Examen Resuelto PCE UNED Junio Física 2020

CUESTIONES TIPO TEST

1. a) 1 C = 1 A s

   Razonamiento: La carga eléctrica (Q) se relaciona con la corriente eléctrica (I) y el tiempo (t) mediante la ecuación $Q = I \\cdot t$. La unidad de corriente es el Amperio (A) y la unidad de tiempo es el segundo (s). Por lo tanto, 1 Culombio (C) es igual a 1 Amperio multiplicado por 1 segundo (1 A s).

2. a) h = R

   Razonamiento: La aceleración de la gravedad (g) a una distancia r del centro de la Tierra (donde $r > R$, siendo R el radio de la Tierra) viene dada por $g = \\frac{GM}{r^2}$, donde G es la constante de gravitación universal y M es la masa de la Tierra. En la superficie de la Tierra, $g_0 = \\frac{GM}{R^2}$. Si la gravedad se reduce a g/4 a una altura h sobre la superficie, entonces la distancia total al centro de la Tierra es R + h. Por lo tanto:

   $\\frac{g}{4} = \\frac{GM}{(R+h)^2}$

   Dividiendo esta ecuación por la ecuación de $g_0$:

   $\\frac{g/4}{g_0} = \\frac{GM/(R+h)^2}{GM/R^2} \\Rightarrow \\frac{1}{4} = \\frac{R^2}{(R+h)^2}$

   Tomando la raíz cuadrada de ambos lados:

   $\\frac{1}{2} = \\frac{R}{R+h} \\Rightarrow R+h = 2R \\Rightarrow h = R$

3. a) $v = \\sqrt{\\frac{GM}{R}}$

   Razonamiento: Para un satélite en órbita circular, la fuerza gravitacional actúa como fuerza centrípeta. Igualando la fuerza gravitacional y la fuerza centrípeta:

   $\\frac{GMm}{R^2} = \\frac{mv^2}{R}$

   Donde m es la masa del satélite. Despejando la velocidad v:

   $v^2 = \\frac{GM}{R} \\Rightarrow v = \\sqrt{\\frac{GM}{R}}$

4. a) ω2 ≈ 0.13 ω1

   Razonamiento: La tercera ley de Kepler establece que el cuadrado del período orbital (T) es proporcional al cubo del semieje mayor de la órbita (que en este caso es el radio R, ya que son órbitas circulares). $T^2 \\propto R^3$. La velocidad angular (ω) está relacionada con el período por $ω = \\frac{2π}{T}$. Por lo tanto, $T = \\frac{2\\pi}{\\omega}$. Sustituyendo en la tercera ley de Kepler:

   $(\\frac{2\\pi}{\\omega})^2 \\propto R^3 \\Rightarrow \\frac{1}{\\omega^2} \\propto R^3 \\Rightarrow \\omega^2 \\propto \\frac{1}{R^3} \\Rightarrow \\omega \\propto \\frac{1}{\\sqrt{R^3}}$

   Para los dos satélites:

   $\\frac{\\omega_2}{\\omega_1} = \\sqrt{\\frac{R_1^3}{R_2^3}} = \\sqrt{\\frac{R_1^3}{(3.87R_1)^3}} = \\sqrt{\\frac{1}{3.87^3}} \\approx 0.13$

5. c) d = 5 mm

   Razonamiento: El campo eléctrico (E) debido a una carga puntual q a una distancia r viene dado por $E = k\\frac{|q|}{r^2}$, donde k es la constante de Coulomb. El campo eléctrico total es la suma vectorial de los campos debidos a cada carga. En el punto donde el campo eléctrico se anula, los campos eléctricos debidos a q1 y q2 deben ser iguales en magnitud y opuestos en dirección.

