BLOQUE 1. EJERCICIO 1a (3 puntos)

Contexto: Este ejercicio aborda el concepto de homología en geometría proyectiva. La homología es una transformación geométrica que relaciona puntos y líneas de una figura con sus correspondientes en otra, manteniendo ciertas propiedades de incidencia y razón doble. En este caso, se nos da una figura y se nos pide encontrar su homóloga, teniendo como datos el centro de homología, un par de puntos homólogos, un punto doble (que es su propio homólogo) y el eje de homología (donde todos los puntos son dobles).

Para resolver este ejercicio, primero se debe determinar la recta de homología que pasa por los puntos 1 y 1' y por el centro de homología C. La recta de homología se cruza con el eje de homología en un punto al que llamaremos M, que es un punto doble.

Para hallar el punto homólogo de 3, dibujamos una recta que pase por 3 y por C. Esta recta se cruza con el eje de homología en un punto N, que también es un punto doble.

Ahora, dibujamos una recta que pase por 1 y por 3. Esta recta se cruza con el eje de homología en un punto P, que también es doble. Unimos el punto P con el punto 1'. La intersección de las rectas N-1' y C-3 es el punto 3', que es el homólogo de 3.

Para encontrar el punto homólogo de 4, repetimos el proceso anterior. Dibujamos una recta que pase por 4 y por C, y encontramos su intersección con el eje de homología (punto Q). Luego, dibujamos una recta que pase por 1 y por 4, y encontramos su intersección con el eje de homología (punto R). Unimos el punto R con el punto 1'. La intersección de las rectas Q-1' y C-4 es el punto 4', que es el homólogo de 4.

Los puntos 2, M, N, P, Q y R están en el eje de homología, por lo tanto, son puntos dobles.

El resultado del ejercicio es el siguiente: Se dibuja la figura homóloga uniendo los puntos 1', 2, 3' y 4'.

BLOQUE 2. EJERCICIO 2a (2 puntos)

Contexto: Este ejercicio se centra en la geometría descriptiva, específicamente en el sistema diédrico. Se trata de determinar las trazas de un plano y dibujar una recta perpendicular a él que pase por un punto dado. La recta de máxima pendiente de un plano es aquella que forma el mayor ángulo posible con el plano horizontal de proyección.

Primero, debemos hallar las trazas del plano $\\alpha$. Dado que conocemos la proyección horizontal $r'$ de la recta de máxima pendiente y su traza horizontal $H$, podemos determinar la traza horizontal del plano. La traza horizontal del plano ($\\alpha_1$) será perpendicular a la proyección horizontal de la recta de máxima pendiente ($r'$) y pasará por la proyección horizontal de la traza horizontal de la recta ($H_r'$).

Para hallar la traza vertical del plano ($\\alpha_2$), necesitamos la proyección vertical de la recta de máxima pendiente ($r''$). Dado que $H_r$ es la traza horizontal de la recta, su proyección vertical ($H_r''$) estará en la línea de tierra. Unimos $H_r''$ con un punto arbitrario de $r'$ y su correspondiente en la línea de tierra para obtener $r''$. La traza vertical del plano será paralela a $r''$ y pasará por el punto donde $\\alpha_1$ corta la línea de tierra.

Ahora, para dibujar la recta $S$ perpendicular al plano $\\alpha$ que pasa por el punto $A$, sabemos que las proyecciones de una recta perpendicular a un plano son perpendiculares a las trazas del plano. Por lo tanto, la proyección horizontal de la recta $s'$ será perpendicular a la traza horizontal del plano ($\\alpha_1$) y pasará por la proyección horizontal del punto $A$ ($A'$). De manera similar, la proyección vertical de la recta $s''$ será perpendicular a la traza vertical del plano ($\\alpha_2$) y pasará por la proyección vertical del punto $A$ ($A''$).

