Examen Resuelto Prueba de Acceso UNED UCM Matemáticas II 2024

OPCIÓN A

A.1.

Razonamiento:

1. Se definen las variables:
   • T = número de tenedores
   • K = número de cuchillos
   • C = número de cucharas
2. Se traducen las condiciones del enunciado a ecuaciones:
   • "el número de tenedores menos el número de cuchillos excede en 10 el doble del número de cucharas": $T - K = 2C + 10 \\implies T - K - 2C = 10$
   • "al doble del número de cuchillos le falta 30 para ser igual al doble del número de tenedores menos el triple del número de cucharas": $2K + 30 = 2T - 3C \\implies 2T - 2K - 3C = 30$
   • "La suma de cubiertos es igual a 50": $T + K + C = 50$
3. Se plantea el sistema de ecuaciones lineales: \\begin{cases} T - K - 2C = 10 & (E1) \\\\ 2T - 2K - 3C = 30 & (E2) \\\\ T + K + C = 50 & (E3) \\end{cases}
4. Se resuelve el sistema. Podemos observar que la segunda ecuación (E2) es muy similar al doble de la primera (E1). Multiplicamos (E1) por 2: $2(T - K - 2C) = 2(10) \\implies 2T - 2K - 4C = 20$ Restamos esta nueva ecuación de (E2): $(2T - 2K - 3C) - (2T - 2K - 4C) = 30 - 20$ $C = 10$
5. Sustituimos C = 10 en (E1) y (E3):
   • En (E1): $T - K - 2(10) = 10 \\implies T - K = 30$ (E4)
   • En (E3): $T + K + 10 = 50 \\implies T + K = 40$ (E5)
6. Se resuelve el sistema formado por (E4) y (E5): Sumamos (E4) y (E5): $(T - K) + (T + K) = 30 + 40$ $2T = 70 \\implies T = 35$ Sustituimos T = 35 en (E5): $35 + K = 40 \\implies K = 5$
7. La solución del sistema es T = 35, K = 5, C = 10.
8. Se responden las preguntas del enunciado:
   • ¿Cuántas cucharas y cuántos tenedores hay? Hay 10 cucharas y 35 tenedores.
   • ¿Cuál es el mayor número de juegos completos de cuchara, tenedor y cuchillo? Un juego completo requiere una cuchara, un tenedor y un cuchillo. El número máximo de juegos completos está limitado por el cubierto con menor cantidad, que son los cuchillos (K=5). Por lo tanto, se pueden rehacer como máximo 5 juegos completos.

Respuesta:

• Hay 10 cucharas y 35 tenedores.
• El mayor número de juegos completos que podemos rehacer es 5.

A.2.

Razonamiento: La función es f(x) = \\begin{cases} \\sqrt{1-x} & \\text{si } x < 0 \\\\ \\sqrt{x+1} & \\text{si } x \\ge 0 \\end{cases}

a) Paridad y Continuidad: * Paridad: Se evalúa $f(-x)$. Si $x > 0$, entonces $-x < 0$. $f(-x) = \\sqrt{1 - (-x)} = \\sqrt{1+x}$. En este caso, $f(x) = \\sqrt{x+1}$, por lo que $f(-x) = f(x)$. Si $x < 0$, entonces $-x > 0$. $f(-x) = \\sqrt{(-x) + 1} = \\sqrt{1-x}$. En este caso, $f(x) = \\sqrt{1-x}$, por lo que $f(-x) = f(x)$. Si $x = 0$, $f(0) = \\sqrt{0+1} = 1$. $f(-0) = f(0) = 1$. Como $f(-x) = f(x)$ para todo $x \\in \\mathbb{R}$, la función es par. * Continuidad: La función está definida por partes. Cada parte es una función raíz cuadrada, continua en su dominio de definición. Para $x < 0$, $f(x) = \\sqrt{1-x}$ es continua ya que $1-x > 0$. Para $x > 0$, $f(x) = \\sqrt{x+1}$ es continua ya que $x+1 > 0$. Se estudia la continuidad en el punto de unión, $x=0$. $f(0) = \\sqrt{0+1} = 1$ Límite por la izquierda: $\\lim_{x \\to 0^-} f(x) = \\lim_{x \\to 0^-} \\sqrt{1-x} = \\sqrt{1-0} = 1$ Límite por la derecha: $\\lim_{x \\to 0^+} f(x) = \\lim_{x \\to 0^+} \\sqrt{x+1} = \\sqrt{0+1} = 1$ Como $\\lim_{x \\to 0^-} f(x) = \\lim_{x \\to 0^+} f(x) = f(0) = 1$, la función es continua en $x=0$. Por lo tanto, la función es continua en todo su dominio $\\mathbb{R}$.