   $k\\frac{|q_1|}{(D+d)^2} = k\\frac{|q_2|}{d^2}$

   Sustituyendo los valores dados:

   $\\frac{16q}{(15+d)^2} = \\frac{q}{d^2}$

   Simplificando y tomando la raíz cuadrada:

   $\\frac{4}{15+d} = \\frac{1}{d} \\Rightarrow 4d = 15 + d \\Rightarrow 3d = 15 \\Rightarrow d = 5 \\text{ mm}$

6. a) $v = \\sqrt{\\frac{2eV}{m}}$

   Razonamiento: La energía potencial eléctrica ganada por el electrón al ser acelerado por la diferencia de potencial V se convierte en energía cinética. La energía potencial eléctrica es $e \\cdot V$, y la energía cinética es $\\frac{1}{2}mv^2$. Igualando ambas:

   $eV = \\frac{1}{2}mv^2$

   Despejando la velocidad v:

   $v^2 = \\frac{2eV}{m} \\Rightarrow v = \\sqrt{\\frac{2eV}{m}}$

7. a) es perpendicular al campo. Razonamiento: El flujo eléctrico (Φ) a través de una superficie se define como $\\Phi = \\vec{E} \\cdot \\vec{A} = EA\\cos\\theta$, donde E es el campo eléctrico, A es el área de la superficie y θ es el ángulo entre el vector de campo eléctrico y el vector normal a la superficie. El flujo es máximo cuando $\\cos\\theta = 1$, es decir, cuando \\theta = 0^\\circ, lo que significa que el campo eléctrico es perpendicular a la superficie.

8. c) es cero.

   Razonamiento: Una superficie equipotencial es aquella en la que todos los puntos tienen el mismo potencial eléctrico. El trabajo (W) realizado para mover una carga q entre dos puntos con una diferencia de potencial ΔV es $W = q\\Delta V$. En una superficie equipotencial, $\\Delta V = 0$, por lo tanto, el trabajo realizado es cero.

9. b) proporcional a $L^2$.

   Razonamiento: La ley de Faraday establece que la fuerza electromotriz (fem, ε) inducida en un circuito es igual a la tasa de cambio del flujo magnético (Φ) a través del circuito: $\\epsilon = -\\frac{d\\Phi}{dt}$. El flujo magnético a través de una espira cuadrada de lado L en un campo magnético B es $\\Phi = B \\cdot A = B \\cdot L^2$, donde A es el área de la espira. Si el campo magnético varía con el tiempo, la fem inducida es proporcional a $L^2$.

10. b) 0.5 s

    Razonamiento: La frecuencia angular (ω) y el período (T) están relacionados por $ω = \\frac{2π}{T}$. Dado que $ω = 4π \\text{ rad/s}$, el período es:

    $T = \\frac{2\\pi}{\\omega} = \\frac{2\\pi}{4\\pi} = 0.5 \\text{ s}$

11. b) d = 3λ/2

    Razonamiento: Dos puntos en una onda están en oposición de fase si su diferencia de fase es un múltiplo impar de π. La diferencia de fase (Δφ) entre dos puntos separados por una distancia d en la dirección de propagación de una onda de longitud de onda λ es $\\Delta\\varphi = \\frac{2\\pi}{\\lambda}d$. Para que estén en oposición de fase:

    $\\frac{2\\pi}{\\lambda}d = (2n+1)\\pi$, donde n es un entero (0, 1, 2, ...).

    Para n=0, $\\Delta\\varphi=\\pi \\rightarrow d = \\frac{\\lambda}{2}$ Para n=1, $\\Delta\\varphi=3\\pi \\rightarrow d = \\frac{3\\lambda}{2}$ Para n=2 $\\Delta\\varphi=5\\pi \\rightarrow d = \\frac{5\\lambda}{2}$ La respuesta correcta es 3λ/2

12. b) 17 cm

    Razonamiento: La velocidad (v), la frecuencia (f) y la longitud de onda (λ) de una onda están relacionadas por $v = fλ$. Dado que la velocidad del sonido es 340 m/s y la frecuencia es 2000 Hz, la longitud de onda es:

    $λ = \\frac{v}{f} = \\frac{340 \\text{ m/s}}{2000 \\text{ Hz}} = 0.17 \\text{ m} = 17 \\text{ cm}$

13. a) aumenta cuando la velocidad de la partícula se acerca a la velocidad de la luz.

