Examen Resuelto Prueba de Acceso UCM Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II 2024

OPCIÓN A

Ejercicio 1.

Dado el sistema de ecuaciones:

$$\begin{cases} 2x + my + z = 1 \\ x + 2y - z = 3 \\ x + y + z = 1 \end{cases}$$

a) Estúdiese la compatibilidad del sistema en función de los valores de m.

Razonamiento: Para estudiar la compatibilidad del sistema, analizaremos los rangos de la matriz de coeficientes (A) y la matriz ampliada (A*). El sistema viene dado por la ecuación matricial AX = B, donde: A = \\begin{pmatrix} 2 & m & 1 \\\\ 1 & 2 & -1 \\\\ 1 & 1 & 1 \\end{pmatrix}, \\quad X = \\begin{pmatrix} x \\\\ y \\\\ z \\end{pmatrix}, \\quad B = \\begin{pmatrix} 1 \\\\ 3 \\\\ 1 \\end{pmatrix} La matriz ampliada es: A^* = \\begin{pmatrix} 2 & m & 1 & | & 1 \\\\ 1 & 2 & -1 & | & 3 \\\\ 1 & 1 & 1 & | & 1 \\end{pmatrix} Calculamos el determinante de A para encontrar los valores de m que lo anulan: \\det(A) = \\begin{vmatrix} 2 & m & 1 \\\\ 1 & 2 & -1 \\\\ 1 & 1 & 1 \\end{vmatrix} = 2(2 - (-1)) - m(1 - (-1)) + 1(1 - 2) $\\det(A) = 2(3) - m(2) + 1(-1) = 6 - 2m - 1 = 5 - 2m$ El determinante se anula si $5 - 2m = 0$, es decir, si $m = \\frac{5}{2}$.

Discusión:

• Caso 1: Si $m \\neq \\frac{5}{2}$ En este caso, $\\det(A) \\neq 0$. Por lo tanto, el rango de la matriz de coeficientes es 3 ($rank(A) = 3$). Como la matriz ampliada A* contiene a A, su rango también es 3 ($rank(A^*) = 3$). El número de incógnitas también es 3. Según el Teorema de Rouché-Fröbenius, si $rank(A) = rank(A^*) = \\text{número de incógnitas}$, el sistema es Compatible Determinado (SCD). Tiene una única solución.

• Caso 2: Si $m = \\frac{5}{2}$ En este caso, $\\det(A) = 0$, por lo que $rank(A) < 3$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo en A. Por ejemplo, el menor formado por las filas 2 y 3, y las columnas 1 y 2: \\begin{vmatrix} 1 & 2 \\\\ 1 & 1 \\end{vmatrix} = 1 - 2 = -1 \\neq 0 Por lo tanto, $rank(A) = 2$. Ahora estudiamos el rango de la matriz ampliada A* para $m = \\frac{5}{2}$: A^* = \\begin{pmatrix} 2 & 5/2 & 1 & | & 1 \\\\ 1 & 2 & -1 & | & 3 \\\\ 1 & 1 & 1 & | & 1 \\end{pmatrix} Consideramos el menor de orden 3 formado por las columnas 1, 2 y 4: \\begin{vmatrix} 2 & 5/2 & 1 \\\\ 1 & 2 & 3 \\\\ 1 & 1 & 1 \\end{vmatrix} = 2(2 - 3) - \\frac{5}{2}(1 - 3) + 1(1 - 2) $= 2(-1) - \\frac{5}{2}(-2) + 1(-1) = -2 + 5 - 1 = 2 \\neq 0$ Como existe un menor de orden 3 en A* que es no nulo, $rank(A^*) = 3$. En este caso, $rank(A) = 2$ y $rank(A^*) = 3$. Como $rank(A) \\neq rank(A^*)$, el sistema es Incompatible (SI). No tiene solución.

Conclusión del apartado a):

• Si $m \\neq \\frac{5}{2}$, el sistema es Compatible Determinado (SCD).
• Si $m = \\frac{5}{2}$, el sistema es Incompatible (SI).

b) Resuélvase el sistema para $m=0$.