b) Diferenciabilidad y Teorema de Rolle: * Diferenciabilidad: Se calcula la derivada de cada parte: Si $x < 0$, $f'(x) = \\frac{d}{dx} (\\sqrt{1-x}) = \\frac{d}{dx} (1-x)^{1/2} = \\frac{1}{2}(1-x)^{-1/2}(-1) = \\frac{-1}{2\\sqrt{1-x}}$ Si $x > 0$, $f'(x) = \\frac{d}{dx} (\\sqrt{x+1}) = \\frac{d}{dx} (x+1)^{1/2} = \\frac{1}{2}(x+1)^{-1/2}(1) = \\frac{1}{2\\sqrt{x+1}}$ La función es derivable para $x \\neq 0$. Se estudia la derivabilidad en $x=0$ calculando las derivadas laterales: Derivada por la izquierda: $f'_{-}(0) = \\lim_{x \\to 0^-} f'(x) = \\lim_{x \\to 0^-} \\frac{-1}{2\\sqrt{1-x}} = \\frac{-1}{2\\sqrt{1}} = -\\frac{1}{2}$ Derivada por la derecha: $f'_{+}(0) = \\lim_{x \\to 0^+} f'(x) = \\lim_{x \\to 0^+} \\frac{1}{2\\sqrt{x+1}} = \\frac{1}{2\\sqrt{1}} = \\frac{1}{2}$ Como las derivadas laterales en $x=0$ son distintas ($f'_{-}(0) \\neq f'_{+}(0)$), la función no es derivable en x=0. Es derivable en $\\mathbb{R} - \\{0\\}$. * Teorema de Rolle en (-2, 2): Para aplicar el Teorema de Rolle a $f(x)$ en el intervalo $[-2, 2]$, se deben cumplir tres condiciones: 1. $f(x)$ debe ser continua en $[-2, 2]$. Como se demostró en a), $f(x)$ es continua en $\\mathbb{R}$, por lo tanto es continua en $[-2, 2]$. (Se cumple) 2. $f(x)$ debe ser derivable en $(-2, 2)$. Como se demostró, $f(x)$ no es derivable en $x=0$, y $0 \\in (-2, 2)$. (No se cumple) 3. $f(-2) = f(2)$. $f(-2) = \\sqrt{1 - (-2)} = \\sqrt{1+2} = \\sqrt{3}$ $f(2) = \\sqrt{2+1} = \\sqrt{3}$ Por lo tanto, $f(-2) = f(2)$. (Se cumple) Dado que la función no es derivable en todo el intervalo abierto $(-2, 2)$, no se puede aplicar el Teorema de Rolle en este intervalo.

