Examen Resuelto Selectividad EVAU UCLM Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II 2024

Sección 1 Bloque 1

1.

a)

Primero, identificamos las variables del problema:

• $x$: cantidad de kilos de planchas de acero.
• $y$: cantidad de kilos de planchas de aluminio.

La función objetivo es maximizar el beneficio. El beneficio por cada kilo de plancha de acero es de 45€ y por cada kilo de plancha de aluminio es de 30€. Por lo tanto, la función objetivo es:

$B(x, y) = 45x + 30y$

Las restricciones del problema son:

• Horas de trabajo: Cada kilo de acero requiere 4 horas y cada kilo de aluminio requiere 7 horas. La industria dispone de 200 horas semanales. $4x + 7y ≤ 200$
• Gasto de material: Cada kilo de acero tiene un coste de 60€ y cada kilo de aluminio de 48€. La industria dispone de 2088€ semanales. $60x + 48y ≤ 2088$
• Producción mínima de acero: Se deben producir al menos 15 kg de planchas de acero. $x ≥ 15$
• Producción mínima de aluminio: Se deben producir al menos 10 kg de planchas de aluminio. $y ≥ 10$
• No negatividad: Las cantidades producidas no pueden ser negativas. $x ≥ 0, y ≥ 0$

La región factible se define por el conjunto de puntos $(x, y)$ que satisfacen todas las restricciones. Para representarla gráficamente, se trazan las rectas correspondientes a cada inecuación y se identifica la región que cumple con todas ellas.

b)

Para determinar la cantidad de kilos de cada tipo de plancha que maximizan el beneficio, se evalúa la función objetivo en los vértices de la región factible. Los vértices son los puntos de intersección de las rectas que definen las restricciones.

Los vértices son:

• $(15, 10)$
• $(15, 20)$
• $(26, 14)$
• $(34.8, 10)$

Evaluando la función objetivo en cada vértice:

• $B(15, 10) = 45(15) + 30(10) = 975$
• $B(15, 20) = 45(15) + 30(20) = 1275$
• $B(26, 14) = 45(26) + 30(14) = 1590$
• $B(34.8, 10) = 45(34.8) + 30(10) = 1866$

El beneficio máximo se obtiene al producir 34.8 kg de planchas de acero y 10 kg de planchas de aluminio, con un beneficio de 1866€.

2.

a)

Definimos las variables:

• $x$: cantidad de agua en Torre de Abraham (hm³)
• $y$: cantidad de agua en Gasset (hm³)
• $z$: cantidad de agua en Azután (hm³)

Planteamos las ecuaciones según la información dada:

• Total de agua: $x + y + z = 156$
• Agua en Azután: $z = 2(x - y)$
• Agua en Gasset: $y = \frac{1}{3}z$

El sistema de ecuaciones es:

$x + y + z = 156$ $z = 2x - 2y$ $y = \\frac{1}{3}z$

b)

Sustituimos la tercera ecuación en la segunda:

$z = 2x - 2(\\frac{1}{3}z)$

$z = 2x - \\frac{2}{3}z$

$\\frac{5}{3}z = 2x$

$x = \\frac{5}{6}z$

Sustituimos la tercera ecuación y la expresión de $x$ en la primera ecuación:

$\\frac{5}{6}z + \\frac{1}{3}z + z = 156$

$\\frac{5}{6}z + \\frac{2}{6}z + \\frac{6}{6}z = 156$

$\\frac{13}{6}z = 156$

$z = \\frac{156 \\cdot 6}{13} = 72$

Ahora, encontramos $y$:

$y = \\frac{1}{3}z = \\frac{1}{3}(72) = 24$

Finalmente, encontramos $x$:

$x = \\frac{5}{6}z = \\frac{5}{6}(72) = 60$

Por lo tanto, la cantidad de agua en cada embalse es:

• Torre de Abraham: 60 hm³
• Gasset: 24 hm³
• Azután: 72 hm³

Sección 1 Bloque 2

1.

a)

Para que la función sea continua en $x=c$, los límites laterales en ese punto deben ser iguales y coincidir con el valor de la función en ese punto. Es decir:

$\\lim_{{x \\to c^-}} P(x) = \\lim_{{x \\to c^+}} P(x) = P(c)$

Para $x ≤ c$, $P(x) = 18x^2 - 100x + 162$.