El resultado del ejercicio es el siguiente: Se dibuja la traza horizontal del plano ($\\alpha_1$) perpendicular a $r'$ que pasa por $H_r'$. Se dibuja la traza vertical del plano ($\\alpha_2$) paralela a $r''$ desde el punto donde $\\alpha_1$ corta la línea de tierra. Se dibuja la proyección horizontal de la recta $s'$ perpendicular a $\\alpha_1$ que pasa por $A'$. Se dibuja la proyección vertical de la recta $s''$ perpendicular a $\\alpha_2$ que pasa por $A''$.

BLOQUE 1. EJERCICIO 1b (3 puntos)

Contexto: Este ejercicio se enfoca en la construcción de una elipse y sus elementos característicos. Una elipse es el lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos (focos) es constante e igual a la longitud del eje mayor.

Para hallar los focos de la elipse, debemos recordar que la distancia desde el centro de la elipse a cada foco es igual a $c$, donde $c^2 = a^2 - b^2$, siendo $a$ la longitud del semieje mayor y $b$ la longitud del semieje menor. En nuestro caso, $a = AB/2$ y $b = CD/2$. Con el compás, tomamos la medida del semieje mayor $a$ y, con centro en uno de los extremos del eje menor (por ejemplo, $C$), trazamos un arco que corte al eje mayor. Los puntos de intersección de este arco con el eje mayor son los focos $F$ y $F'$.

Para hallar cinco puntos de la elipse, podemos utilizar el método de la circunferencia focal. Dibujamos la circunferencia focal con centro en uno de los focos (por ejemplo, $F$) y radio igual a la longitud del eje mayor ($AB$). Elegimos un punto cualquiera en la circunferencia focal y lo unimos con el otro foco ($F'$). Trazamos la mediatriz del segmento que une el punto elegido en la circunferencia focal con $F'$. La intersección de esta mediatriz con la recta que une el punto elegido con el foco $F$ es un punto de la elipse. Repitiendo este proceso con otros puntos de la circunferencia focal, obtenemos otros puntos de la elipse.

Para trazar la tangente y la normal a la elipse en un punto dado, por ejemplo $P$, unimos $P$ con los focos $F$ y $F'$. La bisectriz del ángulo formado por los segmentos $PF$ y $PF'$ es la normal ($N$) a la elipse en el punto $P$, y la perpendicular a la normal que pasa por $P$ es la tangente ($T$) a la elipse en ese punto.

El resultado del ejercicio es el siguiente: Se determinan los focos $F$ y $F'$ utilizando la relación $c^2 = a^2 - b^2$, donde $c$ es la distancia del centro a cada foco, $a$ es el semieje mayor y $b$ es el semieje menor. Se hallan al menos cinco puntos de la elipse utilizando el método de la circunferencia focal o cualquier otro método válido. Se traza la tangente $T$ y la normal $N$ a la elipse en uno de los puntos hallados, utilizando las propiedades de las bisectrices de los ángulos formados por los radios focales.

BLOQUE 2. EJERCICIO 2b (2 puntos)

Contexto: Este ejercicio se enmarca en la geometría descriptiva y el sistema diédrico. Se nos pide completar las proyecciones de un tetraedro y hallar la sección producida por un plano. Un tetraedro es un poliedro regular con cuatro caras triangulares iguales. La sección producida por un plano es la figura geométrica resultante de la intersección del plano con el sólido.

Primero, completamos las proyecciones del tetraedro. Dado que tenemos la proyección horizontal completa y la proyección vertical de la base, podemos deducir la proyección vertical del vértice superior. Como el tetraedro es regular, la altura del vértice superior sobre la base será igual en ambas proyecciones. La proyección vertical del vértice superior se encontrará en la perpendicular a la línea de tierra que pasa por su proyección horizontal, a una distancia igual a la altura del tetraedro.

