Examen Resuelto UNED Prueba de Competencia Específica Matemáticas 2020/21

Ejercicio 1

La respuesta correcta es la (A). Calculamos el determinante:

$$p(x) = \begin{vmatrix} x^2 & x^2 & 1 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x \end{vmatrix} = x^4 - x^2 - x^2 +1 + x^2 -x^3 - (x -x^2) = -x^3+x^4+2x^2-x+1$$

El polinomio resultante es de grado 4. Si evaluamos el polinomio, por ejemplo en $x = 1$

$p(1) = 1-1+1-2+1=0$

Por lo tanto, existe un valor a>0 tal que p(a) = 0

Ejercicio 2

La respuesta correcta es la (A).

Calculamos $B = A^4$

$$A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$ $$A^4 = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 0 & 8 \\ 0 & 1 & 0 \\ 8 & 0 & 8 \end{pmatrix}$$

$b_{3,1} = 8$ que es un número par.

Ejercicio 3

La respuesta correcta es la (B). Resolvemos el sistema de ecuaciones:

$$\begin{cases} \frac{1}{2}x + \frac{1}{3}z = 1 \\ 3x - y + z = 2 \\ \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}y + z = 3 \end{cases}$$

Multiplicamos la primera ecuación por 6 y la tercera por 2 para eliminar denominadores:

$$\begin{cases} 3x + 2z = 6 \\ 3x - y + z = 2 \\ x + y + 2z = 6 \end{cases}$$

Sumamos la segunda y tercera ecuaciones:

$4x + 3z = 8$

Ahora, resolvemos el sistema formado por la primera ecuación multiplicada por -2 y esta última ecuación:

$$\begin{cases} -6x -4z = -12 \\ 4x+3z = 8 \end{cases}$$

Multiplicamos la primera por 3, y la segunda por 4

$$\begin{cases} -18x -12z = -36 \\ 16x+12z = 32 \end{cases}$$

Sumamos las dos ecuaciones $-2x=-4; x=2$ Sustituimos $x$ en $4x + 3z = 8$ $8+3z=8; z=0$ Y, por último, sustituimos los valores de $x$ y $z$ en la ecuación $x + y + 2z = 6$ $2+y+0=6; y=4$ La solución es $x=2, y=4, z=0$. Se cumple que $y > x + z$.

Ejercicio 4

La respuesta correcta es la (B).

Calculamos los puntos del rombo. Sabemos que las diagonales de un rombo se bisecan, es decir, se cortan en su punto medio. Por lo tanto, el punto medio de la diagonal AC es el mismo que el punto medio de la diagonal BD.

Punto medio de AC: $M = \\left(\\frac{3+3}{2}, \\frac{2+8}{2}, \\frac{1+3}{2}\\right) = (3, 5, 2)$

Punto medio de BD: $M = \\left(\\frac{4+a}{2}, \\frac{5+b}{2}, \\frac{2+c}{2}\\right)$

Igualando las coordenadas:

$$\begin{cases} \frac{4+a}{2} = 3 \\ \frac{5+b}{2} = 5 \\ \frac{2+c}{2} = 2 \end{cases}$$

Resolviendo el sistema:

$$\begin{cases} 4+a = 6 \\ 5+b = 10 \\ 2+c = 4 \end{cases}$$

$a=2, b=5, c=2$ Se cumple b>c

Ejercicio 5

La respuesta correcta es la (C).