c) Área de la región acotada: Se pide el área comprendida entre $f(x)$ y la recta $y = \\sqrt{2}$. Primero, se encuentran los puntos de intersección entre $y = f(x)$ y $y = \\sqrt{2}$. * Si $x < 0$, $\\sqrt{1-x} = \\sqrt{2} \\implies 1-x = 2 \\implies x = -1$ * Si $x \\ge 0$, $\\sqrt{x+1} = \\sqrt{2} \\implies x+1 = 2 \\implies x = 1$ Los puntos de corte son $x=-1$ y $x=1$. En el intervalo $(-1, 1)$, se compara $f(x)$ con $\\sqrt{2}$. Por ejemplo, en $x=0$, $f(0) = 1$ y $\\sqrt{2} \\approx 1.414$. Como $f(0) < \\sqrt{2}$, la recta $y=\\sqrt{2}$ está por encima de la gráfica de $f(x)$ en el intervalo $[-1, 1]$. El área $A$ se calcula mediante la integral definida: $A = \\int_{-1}^{1} (\\sqrt{2} - f(x)) dx$ Debido a la definición por partes de $f(x)$, se divide la integral en dos: $A = \\int_{-1}^{0} (\\sqrt{2} - \\sqrt{1-x}) dx + \\int_{0}^{1} (\\sqrt{2} - \\sqrt{x+1}) dx$ Se calculan las primitivas: * $\\int \\sqrt{2} dx = \\sqrt{2} x$ * $\\int \\sqrt{1-x} dx = \\int (1-x)^{1/2} dx$. Sea $u=1-x$, $du=-dx$. $\\int u^{1/2} (-du) = -\\frac{u^{3/2}}{3/2} = -\\frac{2}{3}(1-x)^{3/2}$ * $\\int \\sqrt{x+1} dx = \\int (x+1)^{1/2} dx$. Sea $v=x+1$, $dv=dx$. $\\int v^{1/2} dv = \\frac{v^{3/2}}{3/2} = \\frac{2}{3}(x+1)^{3/2}$ Se evalúan las integrales definidas: * $\\int_{-1}^{0} (\\sqrt{2} - \\sqrt{1-x}) dx = \\left[ \\sqrt{2} x + \\frac{2}{3}(1-x)^{3/2} \\right]_{-1}^{0}$ $= \\left( \\sqrt{2}(0) + \\frac{2}{3}(1-0)^{3/2} \\right) - \\left( \\sqrt{2}(-1) + \\frac{2}{3}(1-(-1))^{3/2} \\right)$ $= \\left( 0 + \\frac{2}{3}(1)^{3/2} \\right) - \\left( -\\sqrt{2} + \\frac{2}{3}(2)^{3/2} \\right)$ $= \\frac{2}{3} - (-\\sqrt{2} + \\frac{2}{3} \\cdot 2\\sqrt{2}) = \\frac{2}{3} + \\sqrt{2} - \\frac{4\\sqrt{2}}{3} = \\frac{2}{3} - \\frac{\\sqrt{2}}{3}$ * $\\int_{0}^{1} (\\sqrt{2} - \\sqrt{x+1}) dx = \\left[ \\sqrt{2} x - \\frac{2}{3}(x+1)^{3/2} \\right]_{0}^{1}$ $= \\left( \\sqrt{2}(1) - \\frac{2}{3}(1+1)^{3/2} \\right) - \\left( \\sqrt{2}(0) - \\frac{2}{3}(0+1)^{3/2} \\right)$ $= \\left( \\sqrt{2} - \\frac{2}{3}(2)^{3/2} \\right) - \\left( 0 - \\frac{2}{3}(1)^{3/2} \\right)$ $= \\left( \\sqrt{2} - \\frac{2}{3} \\cdot 2\\sqrt{2} \\right) - \\left( -\\frac{2}{3} \\right) = \\sqrt{2} - \\frac{4\\sqrt{2}}{3} + \\frac{2}{3} = \\frac{2}{3} - \\frac{\\sqrt{2}}{3}$ El área total es la suma de las dos integrales: $A = \\left( \\frac{2}{3} - \\frac{\\sqrt{2}}{3} \\right) + \\left( \\frac{2}{3} - \\frac{\\sqrt{2}}{3} \\right) = \\frac{4}{3} - \\frac{2\\sqrt{2}}{3} = \\frac{2}{3}(2 - \\sqrt{2})$

Respuesta: a) La función es par. La función es continua en todo $\\mathbb{R}$. b) La función no es diferenciable en x=0. Es diferenciable en $\\mathbb{R} - \\{0\\}$. No se puede aplicar el Teorema de Rolle en el intervalo $(-2, 2)$ porque la función no es derivable en $x=0$, que pertenece a dicho intervalo. c) El área de la región acotada es $A = \\frac{4 - 2\\sqrt{2}}{3}$ unidades cuadradas.