Para hallar la sección producida por el plano $\\alpha$, debemos encontrar los puntos de intersección de las aristas del tetraedro con el plano. Esto se puede hacer utilizando planos auxiliares que contengan las aristas del tetraedro. La intersección de cada plano auxiliar con el plano $\\alpha$ nos dará una recta. El punto donde esta recta corta la arista contenida en el plano auxiliar es un punto de la sección.

Uniendo los puntos de intersección de las aristas con el plano en el orden correcto, obtenemos la proyección horizontal y vertical de la sección.

Para hallar la verdadera magnitud de la sección, debemos abatir el plano $\\alpha$ sobre el plano horizontal de proyección. Para ello, elegimos una recta horizontal del plano $\\alpha$ como eje de abatimiento. Abatimos el plano y los puntos de la sección utilizando el procedimiento estándar de abatimiento. La figura resultante en el abatimiento es la verdadera magnitud de la sección.

El resultado del ejercicio es el siguiente: Se completa la proyección vertical del tetraedro, teniendo en cuenta que es un sólido regular. Se hallan las proyecciones horizontal y vertical de la sección producida por el plano $\\alpha$, encontrando los puntos de intersección de las aristas del tetraedro con el plano. Se abate el plano $\\alpha$ sobre el plano horizontal de proyección para obtener la verdadera magnitud de la sección.

BLOQUE 2. EJERCICIO 2c (2 puntos)

Contexto: Este ejercicio aborda la intersección de una recta con los planos bisectores en el sistema diédrico. Los planos bisectores son aquellos que dividen los diedros en dos partes iguales. El primer bisector forma un ángulo de 45º con los planos horizontal y vertical de proyección, y el segundo bisector es perpendicular al primero.

Primero, identificamos las trazas de la recta $R$. La traza horizontal de la recta ($H_r$) es el punto donde la recta corta al plano horizontal de proyección. En este punto, la proyección vertical ($r''$) corta a la línea de tierra. La traza vertical de la recta ($V_r$) es el punto donde la recta corta al plano vertical de proyección. En este punto, la proyección horizontal ($r'$) corta a la línea de tierra.

Para determinar las partes vistas y ocultas de la recta, debemos analizar su posición respecto a los planos de proyección. La recta es visible en el primer cuadrante, es decir, cuando ambas proyecciones están por encima de la línea de tierra. La recta es oculta cuando pasa a un cuadrante no visible desde el primer diedro.

Para hallar el punto de corte $A$ de la recta $R$ con el primer bisector, debemos recordar que, en el primer bisector, las cotas y alejamientos de los puntos son iguales. Por lo tanto, el punto $A$ tendrá sus proyecciones $A'$ y $A''$ a la misma distancia de la línea de tierra y en la misma vertical. Para encontrarlo, podemos dibujar la traza del primer bisector en el plano vertical (una línea a 45º que pasa por el origen) y en el plano horizontal (la propia línea de tierra), y trazar un plano proyectante vertical que contenga a la recta $R$, la intersección de este plano con el primer bisector nos dará un punto que al intersecar con $r$ nos da $A$, o bien hallar la intersección de $r'$ con la línea de tierra. El punto donde esta vertical corta a $r''$ es la proyección vertical $A''$ del punto de intersección. La proyección horizontal $A'$ se encuentra en la misma vertical que $A''$ y a la misma distancia de la línea de tierra que $A''$.

Para hallar el punto de corte $B$ de la recta $R$ con el segundo bisector, debemos recordar que, en el segundo bisector, las cotas y alejamientos de los puntos son iguales en valor absoluto pero de signo contrario. Por lo tanto, el punto $B$ tendrá sus proyecciones $B'$ y $B''$ a la misma distancia de la línea de tierra pero en lados opuestos. Para encontrarlo, podemos trazar un plano proyectante horizontal que contenga a la recta $R$, la intersección de este plano con el segundo bisector nos dará un punto que al intersecar con $r$ nos da $B$, o bien, podemos dibujar la traza del segundo bisector en el plano horizontal (una línea a 45º que pasa por el origen) y encontrar su intersección con $r'$. El punto donde esta intersección corta a $r''$ es la proyección vertical $B''$ del punto de intersección. La proyección horizontal $B'$ se encuentra en la misma vertical que $B''$ y a la misma distancia de la línea de tierra que $B''$ pero en el lado opuesto.

