Examen Resuelto Selectividad EVAU UCLM Junio Matemáticas II 2022/2023

Ejercicio 1

Contexto: Este ejercicio se centra en el álgebra matricial y la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Se debe determinar las condiciones para que un producto de matrices sea igual a otra matriz dada, y luego analizar la simetría de la matriz resultante.

a) Condiciones para que A ⋅ X = B

Para que el producto de matrices A ⋅ X sea igual a la matriz B, se deben cumplir las siguientes condiciones:

A \\cdot X = \\begin{pmatrix} 2 & 1 \\\\ 4 & 2 \\end{pmatrix} \\cdot \\begin{pmatrix} a & b \\\\ c & 0 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 2a + c & 2b \\\\ 4a + 2c & 4b \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 1 & 0 \\\\ 2 & 0 \\end{pmatrix} = B

Esto nos lleva a un sistema de ecuaciones:

$2a + c = 1$

$2b = 0$

$4a + 2c = 2$

$4b = 0$

De las ecuaciones 2 y 4, obtenemos directamente que $b = 0$. Las ecuaciones 1 y 3 son equivalentes, ya que la ecuación 3 es el doble de la ecuación 1. Por lo tanto, el sistema se reduce a:

$2a + c = 1$

$b = 0$

La solución de este sistema es $c = 1 - 2a$, donde $a$ puede ser cualquier número real, y $b = 0$.

Por lo tanto, las condiciones para que A ⋅ X = B son $b = 0$ y $c = 1 - 2a$, donde $a$ es un número real cualquiera.

b) Condiciones para que X sea simétrica y la matriz X resultante

Para que la matriz X sea simétrica, se debe cumplir que $X = X^T$, donde $X^T$ es la matriz traspuesta de X. Esto implica que:

X = \\begin{pmatrix} a & b \\\\ c & 0 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} a & c \\\\ b & 0 \\end{pmatrix} = X^T

Esto significa que $b = c$.

Dado que del apartado anterior ya sabemos que $b = 0$, y ahora sabemos que $b = c$, entonces se debe cumplir que $c = 0$. Además, como $c = 1 - 2a$, sustituyendo $c = 0$ obtenemos que $0 = 1 - 2a$, lo que implica que $a = \\frac{1}{2}$.

Por lo tanto, para que X sea simétrica, se debe cumplir que $a = \\frac{1}{2}$, $b = 0$ y $c = 0$. La matriz X resultante es:

X = \\begin{pmatrix} \\frac{1}{2} & 0 \\\\ 0 & 0 \\end{pmatrix}

Ejercicio 2

Contexto: Este ejercicio trata sobre el teorema de Bolzano y su aplicación para demostrar la existencia de raíces de una función en un intervalo dado. También se debe analizar la unicidad de la raíz en dicho intervalo.

a) Enunciado del teorema de Bolzano

El teorema de Bolzano establece que si una función $f(x)$ es continua en un intervalo cerrado $[a, b]$ y toma valores de signos opuestos en los extremos del intervalo (es decir, $f(a) \\cdot f(b) < 0$), entonces existe al menos un punto $c$ en el intervalo abierto $(a, b)$ tal que $f(c) = 0$. En otras palabras, la función tiene al menos una raíz en el intervalo $(a, b)$.

b) Justificación de la existencia de al menos una raíz en [0, 2]

La función $f(x) = x^3 + 6x^2 + 3x - 10$ es un polinomio, y por lo tanto, es continua en todo su dominio, que es el conjunto de los números reales. En particular, es continua en el intervalo cerrado $[0, 2]$

Evaluamos la función en los extremos del intervalo:

$f(0) = 0^3 + 6(0)^2 + 3(0) - 10 = -10$

$f(2) = 2^3 + 6(2)^2 + 3(2) - 10 = 8 + 24 + 6 - 10 = 28$

Como $f(0) = -10 < 0$ y $f(2) = 28 > 0$, se cumple que $f(0) \\cdot f(2) < 0$.

Por lo tanto, según el teorema de Bolzano, existe al menos un punto $c$ en el intervalo abierto $(0, 2)$ tal que $f(c) = 0$. Esto significa que la función $f(x)$ tiene al menos una raíz en el intervalo $[0, 2]$.

c) ¿Podría f(x) tener más de una raíz en el intervalo [0, 2]?