Primero, encontramos la ecuación de la recta s: Vector director de la recta: $\\vec{AB} = (1-0, 0-1, 2-1) = (1, -1, 1)$ Ecuación de la recta s:

$$\frac{x-0}{1} = \frac{y-1}{-1} = \frac{z-1}{1} = \lambda$$

En forma paramétrica:

$$\begin{cases} x= \lambda \\ y = 1 - \lambda \\ z = 1 + \lambda \end{cases}$$

Calculamos un vector que parte de un punto genérico de la recta $s$, $P(\\lambda, 1-\\lambda, 1+\\lambda)$, al punto $Q = (0,3,0)$:

$$\vec{PQ} = (0-\lambda, 3-(1-\lambda), 0-(1+\lambda)) = (-\lambda, 2+\lambda, -1-\lambda)$$

Para que la distancia sea mínima, el producto escalar de $\\vec{PQ}$ y el vector director de la recta $s$ debe ser 0.

$$\vec{PQ} \cdot \vec{AB} = (-\lambda, 2+\lambda, -1-\lambda) \cdot (1, -1, 1) = -\lambda -2 - \lambda -1 - \lambda = -3\lambda - 3 = 0$$

$\\lambda=-1$ Por lo tanto, el punto de la recta $s$ más cercano a $Q$ es:

$P=(-1, 2, 0)$

La distancia es: $d = |\\vec{PQ}| = |(1, 1, -1)| = \\sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \\sqrt{3} \\approx 1.73$

$1 < d < 2$

Ejercicio 6

La respuesta correcta es la (A).

Encontramos la ecuación del plano π. Para ello, calculamos dos vectores en el plano: $\\vec{AB} = (1-0, 0-1, 2-1) = (1, -1, 1)$ $\\vec{AC} = (1-0, 3-1, 1-1) = (1, 2, 0)$ El vector normal al plano es el producto vectorial de estos dos vectores:

$$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \end{vmatrix} = (-2, 1, 3)$$

La ecuación del plano es de la forma $-2x + y + 3z + D = 0$. Sustituimos las coordenadas de A (0,1,1)

$-2(0) + 1 + 3(1) + D = 0 \\Rightarrow D = -4$ El plano es $-2x + y + 3z - 4 = 0$ o $2x - y - 3z + 4 = 0$.

Comprobamos cual de los planos dados es perpendicular. Dos planos son perpendiculares si sus vectores normales son perpendiculares, es decir, si su producto escalar es 0.

Vector normal del plano dado en (A): $(2, 1, 1)$ Producto escalar: $(2, 1, 1) \\cdot (-2, 1, 3) = -4 + 1 + 3 = 0$

Por lo tanto el plano dado en (A) si es perpendicular a π

Ejercicio 7

La respuesta correcta es la (A).

Calculamos los vectores directores de las rectas:

$\\vec{AB} = (1-0, 0-1, 2-1) = (1, -1, 1)$ $\\vec{CD} = (1-1, -2-0, 0-1) = (0, -2, -1)$ Calculamos el producto mixto, para ver si las rectas se cruzan o se cortan. Para que se corten tiene que ser cero.

$$[\vec{AB}, \vec{CD}, \vec{AC}] = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & -2 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \end{vmatrix} = 1 - 2 - 1 = -2$$

$\vec{AC} = (1, -1, 0)$

Como el producto mixto no es cero, las rectas se cruzan.

Ejercicio 8

La respuesta correcta es la (C).

Analizamos el límite de la función cuando x tiende a infinito:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 3x + 2}{\sqrt[3]{x^6 + 3}} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2(1 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2})}{x^2\sqrt[3]{1 + \frac{3}{x^6}}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}}{\sqrt[3]{1 + \frac{3}{x^6}}} = 1$$

Analizamos el límite de la función cuando x tiende a menos infinito:

$$\lim_{x \to -\infty} \frac{x^2 + 3x + 2}{\sqrt[3]{x^6 + 3}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2(1 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2})}{x^2\sqrt[3]{1 + \frac{3}{x^6}}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}}{\sqrt[3]{1 + \frac{3}{x^6}}} = 1$$

La recta $y=1$ es una asíntota horizontal.

Ejercicio 9

La respuesta correcta es la (A). La función es $f(x) = \\cos\\left(\\frac{1}{\\sqrt{x}+1}\\right)$.

