Examen Resuelto Selectividad EVAU UCLM Matemáticas II 2020/2021

Como un estudiante sobresaliente, abordaré cada problema con un enfoque metódico y claro, explicando cada paso con detalle.

Ejercicio 1

a) Para calcular el determinante de la matriz traspuesta de A, primero necesitamos encontrar la matriz traspuesta $A^T$. La traspuesta de una matriz se obtiene intercambiando sus filas por sus columnas. Entonces, para la matriz A dada:

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\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & a+1 \ a & 0 & 1 & a-1 \ 1 & -1 & 1 & 3 \end{array}\right)

Operaciones elementales: 1. Intercambiamos $$F_1$$ y $$F_3$$ 2. $$F_2 \\rightarrow F_2 - a \\cdot F_1$$ 3. $$F_3 \\rightarrow F_3 - F_1$$

\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 3 \ 0 & a & 1-a & -2a-1 \ 0 & 2 & 0 & a-2 \end{array}\right)

Continuando con las operaciones: 1. Intercambiamos $$F_2$$ y $$F_3$$ 2. $$F_3 \\rightarrow F_3 - \\frac{a}{2} \\cdot F_2$$

\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 3 \ 0 & 2 & 0 & a-2 \ 0 & 0 & 1-a & -2a-1 - \frac{a(a-2)}{2} \end{array}\right)

$$Simplificando la última fila:$$

\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 3 \ 0 & 2 & 0 & a-2 \ 0 & 0 & 1-a & \frac{-a^2 - 2}{2} \end{array}\right)

**Discusión:** - Si $$a \\neq 1$$, el sistema tiene una solución única (Sistema Compatible Determinado). - Si $$a = 1$$, la última fila se convierte en $$0 = -3/2$$, lo que indica que el sistema es incompatible (no tiene solución). b) Para $$a = 0$$, el sistema se convierte en:

\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 3 \ 0 & 2 & 0 & -2 \ 0 & 0 & 1 & -1 \end{array}\right)