Para determinar si $f(x)$ podría tener más de una raíz en el intervalo $[0, 2]$, analizamos su derivada:

$f'(x) = 3x^2 + 12x + 3$

El discriminante de la ecuación cuadrática $f'(x) = 0$ es:

$\\Delta = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \\cdot 3 \\cdot 3 = 144 - 36 = 108 > 0$

Dado que el discriminante es positivo, la ecuación $f'(x) = 0$ tiene dos raíces reales distintas. Esto significa que la función $f(x)$ tiene dos puntos críticos. Sin embargo, necesitamos determinar si estos puntos críticos se encuentran dentro del intervalo $[0, 2]$.

Las raíces de $f'(x) = 0$ son:

$x = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{-12 \\pm \\sqrt{108}}{6} = -2 \\pm \\sqrt{3}$

Aproximadamente, las raíces son $x_1 \\approx -3.73$ y $x_2 \\approx -0.27$.

Ambas raíces están fuera del intervalo $[0, 2]$. Además, como el coeficiente principal de $f'(x)$ es positivo ($3 > 0$), la parábola que representa $f'(x)$ se abre hacia arriba. Esto significa que $f'(x)$ es positiva en el intervalo $[0, 2]$.

Dado que $f'(x) > 0$ en el intervalo $[0, 2]$, la función $f(x)$ es estrictamente creciente en este intervalo.

Por lo tanto, $f(x)$ no puede tener más de una raíz en el intervalo $[0, 2]$ porque es estrictamente creciente en dicho intervalo.

Ejercicio 3

Contexto: Este ejercicio trata sobre geometría en el espacio, específicamente sobre las relaciones entre puntos, planos y vectores. Se debe determinar las condiciones para que un punto esté contenido en un plano y el vector normal del plano sea perpendicular a otro vector dado. También se debe obtener la ecuación de una recta perpendicular al plano que pasa por un punto dado.

a) Condiciones para que A esté en π y el vector normal de π sea perpendicular a u⃗

Para que el punto $A(1, 1, a)$ esté contenido en el plano $\\pi \\equiv bx + y + z = 1$, sus coordenadas deben satisfacer la ecuación del plano:

$b(1) + 1 + a = 1$

$b + a = 0$

El vector normal del plano $\\pi$ es $\\vec{n} = (b, 1, 1)$. Para que este vector sea perpendicular al vector $\\vec{u} = (1, 2, 0)$, su producto escalar debe ser cero:

$\\vec{n} \\cdot \\vec{u} = (b, 1, 1) \\cdot (1, 2, 0) = b + 2 = 0$

De esta ecuación, obtenemos $b = -2$. Sustituyendo este valor en la ecuación $b + a = 0$, obtenemos $a = 2$.

Por lo tanto, los valores que cumplen las condiciones son $a = 2$ y $b = -2$.

b) Ecuación de la recta perpendicular a π que pasa por A

Con los valores $a = 2$ y $b = -2$, el punto A es $A(1, 1, 2)$ y el plano $\\pi$ es $\\pi \\equiv -2x + y + z = 1$. El vector normal del plano, $\\vec{n} = (-2, 1, 1)$, será el vector director de la recta perpendicular a $\\pi$.

La ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto $A(1, 1, 2)$ y tiene como vector director $\\vec{n} = (-2, 1, 1)$ es:

$(x, y, z) = (1, 1, 2) + t(-2, 1, 1)$

Donde $t$ es un parámetro real.

Las ecuaciones paramétricas de la recta son:

$x = 1 - 2t$

$y = 1 + t$

$z = 2 + t$

La ecuación continua de la recta es:

$\\frac{x - 1}{-2} = \\frac{y - 1}{1} = \\frac{z - 2}{1}$

Ejercicio 4

Contexto: Este ejercicio abarca dos áreas de la probabilidad: probabilidad condicional y distribución normal. Se debe calcular la probabilidad de un evento dado, la probabilidad de un evento dado otro evento, y determinar el valor de una variable aleatoria normal dado un porcentaje de probabilidad.

a.1) Probabilidad de una reparación de tipo mecánico

Llamemos $C$ al evento "la reparación se realiza en el polígono Campo" y $L$ al evento "la reparación se realiza en el polígono Llano". Llamemos $M$ al evento "la reparación es de tipo mecánico" y $E$ al evento "la reparación es de tipo eléctrico".

