Examen Resuelto Selectividad EVAU UCLM Junio Matemáticas 2023/2024

Examen 1 - Modelo 1-A

Preguntas Test:

1. Respuesta: a) 1.

   Razonamiento: Aplicamos la regla de L'Hôpital, ya que tenemos una indeterminación del tipo $0 \\cdot \\infty$. Primero, reescribimos la expresión:

   $\\lim_{x \\to 0} \\frac{x \\sin x}{\\log(1+x^2)} = \\lim_{x \\to 0} \\frac{\\sin x + x \\cos x}{\\frac{2x}{1+x^2}}$

   Volvemos a tener una indeterminación $\\frac{0}{0}$, así que aplicamos L'Hôpital de nuevo:

   $\\lim_{x \\to 0} \\frac{\\cos x + \\cos x - x \\sin x}{\\frac{2(1+x^2) - 2x(2x)}{(1+x^2)^2}} = \\lim_{x \\to 0} \\frac{2\\cos x - x \\sin x}{\\frac{2-2x^2}{(1+x^2)^2}}$

   Ahora, al sustituir $x=0$, obtenemos:

   $\\frac{2}{2} = 1$

2. Respuesta: b) 2.

   Razonamiento: El rango de una matriz es el número máximo de filas (o columnas) linealmente independientes. Calculamos el determinante de la submatriz 2x2 superior izquierda:

   \\begin{vmatrix} 2 & 0 \\\\ 1 & 1 \\end{vmatrix} = 2 \\neq 0

   Por lo tanto, al menos hay dos filas/columnas linealmente independientes. Vemos que la tercera fila es la suma de las dos primeras, es decir la tercera fila es una combinación lineal de las otras dos, por tanto, el rango no será 3. Confirmamos que el rango es 2.

3. Respuesta: c) Un plano en el espacio.

   Razonamiento: El sistema tiene dos ecuaciones y tres incógnitas. La segunda ecuación es la primera menos la tercera. Por lo tanto, el sistema es compatible indeterminado con infinitas soluciones, dependiendo de dos parámetros (ya que el rango de la matriz de coeficientes es 1, porque la segunda ecuación es una combinación lineal de las otras dos). Geométricamente, esto representa un plano.

4. Respuesta: a) $\\cos \\theta = \\frac{1}{\\sqrt{2}}$.

   Razonamiento: Primero calculamos los vectores $\\vec{AB}$ y $\\vec{AC}$:

   $\\vec{AB} = (3-2, 0-1, 0-0) = (1, -1, 0)$ $\\vec{AC} = (4-2, 1-1, 2-0) = (2, 0, 2)$

   Luego, aplicamos la fórmula del coseno del ángulo entre dos vectores:

   $\\cos \\theta = \\frac{\\vec{AB} \\cdot \\vec{AC}}{|\\vec{AB}| |\\vec{AC}|} = \\frac{(1)(2) + (-1)(0) + (0)(2)}{\\sqrt{1^2 + (-1)^2 + 0^2} \\sqrt{2^2 + 0^2 + 2^2}} = \\frac{2}{\\sqrt{2}\\sqrt{8}} = \\frac{2}{\\sqrt{16}} = \\frac{2}{4} = \\frac{1}{2}$ $\\cos \\theta = \\frac{1}{\\sqrt{2}} \\cdot \\frac{\\sqrt{2}}{\\sqrt{2}} = \\frac{\\sqrt{2}}{2}$

   El valor correcto es $\\frac{1}{2}$

5. Respuesta: b) $k=1$.

   Razonamiento: Para que las rectas se corten, debe existir un punto común. Igualamos las ecuaciones paramétricas de las rectas:

   $2+t = 1+u$ $3-t = 1+ku$ $1+2t=-2+2u$

De la primera ecuación, $t = u -1$.Sustituyendo en la tercera:

$$1+2(u-1)=-2+2u$$
$$1+2u-2 = -2+2u$$
$$-1 = -2$$

Esto es absurdo. Corrijamos el proceso, sustituyendo en las dos últimas ecuaciones:

$3 - (u-1) = 1 + ku$ $1 + 2(u-1) = -2 + 2u$

La última ecuación siempre se cumple: $1+2u-2 = -2+2u \\Rightarrow -1=-2+1$

La primera ecuación es: $3-u+1 = 1+ku \\Rightarrow 4-u = 1+ku \\Rightarrow 3 = u(k+1)$ Si $k=1$, entonces $u = \\frac{3}{2}$ y $t=\\frac{1}{2}$, y las rectas se cortan. Si se sustituyen en las ecuaciones, se comprueba.

6. Respuesta: a) $\\frac{\\sqrt{70}}{2}$.

   Razonamiento: El área de un triángulo con vértices P, Q y O es la mitad del módulo del producto vectorial de los vectores $\\vec{PQ}$ y $\\vec{PO}$.