Resolviendo el sistema: - De la tercera ecuación, $$z = -1$$. - De la segunda ecuación, $$2y = -2 \\Rightarrow y = -1$$. - De la primera ecuación, $$x - (-1) + (-1) = 3 \\Rightarrow x = 3$$. Por lo tanto, la solución es $$x = 3, y = -1, z = -1$$. **Razonamiento:** Hemos utilizado el método de Gauss para escalonar la matriz ampliada y discutir el sistema en función del parámetro a. Para $$a = 0$$, hemos resuelto el sistema resultante utilizando sustitución hacia atrás. **Ejercicio 3** a) Para calcular la integral $$(cid:90) \\frac{2}{3 + e^x} dx$$, realizamos el cambio de variable sugerido $$e^x = t$$. Entonces, $$x = \\ln(t)$$ y $$dx = \\frac{1}{t} dt$$. La integral se convierte en: $$(cid:90) \\frac{2}{3 + t} \\cdot \\frac{1}{t} dt = 2 (cid:90) \\frac{1}{t(3+t)} dt$$ Para resolver esta integral, utilizamos fracciones parciales: $$\\frac{1}{t(3+t)} = \\frac{A}{t} + \\frac{B}{3+t}$$ $$1 = A(3+t) + Bt$$ Resolviendo para A y B, encontramos $$A = \\frac{1}{3}$$ y $$B = -\\frac{1}{3}$$. Entonces, la integral se convierte en: $$2 (cid:90) \\left(\\frac{1/3}{t} - \\frac{1/3}{3+t}\\right) dt = \\frac{2}{3} (cid:90) \\left(\\frac{1}{t} - \\frac{1}{3+t}\\right) dt$$ $$= \\frac{2}{3} (\\ln|t| - \\ln|3+t|) + C = \\frac{2}{3} \\ln\\left|\\frac{t}{3+t}\\right| + C$$ Sustituyendo $$t = e^x$$ de vuelta, obtenemos: $$= \\frac{2}{3} \\ln\\left|\\frac{e^x}{3+e^x}\\right| + C$$ b) Para calcular la integral $$(cid:90) \\frac{-x+1}{x^2+3} dx$$, la dividimos en dos integrales: $$(cid:90) \\frac{-x+1}{x^2+3} dx = -(cid:90) \\frac{x}{x^2+3} dx + (cid:90) \\frac{1}{x^2+3} dx$$ La primera integral se resuelve con la sustitución $$u = x^2 + 3$$, $$du = 2x dx$$: $$-(cid:90) \\frac{x}{x^2+3} dx = -\\frac{1}{2} (cid:90) \\frac{1}{u} du = -\\frac{1}{2} \\ln|u| + C_1 = -\\frac{1}{2} \\ln(x^2+3) + C_1$$ La segunda integral es de la forma $$(cid:90) \\frac{1}{x^2+a^2} dx$$ donde $$a = \\sqrt{3}$$, que tiene como solución $$\\frac{1}{a} \\arctan\\left(\\frac{x}{a}\\right)$$: $$(cid:90) \\frac{1}{x^2+3} dx = \\frac{1}{\\sqrt{3}} \\arctan\\left(\\frac{x}{\\sqrt{3}}\\right) + C_2$$ Combinando ambas soluciones, obtenemos: $$-\\frac{1}{2} \\ln(x^2+3) + \\frac{1}{\\sqrt{3}} \\arctan\\left(\\frac{x}{\\sqrt{3}}\\right) + C$$ **Razonamiento:** En la parte a), hemos utilizado un cambio de variable y fracciones parciales para simplificar la integral. En la parte b), hemos separado la integral en dos partes, una que se resuelve por sustitución y otra que es una integral estándar de la forma arcotangente. **Ejercicio 4** a) Para calcular la distancia del punto $$P(1, 0, 1)$$ a la recta $$r \\equiv \\frac{x+1}{1} = \\frac{y}{1} = \\frac{z-1}{-1}$$, necesitamos un punto en la recta y el vector director de la recta. Un punto en la recta es $$Q(-1, 0, 1)$$ y el vector director es $$\\vec{v} = (1, 1, -1)$$. El vector $$\\vec{QP} = P - Q = (1 - (-1), 0 - 0, 1 - 1) = (2, 0, 0)$$. La fórmula de la distancia de un punto a una recta es: $$d(P, r) = \\frac{||\\vec{QP} \\times \\vec{v}||}{||\\vec{v}||} $$ Calculamos el producto vectorial $$\\vec{QP} \\times \\vec{v}$$: $$\vec{QP} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = (0, 2, 2)$$ La norma de este vector es $$||(0, 2, 2)|| = \\sqrt{0^2 + 2^2 + 2^2} = \\sqrt{8} = 2\\sqrt{2}$$. La norma del vector director es $$||\\vec{v}|| = \\sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \\sqrt{3}$$. Por lo tanto, la distancia es: $$d(P, r) = \\frac{2\\sqrt{2}}{\\sqrt{3}} = \\frac{2\\sqrt{6}}{3}$$ b) Para que las rectas $$s$$ y $$t$$ sean paralelas, sus vectores directores deben ser proporcionales. Los vectores directores son $$\\vec{v_s} = (2, -2a, 2)$$ y $$\\vec{v_t} = (a, -1, 1)$$. Para que sean proporcionales, debe existir un escalar $$k$$ tal que $$\\vec{v_s} = k \\cdot \\vec{v_t}$$. Esto nos da las siguientes ecuaciones: $$2 = k \\cdot a$$ $$-2a = k \\cdot (-1)$$ $$2 = k \\cdot 1$$ De la tercera ecuación, $$k = 2$$. Sustituyendo en la segunda ecuación, $$-2a = 2 \\cdot (-1) \\Rightarrow a = 1$$. Sustituyendo en la primera ecuación, $$2 = 2 \\cdot a \\Rightarrow a = 1$$. Por lo tanto, el valor de $$a$$ para que las rectas sean paralelas es $$a = 1$$. **Razonamiento:** En la parte a), hemos utilizado la fórmula de la distancia de un punto a una recta, que involucra el producto vectorial y la norma de los vectores. En la parte b), hemos establecido la condición de paralelismo entre dos rectas, que es que sus vectores directores sean proporcionales. **Ejercicio 5** El volumen del tetraedro con vértices A(0, 0, 1), B(2, 1, 0), C(1, 1, 1) y D(1, 1, 2) se puede calcular usando la fórmula: $$V = \\frac{1}{6} | \\vec{AB} \\cdot (\\vec{AC} \\times \\vec{AD}) |$$ Primero, calculamos los vectores: $$\\vec{AB} = B - A = (2, 1, -1)$$ $$\\vec{AC} = C - A = (1, 1, 0)$$ $$\\vec{AD} = D - A = (1, 1, 1)$$ Luego, calculamos el producto vectorial $$\\vec{AC} \\times \\vec{AD}$$: $$\vec{AC} \times \vec{AD} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (1, -1, 0)$$ Ahora, calculamos el producto escalar $$\\vec{AB} \\cdot (\\vec{AC} \\times \\vec{AD})$$: $$\\vec{AB} \\cdot (1, -1, 0) = (2, 1, -1) \\cdot (1, -1, 0) = 2 - 1 + 0 = 1$$ Finalmente, el volumen es: $$V = \\frac{1}{6} |1| = \\frac{1}{6}$$ Para encontrar la ecuación del plano que pasa por A, B y C, necesitamos un punto en el plano (por ejemplo, A) y un vector normal al plano. El vector normal se puede obtener del producto vectorial $$\\vec{AB} \\times \\vec{AC}$$. $$\\vec{AB} = (2, 1, -1)$$ $$\\vec{AC} = (1, 1, 0)$$ $$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = (1, -1, 1)$$ La ecuación del plano es de la forma $$ax + by + cz = d$$, donde $$(a, b, c)$$ es el vector normal. Usando el punto A(0, 0, 1): $$1 \\cdot x - 1 \\cdot y + 1 \\cdot z = d$$ $$1 \\cdot 0 - 1 \\cdot 0 + 1 \\cdot 1 = d$$ $$d = 1$$ La ecuación del plano es: $$x - y + z = 1$$ La recta perpendicular a este plano que pasa por D(1, 1, 2) tendrá como vector director el vector normal del plano, $$(1, -1, 1)$$. La ecuación de la recta en forma paramétrica es: $$x = 1 + t$$ $$y = 1 - t$$ $$z = 2 + t$$ **Razonamiento:** Hemos utilizado la fórmula del volumen de un tetraedro, que involucra el producto escalar y el producto vectorial. Para encontrar la ecuación del plano, hemos usado el hecho de que el producto vectorial de dos vectores en el plano es normal al plano. Para la ecuación de la recta, hemos usado el vector normal del plano como vector director de la recta. **Ejercicio 6** a) La función es $$f(x) = ax^3 - 2x^2 - x + b$$. Sabemos que la gráfica pasa por el punto (1, 2), por lo que $$f(1) = 2$$. Sustituyendo x = 1, obtenemos: $$a(1)^3 - 2(1)^2 - 1 + b = 2$$ $$a - 2 - 1 + b = 2$$ $$a + b = 5$$ La pendiente de la recta tangente en x = 1 es 1, lo que significa que $$f'(1) = 1$$. Primero, encontramos la derivada de f(x): $$f'(x) = 3ax^2 - 4x - 1$$ Ahora, sustituimos x = 1 y establecemos que la derivada es igual a 1: $$3a(1)^2 - 4(1) - 1 = 1$$ $$3a - 4 - 1 = 1$$ $$3a = 6$$ $$a = 2$$ Sustituyendo a = 2 en la ecuación $$a + b = 5$$, obtenemos $$2 + b = 5 \\Rightarrow b = 3$$. Por lo tanto, los valores son $$a = 2$$ y $$b = 3$$. b) La función es:

f(x) = \begin{cases} x^2 - ax + 1 & x < 0 \ be^x & x \geq 0 \end{cases}

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f'(x) = \begin{cases} 2x - a & x < 0 \ be^x & x \geq 0 \end{cases}

undefined

f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 2}{2x - 1} & x < 1 \ \frac{x - 2}{2e^x} & 1 \leq x \leq 3 \ & x > 3 \end{cases}

undefined