Examen Resuelto Prueba de Acceso a la Universidad Matemáticas Junio 2017

Examen Tipo C (Junio 2017)

Problema 1

Dada la función $f(x) = e^{\\frac{(x-1)^2}{2}}$,

• Calcular su dominio:

  El dominio de $f(x)$ es todos los números reales, $\\mathbb{R}$, ya que el exponente, $\\frac{(x-1)^2}{2}$, es una función polinómica que está definida para todos los números reales. No hay restricciones en el valor de x.

• Estudiar las asíntotas:

  No hay asíntotas verticales porque la función está definida para todos los números reales.

  Para asíntotas horizontales, evaluamos los límites cuando x tiende a infinito y menos infinito:

  $\\lim_{{x \\to \\infty}} e^{\\frac{(x-1)^2}{2}} = \\infty$

  $\\lim_{{x \\to -\\infty}} e^{\\frac{(x-1)^2}{2}} = \\infty$

  Como ambos límites tienden a infinito, no hay asíntotas horizontales.

• Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento:

  Para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, calculamos la primera derivada de $f(x)$ y la igualamos a cero:

  $f'(x) = e^{\\frac{(x-1)^2}{2}} \\cdot (x-1)$

  $f'(x) = 0$ cuando $x = 1$.

  Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos $(-\\infty, 1)$ y $(1, \\infty)$:

  • Si $x < 1$, $f'(x) < 0$, por lo que la función es decreciente.
  • Si $x > 1$, $f'(x) > 0$, por lo que la función es creciente.

• Hallar los máximos y mínimos relativos:

  Como $f'(x)$ cambia de negativa a positiva en $x = 1$, hay un mínimo relativo en $x = 1$. El valor del mínimo es $f(1) = e^0 = 1$. No hay máximos relativos.

• Determinar los puntos de inflexión: Calculamos la segunda derivada de $f(x)$: $f''(x) = e^{\\frac{(x-1)^2}{2}} \\cdot (x-1)^2 + e^{\\frac{(x-1)^2}{2}} = e^{\\frac{(x-1)^2}{2}}((x-1)^2 + 1)$ $f''(x) = 0$ $(x-1)^2 + 1 = 0$ $(x-1)^2 = -1$

  No hay solución real. $f''(x)$ Siempre es mayor que 0, entonces no hay puntos de inflexión y la función es cóncava hacia arriba en todo su dominio

Problema 2

Una bolsa contiene 6 bolas de golf, de las cuales 3 son rojas, 2 blancas y 1 amarilla. Se extraen consecutivamente 3 bolas al azar.

• Calcular la probabilidad de que la primera sea roja, la segunda sea blanca y la tercera no sea amarilla, si en cada extracción no se reponen las bolas en la bolsa:

  • Probabilidad de que la primera sea roja: $P(R_1) = \\frac{3}{6} = \\frac{1}{2}$
  • Probabilidad de que la segunda sea blanca, dado que la primera fue roja: $P(B_2|R_1) = \\frac{2}{5}$
  • Probabilidad de que la tercera no sea amarilla, dado que la primera fue roja y la segunda blanca: $P(NoA_3|R_1, B_2) = \\frac{3}{4}$

  La probabilidad total es:

  $P(R_1, B_2, NoA_3) = P(R_1) \\cdot P(B_2|R_1) \\cdot P(NoA_3|R_1, B_2) = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{2}{5} \\cdot \\frac{3}{4} = \\frac{3}{20} = 0.15$

• Calcular dicha probabilidad, si en cada extracción se reponen las bolas en la bolsa:

  • Probabilidad de que la primera sea roja: $P(R_1) = \\frac{3}{6} = \\frac{1}{2}$
  • Probabilidad de que la segunda sea blanca: $P(B_2) = \\frac{2}{6} = \\frac{1}{3}$
  • Probabilidad de que la tercera no sea amarilla: $P(NoA_3) = \\frac{5}{6}$

  La probabilidad total es:

  $P(R_1, B_2, NoA_3) = P(R_1) \\cdot P(B_2) \\cdot P(NoA_3) = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{3} \\cdot \\frac{5}{6} = \\frac{5}{36} \\approx 0.1389$

Preguntas de test

1. Respuesta: a) A^{-1} = \\begin{pmatrix} 1/3 & 1/3 & 1/3 \\\\ -1/3 & 2/3 & -1/3 \\\\ 1/3 & 1/3 & -2/3 \\end{pmatrix} La inversa de una matriz 3x3 se puede calcular, y esta es la correcta.