Tenemos las siguientes probabilidades:

$P(C) = 0.3$

$P(L) = 0.7$

$P(M|C) = 0.1$

$P(E|C) = 0.9$

$P(M|L) = 0.3$

$P(E|L) = 0.7$

Queremos calcular $P(M)$, la probabilidad de que una reparación sea de tipo mecánico. Usando el teorema de la probabilidad total:

$P(M) = P(M|C)P(C) + P(M|L)P(L)$

$P(M) = (0.1)(0.3) + (0.3)(0.7) = 0.03 + 0.21 = 0.24$

Por lo tanto, la probabilidad de que se realice una reparación de tipo mecánico es 0.24.

a.2) Probabilidad de que una reparación eléctrica se haya realizado en el polígono Llano

Queremos calcular $P(L|E)$, la probabilidad de que una reparación de tipo eléctrico se haya realizado en el polígono Llano. Usando el teorema de Bayes:

$P(L|E) = \\frac{P(E|L)P(L)}{P(E)}$

Primero, calculamos $P(E)$ usando el teorema de la probabilidad total:

$P(E) = P(E|C)P(C) + P(E|L)P(L)$

$P(E) = (0.9)(0.3) + (0.7)(0.7) = 0.27 + 0.49 = 0.76$

Ahora podemos calcular $P(L|E)$:

$P(L|E) = \\frac{(0.7)(0.7)}{0.76} = \\frac{0.49}{0.76} \\approx 0.6447$

Por lo tanto, la probabilidad de que una reparación de tipo eléctrico se haya realizado en el polígono Llano es aproximadamente 0.6447.

b.1) Probabilidad de completar una vuelta en menos de 1.35 minutos

Sea $X$ la variable aleatoria que representa el tiempo que tarda Fernando Osnola en completar una vuelta al circuito. Sabemos que $X$ sigue una distribución normal con media $\\mu = 1.5$ minutos y desviación típica $\\sigma = 0.15$ minutos.

Queremos calcular $P(X < 1.35)$. Para ello, estandarizamos la variable $X$:

$Z = \\frac{X - \\mu}{\\sigma} = \\frac{1.35 - 1.5}{0.15} = -1$

Donde $Z$ es una variable aleatoria que sigue una distribución normal estándar (media 0 y desviación típica 1).

Entonces, $P(X < 1.35) = P(Z < -1)$. Debido a la simetría de la distribución normal estándar, $P(Z < -1) = P(Z > 1) = 1 - P(Z \\leq 1)$.

Buscando en la tabla de la distribución normal estándar, encontramos que $P(Z \\leq 1) \\approx 0.8413$.

Por lo tanto, $P(X < 1.35) = 1 - 0.8413 = 0.1587$.

La probabilidad de que Fernando Osnola complete una vuelta en menos de 1.35 minutos es aproximadamente 0.1587.

b.2) Tiempo exacto que es mayor que el 85.08% de los tiempos

Queremos encontrar el valor $x$ tal que $P(X > x) = 0.8508$, o equivalentemente, $P(X \\leq x) = 1 - 0.8508 = 0.1492$.

Estandarizando, buscamos el valor $z$ tal que $P(Z \\leq z) = 0.1492$. Buscando en la tabla de la distribución normal estándar, encontramos que el valor más cercano a 0.1492 es 0.1492, que corresponde a $z = -1.04$.

Ahora, despejamos $x$ de la ecuación de estandarización:

$z = \\frac{x - \\mu}{\\sigma}$

$-1.04 = \\frac{x - 1.5}{0.15}$

$x = -1.04(0.15) + 1.5 = -0.156 + 1.5 = 1.344$

Por lo tanto, el tiempo exacto que es mayor que el 85.08% de los tiempos realizados es 1.344 minutos.