Para $x > c$, $P(x) = -x^3 + 18x^2 - 96x + 162$.

Calculamos los límites laterales:

$\\lim_{{x \\to c^-}} P(x) = \\lim_{{x \\to c^-}} (18x^2 - 100x + 162) = 18c^2 - 100c + 162$

$\\lim_{{x \\to c^+}} P(x) = \\lim_{{x \\to c^+}} (-x^3 + 18x^2 - 96x + 162) = -c^3 + 18c^2 - 96c + 162$

Igualamos los límites laterales:

$18c^2 - 100c + 162 = -c^3 + 18c^2 - 96c + 162$

$c^3 - 4c = 0$

$c(c^2 - 4) = 0$

$c(c - 2)(c + 2) = 0$

Las soluciones son $c = 0$, $c = 2$ y $c = -2$. Dado que $0 ≤ x ≤ c$, descartamos $c = -2$. Además, $c < x < 10$, por lo que $c = 0$ no es una solución válida porque el segundo tramo de la función no estaría definido.

Por lo tanto, el único valor de $c$ para el que la función es continua es $c = 2$.

b)

Para $c=2$, la función a partir del segundo día es $P(x) = -x^3 + 18x^2 - 96x + 162$ para $2 < x < 10$.

Para encontrar los máximos y mínimos, derivamos la función e igualamos a cero:

$P'(x) = -3x^2 + 36x - 96$

$-3x^2 + 36x - 96 = 0$

$x^2 - 12x + 32 = 0$

$(x - 4)(x - 8) = 0$

Las soluciones son $x = 4$ y $x = 8$.

Para determinar si son máximos o mínimos, utilizamos el criterio de la segunda derivada:

$P''(x) = -6x + 36$

$P''(4) = -6(4) + 36 = 12 > 0$ (mínimo)

$P''(8) = -6(8) + 36 = -12 < 0$ (máximo)

Evaluamos la función en los puntos críticos y en los extremos del intervalo $(2, 10)$:

$P(2) = -(2)^3 + 18(2)^2 - 96(2) + 162 = 34$ $P(4) = -(4)^3 + 18(4)^2 - 96(4) + 162 = 50$ $P(8) = -(8)^3 + 18(8)^2 - 96(8) + 162 = 34$ $P(10) = -(10)^3 + 18(10)^2 - 96(10) + 162 = 2$

El precio mínimo se alcanza en $x = 10$ (décimo día) con un valor de 2€. El precio máximo se alcanza en $x = 4$ (cuarto día) con un valor de 50€.

c)

Para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, analizamos el signo de la primera derivada $P'(x) = -3x^2 + 36x - 96$ en el intervalo $(2, 10)$.

Sabemos que $P'(x) = 0$ en $x = 4$ y $x = 8$. Estos puntos dividen el intervalo en tres subintervalos: $(2, 4)$, $(4, 8)$ y $(8, 10)$.

• En $(2, 4)$, tomamos $x = 3$: $P'(3) = -3(3)^2 + 36(3) - 96 = -27 + 108 - 96 = -15 < 0$ (decreciente)
• En $(4, 8)$, tomamos $x = 6$: $P'(6) = -3(6)^2 + 36(6) - 96 = -108 + 216 - 96 = 12 > 0$ (creciente)
• En $(8, 10)$, tomamos $x = 9$: $P'(9) = -3(9)^2 + 36(9) - 96 = -243 + 324 - 96 = -15 < 0$ (decreciente)

Por lo tanto, el precio de las acciones crece en el intervalo $(4, 8)$ y decrece en los intervalos $(2, 4)$ y $(8, 10)$.

2.

La función es $f(x) = ax^3 + bx^2 + c$.

Sabemos que pasa por el punto $(0, 3)$, entonces $f(0) = 3$:

$a(0)^3 + b(0)^2 + c = 3$

$c = 3$

La ecuación de la recta tangente en $(1, 8)$ es $y = 2x + 6$. Esto significa que $f(1) = 8$ y $f'(1) = 2$ (la pendiente de la recta tangente).