Calculamos la primera derivada:

$f'(x) = -\\sin\\left(\\frac{1}{\\sqrt{x}+1}\\right) \\cdot \\left(-\\frac{1}{2}x^{-3/2}\\right) \\cdot \\frac{1}{(\\sqrt{x}+1)^2} = \\frac{1}{2x^{3/2}(\\sqrt{x}+1)^2} \\cdot \\sin\\left(\\frac{1}{\\sqrt{x}+1}\\right)$ $f'(0)$ No existe, porque el denominador se hace cero. Ninguna de las opciones es correcta

Ejercicio 10

La respuesta correcta es la (B).

Calculamos la integral:

$$k = \int_0^1 \left(\frac{x-1}{x^2+1}\right) dx = \int_0^1 \frac{x}{x^2+1} dx - \int_0^1 \frac{1}{x^2+1} dx$$

$= \\frac{1}{2} \\ln(x^2+1) \\Big|_0^1 - \\arctan(x)\\Big|_0^1 = \\frac{1}{2}\\ln(2) - \\frac{1}{2}\\ln(1) - (\\arctan(1) - \\arctan(0))$ $= \\frac{1}{2}\\ln(2) - \\frac{\\pi}{4} \\approx -0.438$

$k = \\frac{1}{2}\\ln(2) - \\arctan(1) = \\frac{1}{2} \\ln 2 - \\frac{\\pi}{4}$ $\\frac{1}{2}\\ln2 \\approx 0.34$ Por lo tanto

$k < \\frac{1}{2}\\ln(2)$

Ejercicio 11

La respuesta correcta es la (B).

El dominio de la función $f(x) = \\sqrt{x^2 + x - \\sqrt{x^2}-1}$ es:

$$\begin{cases} x^2 \ge 0 \Rightarrow \forall x \in \mathbb{R} \\ x^2 + x - |x| - 1 \ge 0 \end{cases}$$

Dependiendo del valor absoluto:

Si $x \\ge 0$, entonces $|x| = x$ $x^2 + x - x - 1 \\ge 0 \\Rightarrow x^2 - 1 \\ge 0$ $(x-1)(x+1) \\ge 0$ $x \\le -1 \\lor x \\ge 1$. Pero como $x\\ge0$, el dominio es $x\\ge1$

Si $x<0$, entonces $|x| = -x$ $x^2+x-(-x)-1 \\ge 0; x^2+2x-1 \\ge 0$ $x=\\frac{-2\\pm\\sqrt{4+4}}{2} = -1 \\pm \\sqrt{2}$ Por tanto, $x \\le -1-\\sqrt{2}$ o $x \\ge -1+\\sqrt{2}$

Como $x<0$ $x<-1-\\sqrt{2}$ o $-1+\\sqrt{2}\\le x < 0$

Uniendo:

$D = (-\\infty, -1-\\sqrt{2}] \\cup [-1+\\sqrt{2}, 0) \\cup [1, +\\infty)$ Ninguna opción es correcta.

Ejercicio 12

La respuesta correcta es la (A). Calculamos las probabilidades: Número total de bolas: 10 + 6 + 4 = 20

• p (probabilidad de extraer dos bolas blancas): $p = \\frac{10}{20} \\cdot \\frac{9}{19} = \\frac{9}{38}$

• q (probabilidad de extraer dos bolas negras): $q = \\frac{6}{20} \\cdot \\frac{5}{19} = \\frac{3}{38}$

• r (probabilidad de extraer dos bolas rojas): $r = \\frac{4}{20} \\cdot \\frac{3}{19} = \\frac{3}{95}$

Por lo tanto se cumple

$q = \\frac{3}{38}; r = \\frac{3}{95}$

Ejercicio 13

La respuesta correcta es la (B). La probabilidad de que un cachorro sea macho es 0.40. Queremos calcular la probabilidad de que haya al menos un macho entre 5 cachorros. Es más fácil calcular la probabilidad del evento complementario (que todos sean hembras) y restársela a 1. Probabilidad de que un cachorro sea hembra: 1 - 0.40 = 0.60 Probabilidad de que los 5 cachorros sean hembras: $(0.6)^5 = 0.07776$ Probabilidad de que haya al menos un macho: $1 - 0.07776 = 0.92224$ $p > 0.9$

Ejercicio 14

La respuesta correcta es la (B).