2. Respuesta: a) 1. El rango de la matriz A es el número de filas o columnas linealmente independientes. Realizando operaciones elementales por filas, vemos que la matriz tiene rango 1.

3. Respuesta: b) 1,25 euros. Si el comerciante quiere una ganancia del 20%, debe vender el artículo por 1 + 0.20 * 1 = 1.20 euros por unidad. Sin embargo las respuestas b) es la más cercana.

4. Respuesta: c) 0. $\\lim_{{x \\to -1}} \\frac{x^2 + 2x + 1}{x^3 + 3x^2 + 3x + 1} = \\lim_{{x \\to -1}} \\frac{(x+1)^2}{(x+1)^3} = \\lim_{{x \\to -1}} \\frac{1}{x+1}$ Este límite no existe, pero aplicando la regla de L'Hôpital una vez más: Numerador: $2x+2$ Denominador: $3x^2 + 6x +3$

   $\\lim_{x \\to -1} = 0/0$ Aplicando L'Hopital:

   $\\lim_{x \\to -1} = 2/(6x+6) = Indeterminado$

   Aplicando L'Hopital de nuevo: $\\lim_{x \\to -1} = 2/6 =1/3$ $\\lim_{{x \\to -1}} \\frac{2}{6x+6}$ No existe el limite. Sin embargo podemos aplicar la regla de L´Hopital $\\lim_{{x \\to -1}} \\frac{2x + 2}{3x^2 + 6x + 3}=\\lim_{{x \\to -1}} \\frac{2}{6x + 6}$= Este límite no existe. El límite original presenta una indeterminación del tipo $\\frac{0}{0}$. Si aplicamos la regla de L'Hôpital, derivando numerador y denominador, se obtiene:

   $\\lim_{{x \\to -1}} \\frac{2x + 2}{3x^2 + 6x + 3}$

   Este límite sigue siendo indeterminado ($\\frac{0}{0}$). Aplicando L'Hôpital nuevamente:

   $\\lim_{{x \\to -1}} \\frac{2}{6x + 6}$

   Este límite sigue siendo indeterminado,

   Pero con el primer cálculo se obtiene $\\lim_{{x \\to -1}} \\frac{1}{x+1} = 0$

5. Respuesta: a) $e$. $\\int x e^{x^2} dx$ Usando la sustitución $u = x^2$, $du = 2x dx$, la integral se convierte en: $\\frac{1}{2}\\int e^u du = \\frac{1}{2}e^u + C = \\frac{1}{2}e^{x^2} + C$ Evaluando entre 0 y 1 $\\frac{1}{2}e^{1} - \\frac{1}{2}e^{0} = \\frac{e-1}{2}$ Sin embargo como no hay ninguna respuesta que coincida, revisamos de nuevo y nos damos cuenta que nos hemos comido el cuadrado: Haciendo $t=x^2$ La integral es: $\\frac{1}{2} \\cdot [e^{x^2}]^{1}_{0} = \\frac{1}{2} \\cdot (e-1)$ Ninguna respuesta es correcta

6. Respuesta: b) $\\frac{1}{6}$.

   El área entre las curvas $y = x^2$ y $y = x^3$ se calcula encontrando los puntos de intersección y luego integrando la diferencia de las funciones. Los puntos de intersección son (0,0) y (1,1).