Primero, $f(1) = 8$:

$a(1)^3 + b(1)^2 + c = 8$

$a + b + c = 8$

Como $c = 3$, tenemos:

$a + b + 3 = 8$

$a + b = 5$

Ahora, derivamos la función:

$f'(x) = 3ax^2 + 2bx$

Como $f'(1) = 2$:

$3a(1)^2 + 2b(1) = 2$

$3a + 2b = 2$

Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

$a + b = 5$

$3a + 2b = 2$

Resolvemos el sistema. Multiplicamos la primera ecuación por -2:

$-2a - 2b = -10$

Sumamos esta ecuación a la segunda:

$3a + 2b - 2a - 2b = 2 - 10$

$a = -8$

Sustituimos $a = -8$ en la primera ecuación:

$-8 + b = 5$

$b = 13$

Por lo tanto, los valores de los parámetros son $a = -8$, $b = 13$ y $c = 3$. La función es $f(x) = -8x^3 + 13x^2 + 3$.

Sección 2 Bloque 1

3.

a)

Definimos los eventos:

• M: Reparación de moto
• C: Reparación de coche
• F: Reparación de furgoneta
• S: Reparación pagada por el seguro

Las probabilidades dadas son:

• $P(M) = 0.10$
• $P(C) = 0.70$
• $P(F) = 1 - P(M) - P(C) = 1 - 0.10 - 0.70 = 0.20$
• $P(S|M) = 0.20$
• $P(S|C) = 0.60$
• $P(S|F) = 0.85$

Queremos encontrar la probabilidad de que la reparación no la pague el seguro, es decir, $P(S^c)$, donde $S^c$ es el complemento de $S$.

Primero, calculamos la probabilidad de que la reparación la pague el seguro, $P(S)$, usando el teorema de la probabilidad total:

$P(S) = P(S|M)P(M) + P(S|C)P(C) + P(S|F)P(F)$

$P(S) = (0.20)(0.10) + (0.60)(0.70) + (0.85)(0.20) = 0.02 + 0.42 + 0.17 = 0.61$

Ahora, calculamos la probabilidad de que la reparación no la pague el seguro:

$P(S^c) = 1 - P(S) = 1 - 0.61 = 0.39$

La probabilidad de que la reparación no la pague el seguro es 0.39.

b)

Queremos encontrar la probabilidad de que sea una moto dado que la reparación la ha pagado el seguro, es decir, $P(M|S)$. Usamos el teorema de Bayes:

$P(M|S) = \\frac{P(S|M)P(M)}{P(S)}$

Ya calculamos $P(S) = 0.61$ en el apartado anterior. Sustituimos los valores:

$P(M|S) = \\frac{(0.20)(0.10)}{0.61} = \\frac{0.02}{0.61} \\approx 0.0328$

La probabilidad de que sea una moto dado que la reparación la ha pagado el seguro es aproximadamente 0.0328.

4.

a)

Datos:

• Tamaño de la muestra, $n = 12$
• Varianza poblacional, $\sigma^2 = 4$
• Desviación típica poblacional, $\sigma = \sqrt{4} = 2$
• Nivel de confianza, $1 - \alpha = 0.9596$

Primero, calculamos la media muestral, $\bar{x}$:

$\\bar{x} = \\frac{6.5 + 8.4 + 9.6 + 7.4 + 7.1 + 6.8 + 8.8 + 8.3 + 8.0 + 7.1 + 7.8 + 9.0}{12} = \\frac{94.8}{12} = 7.9$

Para un nivel de confianza del 95.96%, el valor crítico $z_{\alpha/2}$ se encuentra en las tablas de la distribución normal estándar. Para $1 - \alpha = 0.9596$, $\alpha = 0.0404$, y $\alpha/2 = 0.0202$. Buscamos el valor $z$ tal que $P(Z > z) = 0.0202$. En las tablas, encontramos que $z_{\alpha/2} = 2.05$.

El intervalo de confianza para la media poblacional viene dado por:

$\\bar{x} \\pm z_{\\alpha/2} \\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}}$

$7.9 \\pm 2.05 \\frac{2}{\\sqrt{12}}$

$7.9 \\pm 2.05 \\frac{2}{3.464}$

$7.9 \\pm 2.05(0.577)$

$7.9 \\pm 1.183$

$(7.9 - 1.183, 7.9 + 1.183)$

$(6.717, 9.083)$

El intervalo de confianza para la media poblacional de las horas de sueño con un nivel de confianza del 95.96% es (6.717, 9.083).

b)

Datos:

• Tamaño de la muestra, $n = 64$
• Desviación típica poblacional, $\sigma = 2$
• Nivel de confianza, $1 - \alpha = 0.9652$

Para un nivel de confianza del 96.52%, $\alpha = 0.0348$, y $\alpha/2 = 0.0174$. Buscamos el valor $z$ tal que $P(Z > z) = 0.0174$. En las tablas, encontramos que $z_{\alpha/2} = 2.11$.