Ejercicio 5

Contexto: Este ejercicio abarca dos áreas del cálculo: integración y álgebra matricial. Se debe calcular una integral indefinida usando un cambio de variable y determinar si una matriz tiene inversa y si el producto de dos matrices tiene inversa.

a) Cálculo de la integral

Se nos pide calcular la siguiente integral:

$\\int \\frac{dx}{(1-3x)^{1/2} - (1-3x)^{2/3}}$

Utilizamos el cambio de variable $1 - 3x = t^6$. Entonces, $dx = -2t^5 dt$. Sustituyendo en la integral, obtenemos:

$\\int \\frac{-2t^5 dt}{(t^6)^{1/2} - (t^6)^{2/3}} = \\int \\frac{-2t^5 dt}{t^3 - t^4} = -2 \\int \\frac{t^5 dt}{t^3(1 - t)} = -2 \\int \\frac{t^2 dt}{1 - t}$

Dividimos el numerador entre el denominador usando la división de polinomios:

$\\frac{t^2}{1 - t} = -t - 1 + \\frac{1}{1 - t}$

Sustituyendo en la integral:

$-2 \\int \\frac{t^2 dt}{1 - t} = -2 \\int (-t - 1 + \\frac{1}{1 - t}) dt = -2(-\\frac{t^2}{2} - t - \\ln|1 - t|) + C$

$= t^2 + 2t + 2\\ln|1 - t| + C$

Finalmente, deshacemos el cambio de variable $t = (1 - 3x)^{1/6}$:

$((1 - 3x)^{1/6})^2 + 2(1 - 3x)^{1/6} + 2\\ln|1 - (1 - 3x)^{1/6}| + C$

$= (1 - 3x)^{1/3} + 2(1 - 3x)^{1/6} + 2\\ln|1 - (1 - 3x)^{1/6}| + C$

Por lo tanto, la integral es:

$\\int \\frac{dx}{(1-3x)^{1/2} - (1-3x)^{2/3}} = (1 - 3x)^{1/3} + 2(1 - 3x)^{1/6} + 2\\ln|1 - (1 - 3x)^{1/6}| + C$

b) Existencia de A⁻¹ y discusión de la inversa de A⁻¹ ⋅ B

Para determinar si $A^{-1}$ existe, calculamos el determinante de A:

|A| = \\begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 2 & 0 & 0 \\end{vmatrix} = 1 \\begin{vmatrix} 1 & 0 \\\\ 0 & 0 \\end{vmatrix} - 0 \\begin{vmatrix} 0 & 0 \\\\ 2 & 0 \\end{vmatrix} + 1 \\begin{vmatrix} 0 & 1 \\\\ 2 & 0 \\end{vmatrix} = 1(0) - 0(0) + 1(-2) = -2

Como $|A| = -2 \\neq 0$, la matriz A es invertible, y por lo tanto, $A^{-1}$ existe.

Para determinar si la matriz $A^{-1} \\cdot B$ tiene inversa, debemos determinar si su determinante es distinto de cero. Sabemos que:

$|A^{-1} \\cdot B| = |A^{-1}| \\cdot |B|$

Y que:

$|A^{-1}| = \\frac{1}{|A|}$

Calculamos el determinante de B:

|B| = \\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 2 & 1 & 1 \\end{vmatrix} = 1 \\begin{vmatrix} 0 & 0 \\\\ 1 & 1 \\end{vmatrix} - 0 \\begin{vmatrix} 0 & 0 \\\\ 2 & 1 \\end{vmatrix} + 0 \\begin{vmatrix} 0 & 0 \\\\ 2 & 1 \\end{vmatrix} = 1(0) - 0(0) + 0(0) = 0

Como $|B| = 0$, entonces $|A^{-1} \\cdot B| = |A^{-1}| \\cdot |B| = \\frac{1}{|A|} \\cdot 0 = 0$.

Como el determinante de $A^{-1} \\cdot B$ es cero, la matriz $A^{-1} \\cdot B$ no tiene inversa.