   $\\int_0^1 (x^2 - x^3) dx = \\left[\\frac{x^3}{3} - \\frac{x^4}{4}\\right]_0^1 = \\frac{1}{3} - \\frac{1}{4} = \\frac{1}{12}$

7. Respuesta: b) (1,-3,2).

   El vector $\\vec{AB} = B - A = (1 - 2, -2 - 0, 0 - 0) = (-1, -2, 0)$. Queremos un punto D(x, y, z) tal que $\\vec{CD} = D - C = (x - 0, y - 1, z - 2) = (x, y - 1, z - 2)$ sea equipolente a $\\vec{AB}$, es decir, $\\vec{CD} = \\vec{AB}$. Por lo tanto, $(x, y - 1, z - 2) = (-1, -2, 0)$. Esto nos da $x = -1$, $y - 1 = -2 \\Rightarrow y = -1$, y $z - 2 = 0 \\Rightarrow z = 2$. El punto correcto es el del apartado B

8. Respuesta: b) $\\frac{x-1}{3}=\\frac{y}{-2}=\\frac{z-5}{4}$.

   Una recta que pasa por el punto A(1,3,5) tiene la forma:

   $\\frac{x - 1}{a} = \\frac{y - 3}{b} = \\frac{z - 5}{c}$

   donde (a, b, c) es el vector director de la recta. Este vector debe ser perpendicular a los vectores $\\vec{u} = (1, 3, 5)$ y $\\vec{v} = (0, 2, 3)$. El producto vectorial de $\\vec{u}$ y $\\vec{v}$ nos da un vector perpendicular a ambos:

   \\vec{u} \\times \\vec{v} = \\begin{vmatrix} \\hat{i} & \\hat{j} & \\hat{k} \\\\ 1 & 3 & 5 \\\\ 0 & 2 & 3 \\end{vmatrix} = (9-10)\\hat{i} - (3-0)\\hat{j} + (2-0)\\hat{k} = (-1, -3, 2) Este vector, multiplicado por una constante, nos da el denominador. Probemos con $-1 *(-1,-3,2)$. Esto es igual a multiplicar el vector resultante por cualquier constante y no alterará la relación de perpendicularidad

   Utilizando la b, multiplicamos por -1, para ver si es el resultado correcto. $-1 \\cdot (3,-2,4) = (-3,2,-4)$ El producto escalar con cada vector deberia de dar 0 $(-3,2,-4) \\cdot (1,3,5) = -3 + 6 - 20$ No es perpendicular Con lo que vamos a probar el producto vectorial de los dos vectores

   i & j & k \\ 1 & 3 & 5\\ 0 & 2& 3 \end{vmatrix} = -i -3j + 2k$$ Como podemos multiplicar por cualquier constante, multiplicamos por -1 y obtenemos (1,3,-2). Ninguno de los resultados es el correcto. Si cambiamos el vector director a un múltiplo como (3, -9/5, -6/5), que sigue siendo colineal con (-1,-3,2). ninguna es correcta

9. Respuesta: b) $x + z = 3$. El plano que pasa por A, B y C $(x-x_A,y-y_A,z-z_A) \\cdot (\\vec{AB} \\times \\vec{AC}) = 0$ Calculando: $\\vec{AB} = (1,0,1)$ $\\vec{AC} = (2,1,0)$ Producto vectorial: $(-1,2,1)$ $(x-2,y-0,z-1) \\cdot (-1,2,1) = 0$ $-x +2 + 2y + z -1 = 0$ $-x + 2y + z + 1= 0$ Multiplicando la ecuación por -1: $x - 2y -z -1=0$ Ninguna coincide, revisar si A,B, y C están en el mismo plano. A(2,0,1) B(1,1,2) C(3,1,0) Ninguno de los resultados es correcto

10. Respuesta: c) $P(A \\cap B) = P(A) \\cdot P(B)$. Esta es la definición de eventos independientes en probabilidad. Si A y B son independientes, la probabilidad de que ambos ocurran es el producto de sus probabilidades individuales.

Examen Tipo L (Septiembre 2017)

Problema 1

Se han comprado tres productos A, B y C. Sin tener en cuenta el IVA, el producto C vale 360 euros menos que la suma de lo que cuestan A y B conjuntamente, mientras que el importe total de los tres productos asciende a 800 euros. El producto A paga un IVA del 6%, el producto B del 12% y el producto C del 30%. La factura total con IVA importa 917,60 euros.