El error máximo admisible viene dado por:

$E = z_{\\alpha/2} \\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}}$

$E = 2.11 \\frac{2}{\\sqrt{64}}$

$E = 2.11 \\frac{2}{8}$

$E = 2.11(0.25)$

$E = 0.5275$

El error máximo admisible es 0.5275.

Sección 2 Bloque 2

3.

a)

Definimos las variables:

• $x$: número de bebés llamados Alba
• $y$: número de bebés llamados Pablo
• $z$: número de bebés llamados David

Planteamos las ecuaciones según la información dada:

• Total de bebés: $x + y + z = 72$
• Bebés llamados David: $z = y - x$
• Bebés llamados Alba: $x = z + \frac{1}{3}y$

El sistema de ecuaciones es:

$x + y + z = 72$ $z = y - x$ $x = z + \\frac{1}{3}y$

b)

Reorganizamos la segunda ecuación:

$x + z = y$

Sustituimos esta expresión en la primera ecuación:

$x + (x + z) + z = 72$

$2x + 2z = 72$

$x + z = 36$

Reorganizamos la tercera ecuación:

$x - z = \\frac{1}{3}y$

Sustituimos $y = x + z$ en esta ecuación:

$x - z = \\frac{1}{3}(x + z)$

$3x - 3z = x + z$

$2x = 4z$

$x = 2z$

Sustituimos $x = 2z$ en $x + z = 36$:

$2z + z = 36$

$3z = 36$

$z = 12$

Ahora, encontramos $x$:

$x = 2z = 2(12) = 24$

Finalmente, encontramos $y$:

$y = x + z = 24 + 12 = 36$

Por lo tanto, la cantidad de bebés inscritos con cada nombre es:

• Alba: 24
• Pablo: 36
• David: 12

4.

a)

Primero, calculamos $A^2$:

A^2 = A \\cdot A = \\begin{pmatrix} 5 & -4 & 2 \\\\ 2 & -1 & 1 \\\\ -4 & 4 & -1 \\end{pmatrix} \\cdot \\begin{pmatrix} 5 & -4 & 2 \\\\ 2 & -1 & 1 \\\\ -4 & 4 & -1 \\end{pmatrix}

A^2 = \\begin{pmatrix} 5(5) + (-4)(2) + 2(-4) & 5(-4) + (-4)(-1) + 2(4) & 5(2) + (-4)(1) + 2(-1) \\\\ 2(5) + (-1)(2) + 1(-4) & 2(-4) + (-1)(-1) + 1(4) & 2(2) + (-1)(1) + 1(-1) \\\\ -4(5) + 4(2) + (-1)(-4) & -4(-4) + 4(-1) + (-1)(4) & -4(2) + 4(1) + (-1)(-1) \\end{pmatrix}

A^2 = \\begin{pmatrix} 25 - 8 - 8 & -20 + 4 + 8 & 10 - 4 - 2 \\\\ 10 - 2 - 4 & -8 + 1 + 4 & 4 - 1 - 1 \\\\ -20 + 8 + 4 & 16 - 4 - 4 & -8 + 4 + 1 \\end{pmatrix}

A^2 = \\begin{pmatrix} 9 & -8 & 4 \\\\ 4 & -3 & 2 \\\\ -8 & 8 & -3 \\end{pmatrix}

Ahora, calculamos $2A - I$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 3:

2A - I = 2 \\begin{pmatrix} 5 & -4 & 2 \\\\ 2 & -1 & 1 \\\\ -4 & 4 & -1 \\end{pmatrix} - \\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \\end{pmatrix}

2A - I = \\begin{pmatrix} 10 & -8 & 4 \\\\ 4 & -2 & 2 \\\\ -8 & 8 & -2 \\end{pmatrix} - \\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \\end{pmatrix}

2A - I = \\begin{pmatrix} 10 - 1 & -8 - 0 & 4 - 0 \\\\ 4 - 0 & -2 - 1 & 2 - 0 \\\\ -8 - 0 & 8 - 0 & -2 - 1 \\end{pmatrix}