El resultado del ejercicio es el siguiente: Se identifican las trazas horizontal ($H_r$) y vertical ($V_r$) de la recta $R$. Se repasan con trazo continuo las partes vistas de la recta y se dejan con trazo discontinuo las partes ocultas. Se halla el punto de corte $A$ de la recta $R$ con el primer bisector, donde la cota y el alejamiento son iguales. Se halla el punto de corte $B$ de la recta $R$ con el segundo bisector, donde la cota y el alejamiento son iguales en valor absoluto pero de signo contrario.

BLOQUE 3. EJERCICIO 3a (3 puntos)

Contexto: Este ejercicio se centra en la representación de un objeto tridimensional mediante sus vistas diédricas (alzado, planta y perfil) en el sistema europeo (primer diedro). Se nos proporciona la representación isométrica del objeto, que es una forma de axonometría donde los tres ejes principales forman ángulos iguales entre sí.

Para dibujar las vistas diédricas, debemos proyectar el objeto ortogonalmente sobre los planos de proyección. El alzado se obtiene proyectando el objeto sobre el plano vertical, la planta sobre el plano horizontal y el perfil sobre el plano lateral. En el sistema europeo, la planta se dibuja debajo del alzado y el perfil derecho a la derecha del alzado.

Al observar la pieza en perspectiva isométrica, podemos identificar las superficies que serán visibles en cada vista. En el alzado, veremos la cara frontal de la pieza, que incluye un rectángulo con un taladro circular en el centro y dos superficies inclinadas a los lados. En la planta, veremos la parte superior de la pieza, que es un rectángulo con el taladro circular en el centro y dos rectángulos más pequeños a los lados correspondientes a las superficies inclinadas. En el perfil derecho, veremos la cara lateral derecha de la pieza, que es un rectángulo con un rectángulo más pequeño en la parte inferior correspondiente a la superficie inclinada.

Es importante tener en cuenta las líneas ocultas, que representan aristas o contornos que no son visibles desde la dirección de proyección. Estas líneas se dibujan con trazos discontinuos.

El resultado del ejercicio es el siguiente: Se dibuja el alzado de la pieza, mostrando la cara frontal con el taladro circular y las superficies inclinadas. Se dibuja la planta de la pieza, mostrando la parte superior con el taladro circular y los rectángulos correspondientes a las superficies inclinadas. Se dibuja el perfil derecho de la pieza, mostrando la cara lateral derecha con el rectángulo correspondiente a la superficie inclinada. Se utilizan líneas continuas para las aristas visibles y líneas discontinuas para las aristas ocultas.

BLOQUE 2. EJERCICIO 2d (2 puntos)

Contexto: Este ejercicio trata sobre la construcción de un plano paralelo a otro dado y que contiene un punto específico en el sistema diédrico. Dos planos son paralelos si sus trazas homónimas (horizontales y verticales) son paralelas entre sí.

Dado el plano $\\alpha$ definido por sus trazas $\\alpha_1$ y $\\alpha_2$, y el punto $P$ definido por sus proyecciones $P'$ y $P''$, para construir el plano $\\beta$ paralelo a $\\alpha$ que contiene a $P$, debemos trazar las trazas de $\\beta$ paralelas a las de $\\alpha$ y que pasen por las trazas de una recta que contenga a $P$ y sea paralela a $\\alpha$.