Ejercicio 6

Contexto: Este ejercicio trata sobre límites y geometría en el espacio. Se debe calcular un límite con una indeterminación y encontrar la ecuación de una recta que pasa por un punto y cuyo vector director es perpendicular a dos vectores dados.

a) Cálculo del límite

Se nos pide calcular el siguiente límite:

$\\lim_{x \\to +\\infty} \\left(\\frac{5x + 1}{5x}\\right)^{x^2}$

Este límite presenta una indeterminación del tipo 1^\\infty. Para resolverlo, aplicamos la siguiente propiedad de los límites:

$\\lim_{x \\to a} f(x)^{g(x)} = e^{\\lim_{x \\to a} g(x)(f(x) - 1)}$

En nuestro caso, $f(x) = \\frac{5x + 1}{5x}$ y $g(x) = x^2$. Entonces:

$\\lim_{x \\to +\\infty} x^2 \\left(\\frac{5x + 1}{5x} - 1\\right) = \\lim_{x \\to +\\infty} x^2 \\left(\\frac{5x + 1 - 5x}{5x}\\right) = \\lim_{x \\to +\\infty} x^2 \\left(\\frac{1}{5x}\\right) = \\lim_{x \\to +\\infty} \\frac{x}{5} = +\\infty$

Por lo tanto:

$\\lim_{x \\to +\\infty} \\left(\\frac{5x + 1}{5x}\\right)^{x^2} = e^{+\\infty} = +\\infty$

El límite es igual a $+\\infty$.

b) Ecuación de la recta

Se nos pide encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto $A(2, 1, 3)$ y cuyo vector director es perpendicular a los vectores $\\vec{u} = (2, 2, 0)$ y $\\vec{v} = (0, 0, -1)$.

El vector director de la recta será el producto vectorial de $\\vec{u}$ y $\\vec{v}$:

\\vec{d} = \\vec{u} \\times \\vec{v} = \\begin{vmatrix} \\hat{i} & \\hat{j} & \\hat{k} \\\\ 2 & 2 & 0 \\\\ 0 & 0 & -1 \\end{vmatrix} = (-2 - 0)\\hat{i} - (-2 - 0)\\hat{j} + (0 - 0)\\hat{k} = -2\\hat{i} + 2\\hat{j} = (-2, 2, 0)

La ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto $A(2, 1, 3)$ y tiene como vector director $\\vec{d} = (-2, 2, 0)$ es:

$(x, y, z) = (2, 1, 3) + t(-2, 2, 0)$

Donde $t$ es un parámetro real.

Las ecuaciones paramétricas de la recta son:

$x = 2 - 2t$

$y = 1 + 2t$

$z = 3$

La ecuación continua de la recta es:

$\\frac{x - 2}{-2} = \\frac{y - 1}{2}, z = 3$

Ejercicio 7

Contexto: Este ejercicio trata sobre cálculo diferencial y probabilidad. Se debe obtener los máximos y mínimos relativos de una función y calcular la probabilidad de un evento en un experimento de extracción de bolas sin reemplazo.

a) Máximos y mínimos relativos de f(x)

Se nos da la función $f(x) = x^3 + 3x^2 + x + 3$. Para encontrar sus máximos y mínimos relativos, primero encontramos su derivada:

$f'(x) = 3x^2 + 6x + 1$

Luego, igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos:

$3x^2 + 6x + 1 = 0$

Resolvemos esta ecuación cuadrática usando la fórmula general:

$x = \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \\frac{-6 \\pm \\sqrt{6^2 - 4 \\cdot 3 \\cdot 1}}{2 \\cdot 3} = \\frac{-6 \\pm \\sqrt{36 - 12}}{6} = \\frac{-6 \\pm \\sqrt{24}}{6} = -1 \\pm \\frac{\\sqrt{6}}{3}$

Los puntos críticos son $x_1 = -1 - \\frac{\\sqrt{6}}{3} \\approx -1.816$ y $x_2 = -1 + \\frac{\\sqrt{6}}{3} \\approx -0.184$.