2A - I = \\begin{pmatrix} 9 & -8 & 4 \\\\ 4 & -3 & 2 \\\\ -8 & 8 & -3 \\end{pmatrix}

Como $A^2 = 2A - I$, se comprueba la igualdad.

b)

Queremos expresar $A^4$ en términos de $A$ e $I$. Usamos la relación $A^2 = 2A - I$:

$A^4 = (A^2)^2 = (2A - I)^2$

$A^4 = (2A - I)(2A - I) = 4A^2 - 2AI - 2IA + I^2$

$A^4 = 4A^2 - 4A + I$

Sustituimos $A^2 = 2A - I$:

$A^4 = 4(2A - I) - 4A + I$

$A^4 = 8A - 4I - 4A + I$

$A^4 = 4A - 3I$

Ahora, calculamos $A^4$:

A^4 = 4 \\begin{pmatrix} 5 & -4 & 2 \\\\ 2 & -1 & 1 \\\\ -4 & 4 & -1 \\end{pmatrix} - 3 \\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \\end{pmatrix}

A^4 = \\begin{pmatrix} 20 & -16 & 8 \\\\ 8 & -4 & 4 \\\\ -16 & 16 & -4 \\end{pmatrix} - \\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\\\ 0 & 3 & 0 \\\\ 0 & 0 & 3 \\end{pmatrix}

A^4 = \\begin{pmatrix} 20 - 3 & -16 - 0 & 8 - 0 \\\\ 8 - 0 & -4 - 3 & 4 - 0 \\\\ -16 - 0 & 16 - 0 & -4 - 3 \\end{pmatrix}

A^4 = \\begin{pmatrix} 17 & -16 & 8 \\\\ 8 & -7 & 4 \\\\ -16 & 16 & -7 \\end{pmatrix}

Sección 3 Bloque 1

5.

a)

Definimos los eventos:

• $S$: Ver series
• $D$: Ver documentales

Las probabilidades dadas son:

• $P(S) = 0.70$
• $P(D) = 0.20$
• $P(S \cap D) = 0.12$

Queremos encontrar la probabilidad de que un usuario no vea ni series ni documentales, es decir, $P(S^c \cap D^c)$. Usando las leyes de De Morgan, sabemos que $P(S^c \cap D^c) = P((S \cup D)^c) = 1 - P(S \cup D)$.

Primero, calculamos la probabilidad de que un usuario vea series o documentales, $P(S \cup D)$, usando la fórmula:

$P(S \\cup D) = P(S) + P(D) - P(S \\cap D)$

$P(S \\cup D) = 0.70 + 0.20 - 0.12 = 0.78$

Ahora, calculamos la probabilidad de que no vea ni series ni documentales:

$P(S^c \\cap D^c) = 1 - P(S \\cup D) = 1 - 0.78 = 0.22$

El porcentaje de usuarios que no ve ni series ni documentales es del 22%.

b)

Queremos encontrar la probabilidad de que un usuario vea documentales dado que ve series, es decir, $P(D|S)$. Usamos la fórmula de probabilidad condicional:

$P(D|S) = \\frac{P(D \\cap S)}{P(S)}$

$P(D|S) = \\frac{0.12}{0.70} \\approx 0.1714$

La probabilidad de que un usuario vea documentales dado que ve series es aproximadamente 0.1714.

6.

a)

Datos:

• Tamaño de la muestra, $n = 100$
• Desviación típica poblacional, $\sigma = 280$
• Media muestral, $\bar{x} = 486$
• Nivel de confianza, $1 - \alpha = 0.95$

Para un nivel de confianza del 95%, $\alpha = 0.05$, y $\alpha/2 = 0.025$. Buscamos el valor $z$ tal que $P(Z > z) = 0.025$. En las tablas de la distribución normal estándar, encontramos que $z_{\alpha/2} = 1.96$.