Primero, dibujamos una recta $r$ que pase por el punto $P$ y sea paralela al plano $\\alpha$. Para ello, podemos trazar una recta horizontal o frontal que pase por $P$. Por ejemplo, podemos trazar una recta horizontal $r$ que pase por $P$. La proyección horizontal $r'$ de esta recta será paralela a la línea de tierra y pasará por $P'$. La proyección vertical $r''$ será paralela a la traza horizontal del plano $\\alpha_1$ y pasará por $P''$.

Luego, encontramos las trazas de la recta $r$. La traza vertical de la recta $V_r$ se encuentra en la intersección de $r'$ con la línea de tierra. La traza horizontal de la recta $H_r$ se encuentra en la intersección de $r''$ con la línea de tierra.

Finalmente, trazamos las trazas del plano $\\beta$. La traza horizontal del plano $\\beta_1$ será paralela a la traza horizontal del plano $\\alpha_1$ y pasará por la traza horizontal de la recta $H_r$ ($H_r'$). La traza vertical del plano $\\beta_2$ será paralela a la traza vertical del plano $\\alpha_2$ y pasará por la traza vertical de la recta $V_r$ ($V_r''$).

El resultado del ejercicio es el siguiente: Se dibuja una recta $r$ que pasa por el punto $P$ y es paralela al plano $\\alpha$ (por ejemplo, una recta horizontal). Se encuentran las trazas de la recta $r$. Se traza la traza horizontal del plano $\\beta_1$ paralela a $\\alpha_1$ y que pasa por la traza horizontal de $r$. Se traza la traza vertical del plano $\\beta_2$ paralela a $\\alpha_2$ y que pasa por la traza vertical de $r$.

BLOQUE 3. EJERCICIO 3b (3 puntos)

Contexto: Este ejercicio se enfoca en la representación de un objeto tridimensional en perspectiva caballera a partir de sus vistas diédricas (alzado y planta) en el sistema europeo. La perspectiva caballera es un tipo de axonometría oblicua donde el plano del cuadro es paralelo a uno de los planos de proyección (generalmente el plano vertical), y las líneas perpendiculares a este plano se proyectan en una dirección oblicua.

Se nos proporciona el coeficiente de reducción del eje $Y$ (1/2) y el ángulo entre los ejes $X$ y $Y$ (135º). El coeficiente de reducción indica que las medidas en la dirección del eje $Y$ se deben reducir a la mitad en la perspectiva. El ángulo de 135º determina la dirección de las líneas de fuga en la perspectiva.

Para dibujar la pieza en perspectiva caballera, comenzamos dibujando los ejes $X$, $Y$ y $Z$. El eje $X$ se dibuja horizontal, el eje $Z$ vertical y el eje $Y$ formando un ángulo de 135º con el eje $X$ en sentido antihorario.

Luego, trasladamos las medidas del alzado y la planta a los ejes correspondientes. Las medidas del alzado se trasladan a los ejes $X$ y $Z$, mientras que las medidas de la planta se trasladan a los ejes $X$ y $Y$, teniendo en cuenta el coeficiente de reducción del eje $Y$.

A partir de los puntos obtenidos en los ejes, dibujamos las aristas de la pieza, teniendo en cuenta que las aristas paralelas a los ejes se mantienen paralelas en la perspectiva. Las aristas perpendiculares al plano del cuadro (paralelas al eje $Y$) se dibujan en la dirección oblicua determinada por el ángulo de 135º y con la longitud reducida a la mitad.

No es necesario dibujar las líneas ocultas en este ejercicio.

El resultado del ejercicio es el siguiente: Se dibujan los ejes $X$, $Y$ y $Z$, con el eje $Y$ formando un ángulo de 135º con el eje $X$. Se trasladan las medidas del alzado a los ejes $X$ y $Z$. Se trasladan las medidas de la planta a los ejes $X$ y $Y$, aplicando el coeficiente de reducción de 1/2 al eje $Y$. Se dibujan las aristas de la pieza, manteniendo las aristas paralelas a los ejes en la perspectiva y aplicando la reducción y la dirección oblicua a las aristas paralelas al eje $Y$.