 - t$ $f(-1) = 1$

• Igualando los límites laterales y el valor de la función: $t^2 = 2 - t = 1$

• De $t^2 = 1$, se obtienen dos posibles valores: $t = 1$ o $t = -1$

• De $2 - t = 1$, se obtiene $t = 1$

• Para que se cumplan ambas condiciones, el valor de $t$ debe ser $t=1$.

• Respuesta: El valor de $t$ para que la función sea continua en $x=-1$ es $t=1$.

b) Extremos relativos para $t=0$ en $(-1, \\infty)$:

• Para $t=0$, la función en el intervalo $(-1, \\infty)$ es: $f(x) = -x^2 + 2x + 5$

• Para encontrar los extremos relativos, se calcula la derivada de la función: $f'(x) = -2x + 2$

• Se iguala la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: $-2x + 2 = 0$ $x = 1$

• Se evalúa la segunda derivada para determinar si es un máximo o un mínimo: $f''(x) = -2$ Como $f''(1) = -2 < 0$, hay un máximo relativo en $x = 1$.

• El valor del máximo relativo es: $f(1) = -(1)^2 + 2(1) + 5 = -1 + 2 + 5 = 6$

• Respuesta: Para $t=0$, la función tiene un máximo relativo en el punto $(1, 6)$ en el intervalo $(-1, \\infty)$.

c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento para $t=0$ en $(-1, \\infty)$:

• Se analiza el signo de la derivada $f'(x) = -2x + 2$ en el intervalo $(-1, \\infty)$:

  • Si $-1 < x < 1$, entonces $f'(x) > 0$, la función es creciente.
  • Si $x > 1$, entonces $f'(x) < 0$, la función es decreciente.

• Respuesta: Para $t=0$, la función es creciente en el intervalo $(-1, 1)$ y decreciente en el intervalo $(1, \\infty)$.

Ejercicio 6

Contexto: Se tiene una función que representa