A.3.

Razonamiento: a) Punto de incidencia y ángulo: * El rayo láser parte de $P(1,2,4)$ y se dirige hacia $O(2,3,0)$. El vector director del rayo es $\\vec{d} = \\vec{PO} = O - P = (2-1, 3-2, 0-4) = (1, 1, -4)$. * La ecuación paramétrica de la recta que contiene al rayo es: $r: \\begin{cases} x = 1 + t \\\\ y = 2 + t \\\\ z = 4 - 4t \\end{cases}, t \\in \\mathbb{R}$ El rayo corresponde a los valores de $t \\ge 0$, ya que para $t=0$ estamos en P y para $t=1$ estamos en O. * Para hallar el punto de incidencia $Q$ del rayo en el plano $\\pi: x + 2y + z = 1$, sustituimos las coordenadas paramétricas de la recta en la ecuación del plano: $(1+t) + 2(2+t) + (4-4t) = 1$ $1 + t + 4 + 2t + 4 - 4t = 1$ $9 - t = 1 \\implies t = 8$ * Como $t=8 \\ge 0$, el punto de intersección pertenece al rayo. Las coordenadas del punto de incidencia $Q$ son: $Q = (1+8, 2+8, 4-4(8)) = (9, 10, 4-32) = (9, 10, -28)$ * El ángulo de incidencia $\\theta$ es el ángulo agudo formado por el vector director del rayo $\\vec{d}$ y el vector normal al plano $\\vec{n}$. El vector normal al plano $\\pi: x + 2y + z = 1$ es $\\vec{n} = (1, 2, 1)$. * Calculamos el coseno del ángulo $\\alpha$ entre $\\vec{d}$ y $\\vec{n}$ usando el producto escalar: $\\cos(\\alpha) = \\frac{\\vec{d} \\cdot \\vec{n}}{|\\vec{d}| |\\vec{n}|}$ $\\vec{d} \\cdot \\vec{n} = (1)(1) + (1)(2) + (-4)(1) = 1 + 2 - 4 = -1$ $|\\vec{d}| = \\sqrt{1^2 + 1^2 + (-4)^2} = \\sqrt{1 + 1 + 16} = \\sqrt{18} = 3\\sqrt{2}$ $|\\vec{n}| = \\sqrt{1^2 + 2^2 + 1^2} = \\sqrt{1 + 4 + 1} = \\sqrt{6}$ $\\cos(\\alpha) = \\frac{-1}{\\sqrt{18} \\sqrt{6}} = \\frac{-1}{\\sqrt{108}} = \\frac{-1}{6\\sqrt{3}} = -\\frac{\\sqrt{3}}{18}$ * El ángulo $\\alpha = \\arccos\\left(-\\frac{\\sqrt{3}}{18}\\right)$ es obtuso. El ángulo de incidencia $\\theta$ se define como el ángulo agudo entre el rayo y la normal, por lo que $\\theta = \\arccos\\left(\\left|\\frac{\\vec{d} \\cdot \\vec{n}}{|\\vec{d}| |\\vec{n}|}\\right|\\right)$. $\\theta = \\arccos\\left(\\frac{1}{\\sqrt{108}}\\right) = \\arccos\\left(\\frac{1}{6\\sqrt{3}}\\right) = \\arccos\\left(\\frac{\\sqrt{3}}{18}\\right)$ (Nota: A veces, el ángulo de incidencia se define como el ángulo entre el rayo y el plano, que sería 90^\\circ - \\theta). Asumiremos que es el ángulo agudo con la normal.