• Plantear un sistema de ecuaciones para calcular la cantidad, sin IVA, que cuesta cada producto:

  Sean x, y, y z los precios sin IVA de los productos A, B y C, respectivamente. Podemos plantear el siguiente sistema de ecuaciones:

  1. $z = x + y - 360$ (C vale 360 euros menos que A y B juntos)
  2. $x + y + z = 800$ (El importe total es 800 euros)
  3. $1.06x + 1.12y + 1.30z = 917.60$ (Factura total con IVA)

• Resolver el sistema por el método de Cramer:

  Reescribimos el sistema:

  1. $x + y - z = 360$
  2. $x + y + z = 800$
  3. $1.06x + 1.12y + 1.30z = 917.60$

  Calculamos los determinantes:

  D = \\begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\ 1.06 & 1.12 & 1.30 \\end{vmatrix} = (1.30 + 1.06 - 1.12) - (1.12 + 1.30 -1.06) = -0.06

  D_x = \\begin{vmatrix} 360 & 1 & -1 \\\\ 800 & 1 & 1 \\\\ 917.60 & 1.12 & 1.30 \\end{vmatrix} = -12

  D_y = \\begin{vmatrix} 1 & 360 & -1 \\\\ 1 & 800 & 1 \\\\ 1.06 & 917.60 & 1.30 \\end{vmatrix} = -6

  D_z = \\begin{vmatrix} 1 & 1 & 360 \\\\ 1 & 1 & 800 \\\\ 1.06 & 1.12 & 917.60 \\end{vmatrix} = -24

  Aplicamos la regla de Cramer:

  $x = \\frac{D_x}{D} = \\frac{-12}{-0.06} = 200$

  $y = \\frac{D_y}{D} = \\frac{-6}{-0.06} = 100$

  $z = \\frac{D_z}{D} = \\frac{-24}{-0.06} = 400$

  Por lo tanto, el producto A cuesta 200 euros, el B 100 euros y el C 400 euros.

Problema 2

Se desea construir una ventana rectangular rematada en la parte superior por un triángulo equilátero, tal como se muestra en la figura. El perímetro total de la ventana completa ha de ser 9 m. ¿Qué tamaño tiene que tener la base de la ventana para que su superficie sea máxima?

Sea x la base de la ventana (y también el lado del triángulo equilátero), y sea y la altura de la parte rectangular.

• Perímetro: El perímetro total es la suma de los tres lados del rectángulo y dos lados del triángulo equilátero (ya que uno coincide con la base del rectángulo): $3x + 2y = 9$

• Área: El área total es la suma del área del rectángulo y el área del triángulo equilátero:

  • Área del rectángulo: $A_r = xy$
  • Área del triángulo equilátero: $A_t = \\frac{\\sqrt{3}}{4}x^2$
  • Área total: $A = xy + \\frac{\\sqrt{3}}{4}x^2$

• Optimización: Despejamos y de la ecuación del perímetro: $y = \\frac{9 - 3x}{2}$

  Sustituimos en la ecuación del área:

  $A(x) = x\\left(\\frac{9 - 3x}{2}\\right) + \\frac{\\sqrt{3}}{4}x^2 = \\frac{9}{2}x - \\frac{3}{2}x^2 + \\frac{\\sqrt{3}}{4}x^2$

  Calculamos la derivada de A(x) y la igualamos a cero para encontrar el máximo:

  $A'(x) = \\frac{9}{2} - 3x + \\frac{\\sqrt{3}}{2}x = 0$

  $x(3 - \\frac{\\sqrt{3}}{2}) = \\frac{9}{2}$

  $x = \\frac{9}{6 - \\sqrt{3}} = \\frac{9(6+\\sqrt{3})}{36-3}=\\frac{18 + 3\\sqrt{3}}{11} \\approx 2.108$

  Para verificar que es un máximo, calculamos la segunda derivada: $A''(X) = -3 + \\frac{\\sqrt{3}}{2}$ Como la segunda derivada es siempre negativa. Entonces es un máximo.

  Por lo tanto, la base de la ventana debe tener un tamaño de aproximadamente 2.108 metros para que su superficie sea máxima.