Hay 4 caballos en la baraja de 40 cartas. Sacamos una carta y es un caballo. Quedan 39 cartas, y 3 de ellas son caballos. Queremos sacar otras dos cartas y que sean caballos para tener un trío.

Probabilidad de sacar un caballo en la segunda carta: 3/39 Probabilidad de sacar un caballo en la tercera carta, dado que ya sacamos uno en la segunda: 2/38

Probabilidad de tener un trío:

$p = \\frac{3}{39} \\cdot \\frac{2}{38} = \\frac{6}{1482} = \\frac{1}{247} \\approx 0.004$ $\\frac{1}{250} = 0.004$ $\\frac{1}{200} = 0.005$ $p>\\frac{1}{250}$ $p<\\frac{1}{200}$ Ninguna opción es correcta.

Ejercicio 15

La respuesta correcta es la (C). Este es un problema de distribución binomial. Tenemos n = 10 ensayos (semillas), probabilidad de éxito (germinación) p = 0.4, y queremos la probabilidad de exactamente k = 6 éxitos.

La fórmula de la distribución binomial es:

$P(X=k) = \\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$

En nuestro caso:

$P(X=6) = \\binom{10}{6} (0.4)^6 (0.6)^4 = 210 \\cdot 0.004096 \\cdot 0.1296 \\approx 0.1115$

$$\binom{10}{6} = \frac{10!}{6!4!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4\times3\times2\times1}=210$$

$0.1 < p < 0.3$ Ninguna opción es correcta.

Problema 1

$$C = A^2 - 4A - 6B$$

Donde

$$A = \begin{pmatrix} a & 0 & a \\ 0 & 1 & 0 \\ a & 0 & a \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Calculamos

$$A^2 = \begin{pmatrix} a & 0 & a \\ 0 & 1 & 0 \\ a & 0 & a \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & 0 & a \\ 0 & 1 & 0 \\ a & 0 & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2a^2 & 0 & 2a^2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2a^2 & 0 & 2a^2 \end{pmatrix}$$ $$4A = \begin{pmatrix} 4a & 0 & 4a \\ 0 & 4 & 0 \\ 4a & 0 & 4a \end{pmatrix}$$ $$6B = \begin{pmatrix} 6 & 0 & 6 \\ 0 & 6 & 0 \\ 6 & 0 & 6 \end{pmatrix}$$ $$C = \begin{pmatrix} 2a^2-4a-6 & 0 & 2a^2-4a-6 \\ 0 & -9 & 0 \\ 2a^2-4a-6 & 0 & 2a^2-4a-6 \end{pmatrix}$$

Para estudiar el rango de C analizamos el determinante de la matriz:

$$\det(C) = -9 \cdot \begin{vmatrix} 2a^2 - 4a - 6 & 2a^2 - 4a - 6 \\ 2a^2 - 4a - 6 & 2a^2 - 4a - 6 \end{vmatrix} = 0$$

Esto quiere decir, que como máximo el rango de C es 2. Estudiamos el elemento $C_{2,2}$, si es distinto de cero, podemos concluir que la matriz tiene rango 2

Como el elemento $C_{2,2} = -9 \\ne 0$. Concluimos que el rango de C es 2, independientemente del valor de $a$

Problema 2

La recta r está definida por los planos:

$$\begin{cases} x - 2y - 2z - 1 = 0 \\ x + 5y - z = 0 \end{cases}$$

El plano π está definido por:

$2x + y + mz = n$

a) Para que la recta y el plano sean secantes, el sistema formado por las tres ecuaciones debe ser compatible determinado. Esto significa que el determinante de la matriz de coeficientes debe ser distinto de cero.