Razonamiento: Para $m=0$, el sistema es Compatible Determinado, ya que $0 \\neq \\frac{5}{2}$. Sustituimos $m=0$ en el sistema original:

$$\begin{cases} 2x + z = 1 \\ x + 2y - z = 3 \\ x + y + z = 1 \end{cases}$$

Podemos resolverlo usando la regla de Cramer, ya que conocemos $\\det(A) = 5 - 2m = 5 - 2(0) = 5$.

x = \\frac{\\det(A_x)}{\\det(A)} = \\frac{\\begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\\\ 3 & 2 & -1 \\\\ 1 & 1 & 1 \\end{vmatrix}}{5} = \\frac{1(2 - (-1)) - 0(3 - (-1)) + 1(3 - 2)}{5} = \\frac{1(3) - 0 + 1(1)}{5} = \\frac{4}{5}

y = \\frac{\\det(A_y)}{\\det(A)} = \\frac{\\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\\\ 1 & 3 & -1 \\\\ 1 & 1 & 1 \\end{vmatrix}}{5} = \\frac{2(3 - (-1)) - 1(1 - (-1)) + 1(1 - 3)}{5} = \\frac{2(4) - 1(2) + 1(-2)}{5} = \\frac{8 - 2 - 2}{5} = \\frac{4}{5}

z = \\frac{\\det(A_z)}{\\det(A)} = \\frac{\\begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 \\\\ 1 & 2 & 3 \\\\ 1 & 1 & 1 \\end{vmatrix}}{5} = \\frac{2(2 - 3) - 0(1 - 3) + 1(1 - 2)}{5} = \\frac{2(-1) - 0 + 1(-1)}{5} = \\frac{-2 - 1}{5} = \\frac{-3}{5}

Solución para m=0: $x = \\frac{4}{5}, y = \\frac{4}{5}, z = -\\frac{3}{5}$

c) Resuélvase el sistema para $m=1$.

Razonamiento: Para $m=1$, el sistema es Compatible Determinado, ya que $1 \\neq \\frac{5}{2}$. Sustituimos $m=1$ en el sistema original:

$$\begin{cases} 2x + y + z = 1 \\ x + 2y - z = 3 \\ x + y + z = 1 \end{cases}$$

Calculamos $\\det(A) = 5 - 2m = 5 - 2(1) = 3$. Usamos Cramer nuevamente.

x = \\frac{\\det(A_x)}{\\det(A)} = \\frac{\\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\\\ 3 & 2 & -1 \\\\ 1 & 1 & 1 \\end{vmatrix}}{3} Observamos que la primera y tercera fila son idénticas, por lo que el determinante es 0. $x = \\frac{0}{3} = 0$

y = \\frac{\\det(A_y)}{\\det(A)} = \\frac{\\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\\\ 1 & 3 & -1 \\\\ 1 & 1 & 1 \\end{vmatrix}}{3} = \\frac{2(3 - (-1)) - 1(1 - (-1)) + 1(1 - 3)}{3} = \\frac{2(4) - 1(2) + 1(-2)}{3} = \\frac{8 - 2 - 2}{3} = \\frac{4}{3}

z = \\frac{\\det(A_z)}{\\det(A)} = \\frac{\\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\\\ 1 & 2 & 3 \\\\ 1 & 1 & 1 \\end{vmatrix}}{3} = \\frac{2(2 - 3) - 1(1 - 3) + 1(1 - 2)}{3} = \\frac{2(-1) - 1(-2) + 1(-1)}{3} = \\frac{-2 + 2 - 1}{3} = \\frac{-1}{3}

Solución para m=1: $x = 0, y = \\frac{4}{3}, z = -\\frac{1}{3}$

Ejercicio 2.

Se considera la función real de variable real definida por $f(x) = x^3 - 3x$.

a) Determínense sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, sus máximos y sus mínimos relativos.

Razonamiento: Para estudiar la monotonía (crecimiento y decrecimiento) y los extremos relativos (máximos y mínimos), necesitamos analizar el signo de la primera derivada de la función, $f'(x)$.