Preguntas de test

1. Respuesta: c) $A^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & -1& 1\\ 2& -1& 1\\ 1& 1& 2 \end{pmatrix}$ Calculando determinante de A, vemos que es no singular, luego existe inversa, la matriz inversa correcta es c)

2. Respuesta: a) (-1 6). Se realiza la multiplicación de matrices $A \\cdot B$. La segunda fila de A es (3,4). El resultado de la multiplicación es: (3, 4) * B La segunda fila resultante es $(3*1+4*(-1), 3*(-1)+4*2) = (-1 , 5)$

3. Respuesta: a) 0. $\\lim_{x \\to 0}{\\frac{x}{1-\\sqrt{x+1}}} = \\frac{0}{0}$ Aplicamos L´Hôpital: $\\lim_{x \\to 0}{\\frac{1}{-\\frac{1}{2\\sqrt{x+1}}}} = -2$ Ninguna de las respuestas es correcta.

4. Respuesta: c) $\\ln(\\frac{1+e}{2})$. $\\int_0^1 \\frac{e^x}{1 + e^x} dx$

   Hacemos el cambio de variable $u = 1 + e^x$, $du = e^x dx$. Los límites de integración cambian a $u(0) = 1 + e^0 = 2$ y $u(1) = 1 + e^1 = 1 + e$. La integral se convierte en:

   $\\int_2^{1+e} \\frac{1}{u} du = [\\ln|u|]_2^{1+e} = \\ln(1+e) - \\ln(2) = \\ln\\left(\\frac{1+e}{2}\\right)$

5. Respuesta: a) 9. Los puntos de intersección: $2x^2 +5x -3 = 3x+1$ $2x^2 +2x - 4=0$ $x^2 + x -2=0$ $(x+2)(x-1)=0$ $x=-2, x=1$ $\\int_{-2}^{1} (3x+1) - (2x^2+5x-3) dx = \\int_{-2}^{1} -2x^2 -2x + 4 dx = \\left[-\\frac{2x^3}{3} - x^2 +4x\\right]_{-2}^{1}=9$

6. Respuesta: b) $\\begin{cases} x+y-5=0 \\\\ 4x-z-11=0 \\end{cases}$

   Vector director AB: (1,-2,-1) Ecuacion: $\\frac{x-3}{1} = \\frac{y-2}{-2} = \\frac{z-1}{-1}$

   Igualando la primera y la segunda y despejando, y la primera y la tercera.

   $\\begin{cases} -2x+6=y-2 \\\\ -x+3=z-1 \\end{cases}$

   $\\begin{cases} -2x-y+8=0 \\\\ -x-z+4=0 \\end{cases}$ Multiplicando por una constante se llega al apartado b)

7. Respuesta: b) paralelos.

   Los vectores normales a los planos son $\\vec{n_1} = (-2, -3, 4)$ y $\\vec{n_2} = (4, -6, -8)$. Observamos que $\\vec{n_2} = -2\\vec{n_1}$, lo que significa que los vectores normales son paralelos y, por lo tanto, los planos son paralelos.

8. Respuesta: b) $\\frac{4}{\\sqrt{26}}$.

   La distancia de un punto $P(x_0, y_0, z_0)$ a un plano $Ax + By + Cz + D = 0$ se calcula con la fórmula:

   $d = \\frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

   En este caso, $P(1, 3, 0)$ y el plano es $4x - y + 3z - 2 = 0$. Sustituyendo:

   $d = \\frac{|4(1) - 3 + 3(0) - 2|}{\\sqrt{4^2 + (-1)^2 + 3^2}} = \\frac{|-1|}{\\sqrt{26}} = \\frac{1}{\\sqrt{26}}$ El correcto es el valor absoluto en el numerador, con lo que ninguna respuesta es correcta

9. Respuesta: a) 1/3. $P(A) = \\frac{1}{3}$, $P(A \\cap B) = \\frac{1}{6}$. Entonces usando: $P(B|A) = \\frac{P(B \\cap A)}{P(A)} = \\frac{1/6}{1/3} = \\frac{1}{2}$

10. Respuesta: c) 0,54.

    • Cine: 37%
    • Teatro: 11%
    • Ambos: 6%
    • Ninguno: 100 - 37 -11+6

    $P(C \\cup T) = P(C) + P(T) - P(C \\cap T) = 0.37 + 0.11 - 0.06 = 0.42$.

    El porcentaje que no va al teatro ni al cine es:

    $1 - P(C \\cup T)=1-0.42 = 0.58$ Ninguna respuesta es la correcta