    Razonamiento: En la Teoría de la Relatividad, la masa relativista (m) de una partícula con masa en reposo $m_0$ y velocidad v viene dada por $m = \\frac{m_0}{\\sqrt{1 - \\frac{v^2}{c^2}}}$, donde c es la velocidad de la luz. A medida que v se acerca a c, el denominador se acerca a cero y la masa relativista tiende a infinito.

14. a) es mayor para el electrón.

    Razonamiento: La longitud de onda de De Broglie (λ) asociada a una partícula con momento lineal p (donde $p = mv$) es $\\lambda = \\frac{h}{p} = \\frac{h}{mv}$, donde h es la constante de Planck. Si un electrón y un protón se mueven a la misma velocidad, el electrón, que tiene una masa mucho menor que el protón, tendrá una longitud de onda de De Broglie mayor.

15. a) aumenta con la frecuencia de la luz.

    Razonamiento: La energía (E) de un fotón está dada por $E = hf$, donde h es la constante de Planck y f es la frecuencia de la luz. La energía es directamente proporcional a la frecuencia. Como $c=f\\lambda$ dónde c es la velocidad de la luz, entonces $f=\\frac{c}{\\lambda}$, y por tanto $E=\\frac{hc}{\\lambda}$. La energía es inversamente proporcional a la longitud de onda.

PROBLEMAS

PROBLEMA 1

a) Radio del planeta, R.

Usamos la misma lógica que en la cuestión 2. Sabemos que:

$$g_h = \\frac{GM}{(R+h)^2}$$  y  $$g_0 = \\frac{GM}{R^2}$$

Donde $$g_h = 0.99g_0$$ y h = 100 km = 100000 m. Sustituyendo y dividiendo las ecuaciones:
$$\\frac{g_h}{g_0}=\\frac{\\frac{GM}{(R+h)^2}}{\\frac{GM}{R^2}} \\rightarrow 0.99 = \\frac{R^2}{(R+h)^2}$$
$$ \\sqrt{0.99} = \\frac{R}{R+h} \\rightarrow \\sqrt{0.99}(R+h) = R \\rightarrow \\sqrt{0.99}h=R(1-\\sqrt{0.99})$$
$$R = \\frac{\\sqrt{0.99}}{1-\\sqrt{0.99}}h$$
$$R = \\frac{\\sqrt{0.99}}{1 - \\sqrt{0.99}} \\cdot 100000 \\text{ m} \\approx 1.99 \\times 10^7 \\text{ m}$$

b) Masa del planeta, M.

Usando el valor de $$g_0$$ y el radio calculado:

$$g_0 = \\frac{GM}{R^2} \\Rightarrow M = \\frac{g_0 R^2}{G} = \\frac{21.5 \\text{ m/s}^2 \\cdot (1.99 \\times 10^7 \\text{ m})^2}{6.67 \\times 10^{-11} \\text{ N m}^2/\\text{kg}^2} \\approx 1.27 \\times 10^{26} \\text{ kg}$$

c) Velocidad de escape desde la superficie del planeta.

La velocidad de escape ($$v_e$$) es la velocidad mínima necesaria para que un objeto escape del campo gravitatorio de un planeta. Se calcula igualando la energía cinética inicial del objeto con su energía potencial gravitatoria en la superficie del planeta (en valor absoluto):

$$\\frac{1}{2}mv_e^2 = \\frac{GMm}{R} \\Rightarrow v_e = \\sqrt{\\frac{2GM}{R}}$$

Sustituyendo los valores de G, M y R:

$$v_e = \\sqrt{\\frac{2 \\cdot 6.67 \\times 10^{-11} \\text{ N m}^2/\\text{kg}^2 \\cdot 1.27 \\times 10^{26} \\text{ kg}}{1.99 \\times 10^7 \\text{ m}}} \\approx 2.91 \\times 10^4 \\text{ m/s}$$

PROBLEMA 2

a) Campo eléctrico en el vértice superior P.