El intervalo de confianza para la media poblacional viene dado por:

$\\bar{x} \\pm z_{\\alpha/2} \\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}}$

$486 \\pm 1.96 \\frac{280}{\\sqrt{100}}$

$486 \\pm 1.96 \\frac{280}{10}$

$486 \\pm 1.96(28)$

$486 \\pm 54.88$

$(486 - 54.88, 486 + 54.88)$

$(431.12, 540.88)$

El intervalo de confianza para la media poblacional del número de llamadas con un nivel de confianza del 95% es (431.12, 540.88).

b)

Si aumentamos el tamaño de la muestra $n$, manteniendo el mismo nivel de confianza, el error del intervalo de confianza, dado por $z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$, disminuirá. Esto se debe a que $\sqrt{n}$ está en el denominador, por lo que al aumentar $n$, el valor de la fracción disminuye.

Como el error disminuye, la amplitud del intervalo de confianza, que es dos veces el error, también disminuirá. Por lo tanto, al aumentar el tamaño de la muestra, el intervalo de confianza se hace más estrecho.

c)

Para determinar si se puede aceptar la afirmación de que la media de llamadas al día es de 500 con un nivel de confianza del 99%, calculamos el intervalo de confianza para este nivel.

Para un nivel de confianza del 99%, $\alpha = 0.01$, y $\alpha/2 = 0.005$. Buscamos el valor $z$ tal que $P(Z > z) = 0.005$. En las tablas, encontramos que $z_{\alpha/2} = 2.575$.

El intervalo de confianza es:

$486 \\pm 2.575 \\frac{280}{\\sqrt{100}}$

$486 \\pm 2.575(28)$

$486 \\pm 72.1$

$(486 - 72.1, 486 + 72.1)$

$(413.9, 558.1)$

El intervalo de confianza para la media poblacional con un nivel de confianza del 99% es (413.9, 558.1).

Como el valor 500 está dentro de este intervalo, se puede aceptar la afirmación de que la media de llamadas al día es de 500 con un nivel de confianza del 99%.

Sección 3 Bloque 2

5.

a)

Para que el rendimiento económico sea continuo en $x = 5$, los límites laterales en ese punto deben ser iguales y coincidir con el valor de la función en ese punto.

Para $2 < x ≤ 5$, $R(x) = (5 + t)x - 1$.

Para $5 < x ≤ 11$, $R(x) = -(x + t)^2 + (14 + t)x - 30$.

Calculamos los límites laterales:

$\\lim_{{x \\to 5^-}} R(x) = \\lim_{{x \\to 5^-}} ((5 + t)x - 1) = (5 + t)(5) - 1 = 25 + 5t - 1 = 24 + 5t$

$\\lim_{{x \\to 5^+}} R(x) = \\lim_{{x \\to 5^+}} (-(x + t)^2 + (14 + t)x - 30) = -(5 + t)^2 + (14 + t)(5) - 30$

$= -(25 + 10t + t^2) + 70 + 5t - 30 = -25 - 10t - t^2 + 70 + 5t - 30 = -t^2 - 5t + 15$

Igualamos los límites laterales:

$24 + 5t = -t^2 - 5t + 15$

$t^2 + 10t + 9 = 0$

$(t + 1)(t + 9) = 0$

Las soluciones son $t = -1$ y $t = -9$.

Por lo tanto, para $t = -1$ y $t = -9$ el rendimiento económico del fármaco es continuo en $x = 5$.

b)

Para $t = 0$, la función es:

R(x) = \\begin{cases} 2x + 4 & \\text{si } 0 ≤ x ≤ 2 \\\\ 5x - 1 & \\text{si } 2 < x ≤ 5 \\\\ -(x)^2 + 14x - 30 & \\text{si } 5 < x ≤ 11 \\end{cases}

Para representar gráficamente la función, evaluamos cada tramo en algunos puntos clave y trazamos los segmentos correspondientes.

• Para $0 ≤ x ≤ 2$:
  • $R(0) = 2(0) + 4 = 4$
  • $R(2) = 2(2) + 4 = 8$
• Para $2 < x ≤ 5$:
  • $R(2) = 5(2) - 1 = 9$ (no incluido en este tramo)
  • $R(5) = 5(5) - 1 = 24$
• Para $5 < x ≤ 11$:
  • $R(5) = -(5)^2 + 14(5) - 30 = -25 + 70 - 30 = 15$ (no incluido en este tramo)
  • $R(11) = -(11)^2 + 14(11) - 30 = -121 + 154 - 30 = 3$

Además, para el tercer tramo, encontramos el vértice de la parábola:

$x_v = \\frac{-b}{2a} = \\frac{-14}{2(-1)} = 7$

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