Calculamos la primera derivada: $f'(x) = \\frac{d}{dx}(x^3 - 3x) = 3x^2 - 3$ Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: $f'(x) = 0 \\implies 3x^2 - 3 = 0 \\implies 3(x^2 - 1) = 0 \\implies x^2 = 1 \\implies x = \\pm 1$ Los puntos críticos son $x = -1$ y $x = 1$. Estos puntos dividen el dominio de la función ($\\mathbb{R}$) en tres intervalos: $(-\\infty, -1)$, $(-1, 1)$ y $(1, \\infty)$. Analizamos el signo de $f'(x)$ en cada intervalo eligiendo un punto de prueba:

• Intervalo $(-\\infty, -1)$: Tomamos $x = -2$. $f'(-2) = 3(-2)^2 - 3 = 3(4) - 3 = 12 - 3 = 9 > 0$. La función es creciente en $(-\\infty, -1)$.
• Intervalo $(-1, 1)$: Tomamos $x = 0$. $f'(0) = 3(0)^2 - 3 = -3 < 0$. La función es decreciente en $(-1, 1)$.
• Intervalo $(1, \\infty)$: Tomamos $x = 2$. $f'(2) = 3(2)^2 - 3 = 3(4) - 3 = 12 - 3 = 9 > 0$. La función es creciente en $(1, \\infty)$.

Determinación de máximos y mínimos:

• En $x = -1$, la función pasa de ser creciente a decreciente ($f'(x)$ cambia de + a -), por lo tanto, hay un máximo relativo en $x = -1$. El valor del máximo es $f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2$. El punto máximo relativo es $(-1, 2)$.
• En $x = 1$, la función pasa de ser decreciente a creciente ($f'(x)$ cambia de - a +), por lo tanto, hay un mínimo relativo en $x = 1$. El valor del mínimo es $f(1) = (1)^3 - 3(1) = 1 - 3 = -2$. El punto mínimo relativo es $(1, -2)$.

Resumen del apartado a):

• Intervalo de crecimiento: $(-\\infty, -1) \\cup (1, \\infty)$
• Intervalo de decrecimiento: $(-1, 1)$
• Máximo relativo en $x = -1$, punto $(-1, 2)$
• Mínimo relativo en $x = 1$, punto $(1, -2)$

b) Obténgase la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa x=2.

Razonamiento: La ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ en el punto de abscisa $x_0$ viene dada por la fórmula punto-pendiente: $y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$.

En nuestro caso, $x_0 = 2$. Calculamos el valor de la función en el punto de tangencia: $f(2) = (2)^3 - 3(2) = 8 - 6 = 2$ El punto de tangencia es $(x_0, f(x_0)) = (2, 2)$. Calculamos la pendiente de la recta tangente, que es el valor de la derivada en $x_0 = 2$: $f'(x) = 3x^2 - 3$ $f'(2) = 3(2)^2 - 3 = 3(4) - 3 = 12 - 3 = 9$ La pendiente es $m = 9$. Sustituimos el punto $(2, 2)$ y la pendiente $m = 9$ en la ecuación punto-pendiente: $y - 2 = 9(x - 2)$ Desarrollamos la ecuación para obtener la forma explícita $y = mx + n$: $y - 2 = 9x - 18$ $y = 9x - 18 + 2$ $y = 9x - 16$

Ecuación de la recta tangente en x=2: $y = 9x - 16$

Ejercicio 3.

De una plantilla formada por 4 hombres (H) y 6 mujeres (M) se elige al azar una pareja (2 personas). Total de personas = 10.

Razonamiento: El número total de formas de elegir una pareja (2 personas) de un grupo de 10 es el número de combinaciones de 10 elementos tomados de 2 en 2: $\\text{Casos totales} = \\binom{10}{2} = \\frac{10!}{2!(10-2)!} = \\frac{10 \\times 9}{2 \\times 1} = 45$

a) Calcúlese la probabilidad de que las dos personas elegidas sean mujeres.

Razonamiento: Se deben elegir 2 mujeres del grupo de 6 mujeres. El número de formas de hacer esto es: $\\text{Casos favorables (2M)} = \\binom{6}{2} = \\frac{6!}{2!(6-2)!} = \\frac{6 \\times 5}{2 \\times 1} = 15$ La probabilidad es: $P(\\text{2 Mujeres}) = \\frac{\\text{Casos favorables (2M)}}{\\text{Casos totales}} = \\frac{15}{45} = \\frac{1}{3}$ Probabilidad (2 Mujeres): $P(MM) = \\frac{1}{3}$

b) Calcúlese la probabilidad de que al menos una persona elegida sea hombre.