b) Punto simétrico: Se busca el punto $P'(x', y', z')$ tal que $O(2,3,0)$ sea el simétrico de $P'$ respecto del plano $\\pi: x + 2y + z = 1$. Esto implica que el plano $\\pi$ es el plano mediador del segmento $P'O$. Por tanto: 1. El vector $\\vec{P'O} = O - P' = (2-x', 3-y', -z')$ es paralelo al vector normal del plano $\\vec{n} = (1, 2, 1)$. Es decir, $\\vec{P'O} = k \\vec{n}$ para algún escalar $k$. $(2-x', 3-y', -z') = k(1, 2, 1) = (k, 2k, k)$ Esto nos da: $2-x' = k \\implies x' = 2-k$ $3-y' = 2k \\implies y' = 3-2k$ $-z' = k \\implies z' = -k$ 2. El punto medio $M$ del segmento $P'O$ debe pertenecer al plano $\\pi$. $M = \\left( \\frac{x'+2}{2}, \\frac{y'+3}{2}, \\frac{z'+0}{2} \\right) = \\left( \\frac{x'+2}{2}, \\frac{y'+3}{2}, \\frac{z'}{2} \\right)$ Sustituimos las coordenadas de M en la ecuación del plano $\\pi$: $\\left(\\frac{x'+2}{2}\\right) + 2\\left(\\frac{y'+3}{2}\\right) + \\left(\\frac{z'}{2}\\right) = 1$ Multiplicamos por 2: $(x'+2) + 2(y'+3) + z' = 2$ $x' + 2 + 2y' + 6 + z' = 2$ $x' + 2y' + z' = -6$ * Sustituimos las expresiones de $x', y', z'$ en términos de $k$ en esta última ecuación: $(2-k) + 2(3-2k) + (-k) = -6$ $2 - k + 6 - 4k - k = -6$ $8 - 6k = -6$ $-6k = -14$ $k = \\frac{-14}{-6} = \\frac{7}{3}$ * Finalmente, encontramos las coordenadas de $P'$: $x' = 2 - k = 2 - \\frac{7}{3} = \\frac{6-7}{3} = -\\frac{1}{3}$ $y' = 3 - 2k = 3 - 2\\left(\\frac{7}{3}\\right) = 3 - \\frac{14}{3} = \\frac{9-14}{3} = -\\frac{5}{3}$ $z' = -k = -\\frac{7}{3}$ * El punto buscado es $P'\\left(-\\frac{1}{3}, -\\frac{5}{3}, -\\frac{7}{3}\\right)$.

Respuesta: a) El punto donde incide el rayo en el plano $\\pi$ es $Q(9, 10, -28)$. El ángulo de incidencia (ángulo agudo entre el rayo y la normal al plano) es $\\theta = \\arccos\\left(\\frac{\\sqrt{3}}{18}\\right)$. b) Las coordenadas del punto $P'$ son $\\left(-\\frac{1}{3}, -\\frac{5}{3}, -\\frac{7}{3}\\right)$.

A.4.

Razonamiento: Se conocen las siguientes probabilidades: $P(A) = \\frac{7}{12}$ $P(A \\cap \\bar{B}) = \\frac{1}{3}$ (Probabilidad de que ocurra A pero no B) $P(\\bar{A} \\cap B) = \\frac{5}{12}$ (Probabilidad de que ocurra B pero no A)