El campo eléctrico debido a una carga puntual q a una distancia r es  $$E = k\\frac{|q|}{r^2}$$. En este caso, ambas cargas son positivas y de igual magnitud, y la distancia de cada carga al punto P es d (el lado del triángulo equilátero). Las componentes horizontales de los campos eléctricos creados por cada carga se cancelan, mientras que las componentes verticales se suman.

La componente vertical del campo eléctrico debido a una de las cargas es $$E_y = E \\cdot \\sin(60^\\circ) = k\\frac{q}{d^2} \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2}$$.  Como hay dos cargas, el campo eléctrico total en P es:

$$\\vec{E} = 2E_y \\hat{j} = 2 \\cdot k\\frac{q}{d^2} \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\hat{j} = k\\frac{q\\sqrt{3}}{d^2}\\hat{j}$$

Por lo tanto,  $$A = kq\\sqrt{3}$$.
Unidades de A: $$[A] = [k][q] = \\frac{\\text{N m}^2}{\\text{C}^2} \\cdot \\text{C} = \\frac{\\text{N m}^2}{\\text{C}}$$

b) Potencial eléctrico en el punto P.

El potencial eléctrico (V) debido a una carga puntual q a una distancia r es $$V = k\\frac{q}{r}$$.  En el punto P, el potencial debido a cada carga es el mismo (ya que las cargas son iguales y están a la misma distancia d). El potencial total es la suma de los potenciales:

$$V_P = k\\frac{q}{d} + k\\frac{q}{d} = 2k\\frac{q}{d} = 2 \\cdot 9.0 \\times 10^9 \\text{ N m}^2/\\text{C}^2 \\cdot \\frac{1.35 \\times 10^{-4} \\text{ C}}{0.30 \\text{ m}} = 8.1 \\times 10^6 \\text{ V}$$

c) Trabajo para llevar una tercera carga q desde el infinito hasta P. El trabajo realizado es igual a la diferencia de energía potencial: $W = q(V_p - V_{\\infty})$ Como el potencial en el infinito es 0: $W=qV_p$ $W = 1.35 \\times 10^{-4} C * 8.1 \\times 10^6 V = 1093.5 J$

PROBLEMA 3

a) Longitud de onda (λ), número de onda (k) y frecuencia angular (ω).

La frecuencia (f) es 0.50 Hz.

*   Longitud de onda: $$λ = \\frac{v}{f} = \\frac{2 \\text{ m/s}}{0.5 \\text{ Hz}} = 4 \\text{ m}$$
*   Número de onda: $$k = \\frac{2π}{λ} = \\frac{2π}{4 \\text{ m}} = \\frac{π}{2} \\text{ rad/m} \\approx 1.57 \\text{ rad/m}$$
*   Frecuencia angular: $$ω = 2πf = 2π \\cdot 0.5 \\text{ Hz} = π \\text{ rad/s} \\approx 3.14 \\text{ rad/s}$$

b) Distancia mínima entre dos puntos con diferencia de fase de π/5.

La diferencia de fase (Δφ) es  $$\\Delta\\varphi = k\\Delta x$$, donde Δx es la distancia entre los puntos.  Queremos $$\\Delta\\varphi = \\frac{\\pi}{5}$$:

$$\\frac{\\pi}{5} = k\\Delta x = \\frac{\\pi}{2} \\Delta x \\Rightarrow \\Delta x = \\frac{\\pi/5}{\\pi/2} = \\frac{2}{5} \\text{ m} = 0.4 \\text{ m}$$

c) Ecuación de la onda.

La ecuación general de una onda armónica unidimensional es:

$$y(x,t) = A\\cos(kx - \\omega t + \\phi_0)$$

Donde A es la amplitud, k es el número de onda, ω es la frecuencia angular y $$\\phi_0$$ es la fase inicial.  Sabemos que A = 24 cm = 0.24 m.