Razonamiento: El suceso "al menos una persona elegida sea hombre" es el suceso complementario a "ninguna persona elegida sea hombre", lo que significa que "ambas personas elegidas son mujeres". Utilizando la probabilidad del complementario: $P(\\text{Al menos 1 Hombre}) = 1 - P(\\text{Ningún Hombre}) = 1 - P(\\text{2 Mujeres})$ Usando el resultado del apartado (a): $P(\\text{Al menos 1 Hombre}) = 1 - \\frac{1}{3} = \\frac{2}{3}$ Probabilidad (Al menos 1 Hombre): $P(\\text{Al menos 1 H}) = \\frac{2}{3}$

c) Calcúlese la probabilidad de que las dos personas elegidas sean del mismo sexo.

Razonamiento: El suceso "ambas personas elegidas sean del mismo sexo" ocurre si ambas son mujeres (MM) o ambas son hombres (HH). Estos son sucesos mutuamente excluyentes. Calculamos la probabilidad de que ambas sean hombres: $\\text{Casos favorables (2H)} = \\binom{4}{2} = \\frac{4!}{2!(4-2)!} = \\frac{4 \\times 3}{2 \\times 1} = 6$ $P(\\text{2 Hombres}) = \\frac{\\text{Casos favorables (2H)}}{\\text{Casos totales}} = \\frac{6}{45} = \\frac{2}{15}$ La probabilidad de que sean del mismo sexo es la suma de las probabilidades de ambos casos: $P(\\text{Mismo Sexo}) = P(\\text{2 Mujeres}) + P(\\text{2 Hombres}) = \\frac{15}{45} + \\frac{6}{45} = \\frac{21}{45} = \\frac{7}{15}$ Probabilidad (Mismo Sexo): $P(\\text{Mismo Sexo}) = \\frac{7}{15}$

d) Calcúlese la probabilidad de que las dos personas elegidas sean del mismo sexo sabiendo que una de ellas es una mujer.

Razonamiento: Se pide calcular una probabilidad condicionada: $P(\\text{Mismo Sexo} | \\text{Al menos 1 Mujer})$. Usamos la fórmula de la probabilidad condicionada: $P(A|B) = \\frac{P(A \\cap B)}{P(B)}$ Sea A = "Mismo Sexo" (MM o HH) Sea B = "Al menos 1 Mujer" (HM, MH o MM)

El suceso $A \\cap B$ es "Mismo Sexo Y Al menos 1 Mujer". La única forma de que ocurran ambos es que las dos personas elegidas sean mujeres (MM). Por lo tanto, $P(A \\cap B) = P(\\text{2 Mujeres}) = \\frac{15}{45} = \\frac{1}{3}$

Calculamos la probabilidad del suceso condicionante B, "Al menos 1 Mujer". Este es el complementario de "Ninguna Mujer", es decir, "2 Hombres". $P(B) = P(\\text{Al menos 1 Mujer}) = 1 - P(\\text{Ninguna Mujer}) = 1 - P(\\text{2 Hombres})$ Calculamos $P(\\text{2 Hombres})$ como en el apartado c): $P(\\text{2 Hombres}) = \\frac{6}{45} = \\frac{2}{15}$ Entonces, $P(B) = 1 - \\frac{2}{15} = \\frac{13}{15}$

Ahora aplicamos la fórmula de la probabilidad condicionada: $P(\\text{Mismo Sexo} | \\text{Al menos 1 Mujer}) = \\frac{P(\\text{2 Mujeres})}{P(\\text{Al menos 1 Mujer})} = \\frac{1/3}{13/15} = \\frac{1}{3} \\times \\frac{15}{13} = \\frac{15}{39} = \\frac{5}{13}$

Probabilidad (Mismo Sexo | Al menos 1 Mujer): $P(\\text{Mismo Sexo} | \\ge 1 M) = \\frac{5}{13}$

Ejercicio 4.