Para determinar si estos puntos son máximos o mínimos, utilizamos el criterio de la segunda derivada:

$f''(x) = 6x + 6$

Evaluamos la segunda derivada en cada punto crítico:

$f''(-1 - \\frac{\\sqrt{6}}{3}) = 6(-1 - \\frac{\\sqrt{6}}{3}) + 6 = -2\\sqrt{6} < 0$

$f''(-1 + \\frac{\\sqrt{6}}{3}) = 6(-1 + \\frac{\\sqrt{6}}{3}) + 6 = 2\\sqrt{6} > 0$

Como $f''(-1 - \\frac{\\sqrt{6}}{3}) < 0$, hay un máximo relativo en $x = -1 - \\frac{\\sqrt{6}}{3}$.

Como $f''(-1 + \\frac{\\sqrt{6}}{3}) > 0$, hay un mínimo relativo en $x = -1 + \\frac{\\sqrt{6}}{3}$.

b.1) Probabilidad de obtener una puntuación de 3

Hay cuatro bolas numeradas del 1 al 4. Se extraen dos bolas sin reemplazamiento. La puntuación es la suma de los valores de las bolas extraídas.

El espacio muestral tiene $\\binom{4}{2} = 6$ posibles resultados: $(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)$.

Los casos favorables para obtener una puntuación de 3 son solo uno: $(1,2)$.

Por lo tanto, la probabilidad de obtener una puntuación de 3 es $\\frac{1}{6}$.

b.2) Probabilidad de obtener una puntuación mayor de 3

Los casos favorables para obtener una puntuación mayor de 3 son: $(1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)$. Hay 5 casos favorables.

Por lo tanto, la probabilidad de obtener una puntuación mayor de 3 es $\\frac{5}{6}$.

Ejercicio 8

Contexto: Este ejercicio trata sobre álgebra lineal y geometría en el espacio. Se debe calcular el rango de una matriz y determinar la posición relativa de una recta y un plano.

a) Cálculo del rango de A

Se nos da la matriz:

A = \\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 1 & 2 \\\\ 2 & 1 & 0 \\end{pmatrix}

Para calcular el rango de A, podemos usar el método de Gauss o calcular su determinante.

Calculamos el determinante de A:

|A| = \\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 1 & 2 \\\\ 2 & 1 & 0 \\end{vmatrix} = 1 \\begin{vmatrix} 1 & 2 \\\\ 1 & 0 \\end{vmatrix} - 1 \\begin{vmatrix} 0 & 2 \\\\ 2 & 0 \\end{vmatrix} + 1 \\begin{vmatrix} 0 & 1 \\\\ 2 & 1 \\end{vmatrix} = 1(-2) - 1(-4) + 1(-2) = -2 + 4 - 2 = 0

Como el determinante de A es 0, el rango de A no es 3.

Ahora, buscamos un menor de orden 2 que sea distinto de cero. Por ejemplo, el menor formado por las dos primeras filas y las dos primeras columnas:

\\begin{vmatrix} 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\end{vmatrix} = 1 \\neq 0

Como hay un menor de orden 2 distinto de cero, el rango de A es 2.

Por lo tanto, el rango de A es 2.

b) Posición relativa de la recta r y el plano π₃

La recta r está definida por la intersección de los planos:

$\\pi_1 \\equiv x + y + z = 1$

$\\pi_2 \\equiv y + 2z = 1$

El plano $\\pi_3$ es:

$\\pi_3 \\equiv 2x + y = 1$

Para determinar la posición relativa de la recta r y el plano $\\pi_3$, podemos resolver el sistema de ecuaciones formado por los tres planos. Si el sistema tiene solución única, la recta corta al plano en un punto. Si el sistema tiene infinitas soluciones, la recta está contenida en el plano. Si el sistema no tiene solución, la recta es paralela al plano.

Observemos que las ecuaciones de los tres planos son las mismas que las filas de la matriz A del apartado anterior, igualadas a los términos independientes de cada plano. Por lo tanto, el sistema de ecuaciones se puede escribir en forma matricial como:

\\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 1 & 2 \\\\ 2 & 1 & 0 \\end{pmatrix} \\begin{pmatrix} x \\\\ y \\\\ z \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 1 \\\\ 1 \\\\ 1 \\end{pmatrix}

Como el rango de la matriz A es 2, y el rango de la matriz ampliada también es 2 (ya que la columna de términos independientes no es linealmente independiente de las columnas de A), el sistema tiene infinitas soluciones.

Por lo tanto, la recta r está contenida en el plano π₃.