a) Cálculos sobre A y B: * Cálculo de $P(A \\cap B)$: Se sabe que $P(A) = P(A \\cap B) + P(A \\cap \\bar{B})$. Despejando $P(A \\cap B)$: $P(A \\cap B) = P(A) - P(A \\cap \\bar{B})$ $P(A \\cap B) = \\frac{7}{12} - \\frac{1}{3} = \\frac{7}{12} - \\frac{4}{12} = \\frac{3}{12} = \\frac{1}{4}$ * Cálculo de $P(A \\cup B)$: Se puede usar la fórmula de la unión: $P(A \\cup B) = P(A) + P(B) - P(A \\cap B)$. Primero necesitamos $P(B)$. Se sabe que $P(B) = P(A \\cap B) + P(\\bar{A} \\cap B)$. $P(B) = \\frac{1}{4} + \\frac{5}{12} = \\frac{3}{12} + \\frac{5}{12} = \\frac{8}{12} = \\frac{2}{3}$ Ahora calculamos $P(A \\cup B)$: $P(A \\cup B) = \\frac{7}{12} + \\frac{2}{3} - \\frac{1}{4} = \\frac{7}{12} + \\frac{8}{12} - \\frac{3}{12} = \\frac{7+8-3}{12} = \\frac{12}{12} = 1$ Alternativamente, la unión se puede ver como la suma de las partes disjuntas: $P(A \\cup B) = P(A \\cap \\bar{B}) + P(\\bar{A} \\cap B) + P(A \\cap B)$ $P(A \\cup B) = \\frac{1}{3} + \\frac{5}{12} + \\frac{1}{4} = \\frac{4}{12} + \\frac{5}{12} + \\frac{3}{12} = \\frac{12}{12} = 1$ * ¿Son A y B sucesos incompatibles? Dos sucesos son incompatibles si su intersección es vacía, es decir, $P(A \\cap B) = 0$. En este caso, $P(A \\cap B) = \\frac{1}{4} \\neq 0$. Por lo tanto, A y B no son incompatibles. * ¿Son A y B sucesos independientes? Dos sucesos son independientes si $P(A \\cap B) = P(A) \\cdot P(B)$. Calculamos $P(A) \\cdot P(B) = \\frac{7}{12} \\cdot \\frac{2}{3} = \\frac{14}{36} = \\frac{7}{18}$. Comparamos con $P(A \\cap B) = \\frac{1}{4}$. Como $\\frac{1}{4} \\neq \\frac{7}{18}$ ($\\frac{9}{36} \\neq \\frac{14}{36}$), los sucesos A y B no son independientes.

b) Cálculo de P(C): Se sabe que $P(A|C) = \\frac{1}{4}$ y $P(A \\cup C) = \\frac{7}{8}$. Se conoce también $P(A) = \\frac{7}{12}$. * Usamos la definición de probabilidad condicionada: $P(A|C) = \\frac{P(A \\cap C)}{P(C)}$. De aquí, $P(A \\cap C) = P(A|C) \\cdot P(C) = \\frac{1}{4} P(C)$. * Usamos la fórmula de la probabilidad de la unión: $P(A \\cup C) = P(A) + P(C) - P(A \\cap C)$. * Sustituimos los valores conocidos y la expresión para $P(A \\cap C)$: $\\frac{7}{8} = P(A) + P(C) - \\frac{1}{4} P(C)$ $\\frac{7}{8} = \\frac{7}{12} + P(C) \\left(1 - \\frac{1}{4}\\right)$ $\\frac{7}{8} = \\frac{7}{12} + P(C) \\left(\\frac{3}{4}\\right)$ * Despejamos $P(C)$: $\\frac{3}{4} P(C) = \\frac{7}{8} - \\frac{7}{12}$ $\\frac{3}{4} P(C) = \\frac{7 \\cdot 3}{24} - \\frac{7 \\cdot 2}{24} = \\frac{21 - 14}{24} = \\frac{7}{24}$ $P(C) = \\frac{7}{24} \\cdot \\frac{4}{3} = \\frac{7 \\cdot 4}{24 \\cdot 3} = \\frac{28}{72}$ Simplificando la fracción (dividiendo por 4): $P(C) = \\frac{7}{18}$

Respuesta: a) $P(A \\cup B) = 1$. $P(A \\cap B) = \\frac{1}{4}$. Los sucesos A y B no son incompatibles y no son independientes. b) $P(C) = \\frac{7}{18}$.