Una muestra aleatoria simple de 16 jóvenes (n=16) proporciona tiempos de uso diario del móvil (en horas): 4, 5, 4.5, 5, 6, 3.5, 4.5, 2, 4, 5, 3, 5, 5.5, 4, 6, 3

a) Calcúlese la media y la mediana de la muestra.

Razonamiento: Media Muestral ($\\bar{x}$): Se calcula sumando todos los valores y dividiendo por el tamaño de la muestra (n=16). Suma de los valores: $\\sum x_i = 4 + 5 + 4.5 + 5 + 6 + 3.5 + 4.5 + 2 + 4 + 5 + 3 + 5 + 5.5 + 4 + 6 + 3 = 69$ Cálculo de la media: $\\bar{x} = \\frac{\\sum x_i}{n} = \\frac{69}{16} = 4.3125$

Mediana (Me): Se calcula ordenando los datos de menor a mayor y encontrando el valor central. Si el número de datos es par, la mediana es la media de los dos valores centrales. Datos ordenados: 2, 3, 3, 3.5, 4, 4, 4, 4.5, 4.5, 5, 5, 5, 5, 5.5, 6, 6 Como n=16 (par), la mediana es la media de los valores en las posiciones $n/2 = 16/2 = 8$ y $n/2 + 1 = 9$. Valor en la posición 8: 4.5 Valor en la posición 9: 4.5 Cálculo de la mediana: $Me = \\frac{4.5 + 4.5}{2} = \\frac{9}{2} = 4.5$

Resultados del apartado a):

• Media muestral: $\\bar{x} = 4.3125$ horas.
• Mediana: $Me = 4.5$ horas.

b) El tiempo de uso diario del móvil por jóvenes se puede aproximar por una distribución normal de media $\\mu$ horas y desviación típica $\\sigma = 4$ horas. Para la muestra de tamaño 16 anterior, determínese un intervalo de confianza al 95% para el tiempo medio de uso diario de móvil ($\\mu$).

Razonamiento: Se pide un intervalo de confianza para la media poblacional $\\mu$ cuando la desviación típica poblacional $\\sigma$ es conocida ($\\sigma = 4$). La población sigue una distribución normal, por lo que la media muestral $\\bar{X}$ sigue una distribución normal $N(\\mu, \\sigma/\\sqrt{n})$. El intervalo de confianza para $\\mu$ al nivel de confianza $(1-\\alpha)$ viene dado por: $IC = \\left( \\bar{x} - Z_{\\alpha/2} \\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}}, \\bar{x} + Z_{\\alpha/2} \\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}} \\right)$ Datos:

• Media muestral: $\\bar{x} = 4.3125$ (calculada en a))
• Desviación típica poblacional: $\\sigma = 4$
• Tamaño de la muestra: $n = 16$
• Nivel de confianza: $1 - \\alpha = 0.95$. Esto implica $\\alpha = 0.05$ y $\\alpha/2 = 0.025$.

Necesitamos encontrar el valor crítico $Z_{\\alpha/2} = Z_{0.025}$. Este es el valor de la distribución normal estándar N(0,1) tal que $P(Z > Z_{0.025}) = 0.025$, o equivalentemente, $P(Z \\le Z_{0.025}) = 1 - 0.025 = 0.975$. Buscamos 0.975 en el interior de la tabla de la N(0,1) proporcionada. El valor corresponde a $z = 1.96$. Por lo tanto, $Z_{\\alpha/2} = 1.96$.

Calculamos el error estándar: $\\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}} = \\frac{4}{\\sqrt{16}} = \\frac{4}{4} = 1$ Calculamos el margen de error: $E = Z_{\\alpha/2} \\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}} = 1.96 \\times 1 = 1.96$ Construimos el intervalo de confianza: $IC = (\\bar{x} - E, \\bar{x} + E) = (4.3125 - 1.96, 4.3125 + 1.96)$ $IC = (2.3525, 6.2725)$

Intervalo de confianza al 95% para $\\mu$: $(2.3525, 6.2725)$ horas. Esto significa que tenemos una confianza del 95% de que la verdadera media poblacional del tiempo de uso diario del móvil por jóvenes de 18 a 25 años se encuentra entre 2.3525 y 6.2725 horas.