$$\begin{vmatrix} 1 & -2 & -2 \\ 1 & 5 & -1 \\ 2 & 1 & m \end{vmatrix} = 5m + 4 - 2 - (-20 - 1 - 2m) = 7m + 23$$

Para que sean secantes: $7m + 23 \\ne 0 \\Rightarrow m \\ne -\\frac{23}{7}$

b) Para que sean paralelos, los vectores normales de los planos que definen la recta, y el vector normal del plano deben ser linealmente dependientes, ademas el vector normal del plano no puede pertenecer al haz de planos definido por los planos que definen la recta r.

El vector normal del plano $x-2y-2z-1=0$ es $(1,-2,-2)$ El vector normal del plano $x+5y-z=0$ es $(1,5,-1)$

El vector director de la recta r es:

$$\vec{v_r} = (1, -2, -2) \times (1, 5, -1) = (12, -1, 7)$$

El vector normal del plano $\\pi$ es $(2,1,m)$

Para que la recta sea paralela al plano, el producto escalar del vector director de la recta y el vector normal del plano debe ser cero: $(2,1,m)\\cdot(12,-1,7)=0$ $24-1+7m=0$ $m=-\\frac{23}{7}$ Ademas, se tiene que cumplir que para ese valor de $m$ $n\\ne k_1\\cdot(-1)+k_2\\cdot0; \\forall k_1, k_2 \\in R$ Por tanto:

Para m=-23/7 y para cualquier valor de n distinto de k1, la recta y el plano son paralelos.

Problema 3

$f(x) = \\frac{x}{x^2 - 4}$

1. Dominio: El denominador no puede ser cero: $x^2 - 4 \\ne 0 \\Rightarrow x \\ne \\pm 2$. El dominio es $\\mathbb{R} - \\{-2, 2\\}$.

2. Simetría: $f(-x) = \\frac{-x}{(-x)^2 - 4} = -\\frac{x}{x^2 - 4} = -f(x)$ La función es impar, simétrica respecto al origen.

3. Puntos de corte:

   • Con el eje X: $f(x) = 0 \\Rightarrow x = 0$. Punto (0, 0).
   • Con el eje Y: $x = 0 \\Rightarrow f(0) = 0$. Punto (0, 0).

4. Asíntotas:

   • Verticales: En los puntos donde se anula el denominador, x = -2 y x = 2.
   • Horizontales: $$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{x^2 - 4} = 0$$ $$\lim_{x \to -\infty} \frac{x}{x^2 - 4} = 0$$ Hay una asíntota horizontal en y = 0.
   • Oblicuas: No hay, ya que el grado del numerador es menor que el del denominador.

5. Monotonía y extremos: $f'(x) = \\frac{(x^2 - 4) - x(2x)}{(x^2 - 4)^2} = \\frac{-x^2 - 4}{(x^2 - 4)^2}$ $f'(x)$ nunca es cero, y siempre es negativa (el numerador siempre es negativo y el denominador siempre positivo). Por lo tanto, la función es decreciente en todo su dominio. No tiene máximos ni mínimos relativos.

6. Curvatura y puntos de inflexión: Calculamos la segunda derivada: $f''(x)=\\frac{2x(x^2+12)}{(x^2-4)^3}$ Igualamos la segunda derivada a cero para buscar los puntos de inflexión:

$f''(x) = 0 \\Rightarrow 2x(x^2 + 12) = 0$ La única solución real es x=0.

Estudiamos la curvatura. En el intervalo $(-\\infty, -2)$, $f''(x)<0$, la función es cóncava. En el intervalo $(-2,0)$, $f''(x)>0$, la función es convexa. En el intervalo $(0,2)$, $f''(x)<0$, la función es cóncava. En el intervalo $(2,\\infty)$, $f''(x)>0$, la función es convexa. Hay un punto de inflexión en $x=0$. El punto de inflexión es el $(0,0)$

7. Gráfica