En t = 0.5 s, y en un punto cercano a la fuente (podemos suponer x=0) la altura es $$\\frac{\\sqrt{2}}{2}A$$ y la oscilación es creciente.
$$y(0, 0.5) = A\\cos(- \\omega \\cdot 0.5 + \\phi_0) =  \\frac{\\sqrt{2}}{2} A$$

$$\\cos(- \\omega \\cdot 0.5 + \\phi_0) = \\frac{\\sqrt{2}}{2} = \\cos(\\frac{\\pi}{4})$$

$-\\pi * 0.5 + \\phi_0 = \\pm\\frac{\\pi}{4} + 2n\\pi$ $-\\frac{\\pi}{2} + \\phi_0 = \\pm\\frac{\\pi}{4} + 2n\\pi$

Para que la oscilación sea creciente la derivada temporal debe ser positiva $\\frac{dy}{dt} = A\\omega\\sin(kx-\\omega t + \\phi_0)$ $\\sin(-\\frac{\\pi}{2}+\\phi_0) > 0$

Si $-\\frac{\\pi}{2} + \\phi_0 = \\frac{\\pi}{4} \\rightarrow \\phi_0 = \\frac{3\\pi}{4}$, pero $sin(\\frac{\\pi}{4})>0$

Si $-\\frac{\\pi}{2} + \\phi_0 = -\\frac{\\pi}{4} \\rightarrow \\phi_0 = \\frac{\\pi}{4}$, entonces $sin(-\\frac{\\pi}{4})<0$.

La ecuación de onda es por tanto: $y(x, t) = 0.24\\cos(\\frac{\\pi}{2}x - \\pi t + \\frac{3\\pi}{4})$

PROBLEMA 4

a) Número atómico, número másico y número de neutrones del xenón.

La desintegración β⁻ implica la emisión de un electrón (e⁻) y un antineutrino electrónico ($$\\bar{\\nu}_e$$) por parte de un neutrón del núcleo, que se transforma en un protón. La ecuación de la desintegración es:

$$^{131}_{53}I \\rightarrow ^{131}_{Z}Xe + e^- + \\bar{\\nu}_e$$

*   Conservación del número másico (A): 131 = 131 + 0 + 0  =>  A(Xe) = 131
*   Conservación del número atómico (Z): 53 = Z - 1 + 0  => Z(Xe) = 54

El xenón tiene número atómico 54 y número másico 131.

*   Número de neutrones: N = A - Z = 131 - 54 = 77

b) Masa de yodo-131 después de 20 días.

La ley de desintegración radiactiva establece que:

$$N(t) = N_0 e^{-\\lambda t}$$

Donde N(t) es el número de núcleos en el tiempo t, $$N_0$$ es el número inicial de núcleos, λ es la constante de desintegración y t es el tiempo.  La constante de desintegración se relaciona con el período de semidesintegración ($$T_{1/2}$$) por  $$\\lambda = \\frac{\\ln 2}{T_{1/2}}$$.

Primero, calculamos λ:

$$\\lambda = \\frac{\\ln 2}{8.02 \\text{ días}} \\approx 0.0864 \\text{ días}^{-1}$$

Masa y número de núcleos son directamente proporcionales: $m(t)=m_0e^{-\\lambda t}$ Calculamos la masa después de 20 días:

$$m(20) = 0.35 \\text{ g} \\cdot e^{-0.0864 \\text{ días}^{-1} \\cdot 20 \\text{ días}} \\approx 0.062 \\text{ g}$$

c) Tiempo para que queden 0.05 g de yodo-131.

Usando la misma ley de desintegración, despejamos el tiempo:

$$0.  05 \\text{ g} = 0.35 \\text{ g} \\cdot e^{-0.0864 \\text{ días}^{-1} \\cdot t}$$

$$\\frac{0.05}{0.35} = e^{-0.0864t}$$

$$\\ln\\left(\\frac{0.05}{0.35}\\right) = -0.0864t$$

$$t = \\frac{\\ln(0.05/0.35)}{-0.0864} \\approx 22.54 \\text{ días}$$