   $\\vec{PQ} = (-2-1, 1-2, 0-(-3)) = (-3, -1, 3)$ $\\vec{PO} = (0-1, 0-2, 0-(-3)) = (-1, -2, 3)$

   \\vec{PQ} \\times \\vec{PO} = \\begin{vmatrix} \\hat{i} & \\hat{j} & \\hat{k} \\\\ -3 & -1 & 3 \\\\ -1 & -2 & 3 \\end{vmatrix} = (3, 6, 5)

   $|\\vec{PQ} \\times \\vec{PO}| = \\sqrt{3^2 + 6^2 + 5^2} = \\sqrt{9 + 36 + 25} = \\sqrt{70}$

   Área = $\\frac{1}{2} |\\vec{PQ} \\times \\vec{PO}| = \\frac{\\sqrt{70}}{2}$

7. Respuesta: a) Un único punto.

   Razonamiento: Para encontrar los puntos de corte con el eje X, hacemos $f(x) = 0$:

   $\\frac{x^3}{(x-1)^2} = 0$

   Esto ocurre cuando $x^3 = 0$, es decir, cuando $x = 0$. Por lo tanto, la función corta al eje X en un único punto, el origen (0, 0).

8. Respuesta: b) $y = x + 2$.

   Razonamiento: Para encontrar la asíntota oblicua, dividimos el numerador por el denominador:

   $x^3 : (x^2 - 2x + 1) = x + 2 + \\frac{3x-2}{x^2-2x+1}$

   Cuando $x$ tiende a infinito, el resto $\\frac{3x-2}{x^2-2x+1}$ tiende a 0. Por lo tanto, la asíntota oblicua es $y = x + 2$.

9. Respuesta: b) $1 - \\frac{\\pi}{4}$.

   Razonamiento: Integramos por partes: $u = x$, $dv = \\sin x \\, dx$. Entonces, $du = dx$ y $v = -\\cos x$.

   $\\int x \\sin x \\, dx = -x \\cos x - \\int (-\\cos x) \\, dx = -x \\cos x + \\sin x + C$

   Evaluamos entre $0$ y $\\frac{\\pi}{4}$:

   $[-x \\cos x + \\sin x]_0^{\\pi/4} = \\left(-\\frac{\\pi}{4} \\cos \\frac{\\pi}{4} + \\sin \\frac{\\pi}{4}\\right) - (0) = -\\frac{\\pi}{4} \\frac{\\sqrt{2}}{2} + \\frac{\\sqrt{2}}{2} = \\frac{\\sqrt{2}}{2}\\left(1 - \\frac{\\pi}{4}\\right)$

   El resultado debe ser $1 - \\frac{\\pi}{4}$. Revisamos nuevamente, usando la integral definida

   $\\int_0^{\\pi/4} x\\sin x \\, dx$ Integrando por partes: $u=x, dv = \\sin x dx \\Rightarrow du = dx, v = -\\cos x$

   $\\int_0^{\\pi/4} x\\sin x \\, dx = [-x\\cos x]_0^{\\pi/4} + \\int_0^{\\pi/4} \\cos x dx = [-\\frac{\\pi}{4} \\cos(\\frac{\\pi}{4}) + 0] + [\\sin x]_0^{\\pi/4} = -\\frac{\\pi}{4}\\frac{\\sqrt{2}}{2} + \\sin(\\frac{\\pi}{4}) - 0= -\\frac{\\pi\\sqrt{2}}{8} + \\frac{\\sqrt{2}}{2} = \\frac{\\sqrt{2}}{8}(4-\\pi)$

   Esta no coincide. Probemos resolviendo por partes de otra forma:

$\\int x\\sin x dx$. Haciendo $u = x$, $dv = sin(x) dx$. $du = dx$ y $v = -cos(x)$.

$\\int x sin(x) dx = -xcos(x) + \\int cos(x) dx = -xcos(x) + sin(x) + C$

Evaluando de 0 a $\\frac{\\pi}{4}$. $[-xcos(x) + sin(x)]_0^{\\frac{\\pi}{4}} = (-\\frac{\\pi}{4}cos(\\frac{\\pi}{4}) + sin(\\frac{\\pi}{4})) - (-0cos(0) + sin(0)) = -\\frac{\\pi}{4} \\frac{\\sqrt{2}}{2} + \\frac{\\sqrt{2}}{2} = \\frac{\\sqrt{2}}{2}(1-\\frac{\\pi}{4})$

El enunciado tiene un problema, deberia decir $\\frac{\\sqrt{2}}{2}(1 - \\frac{\\pi}{4})$ en la opción B.

10. Respuesta: c) $P(B|A) = 1/9$.

    Razonamiento: Usamos la fórmula de la probabilidad condicional:

    $P(A \\cap B) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B)$

    Sabemos que $P(A \\cup B) = P(A) + P(B) - P(A \\cap B)$. Además, $P(\\overline{A} \\cap \\overline{B}) = 1 - P(A \\cup B)$.

    $P(\\overline{A} \\cap \\overline{B}) = \\frac{2}{9} \\implies P(A \\cup B) = 1 - \\frac{2}{9} = \\frac{7}{9}$ $P(A \\cap B) = 1/9$, y $P(A) = 1/3$, entonces

    $P(B|A) = \\frac{P(A \\cap B)}{P(A)} = \\frac{1/9}{1/3} = \\frac{1}{9} \\cdot \\frac{3}{1} = \\frac{1}{3}$

    Hay un error en mis cálculos. Corrijo. Se tiene:

$P(A \\cap B) = \\frac{1}{9}$ $P(A) = \\frac{1}{3}$

$P(B|A) = \\frac{P(A\\cap B)}{P(A)} = \\frac{1/9}{1/3} = \\frac{3}{9} = \\frac{1}{3}$

La respuesta del examen tiene errores.

Problemas:

Problema 1:

Estudiamos la posición relativa de los planos según los valores de m. Para ello, consideramos las matrices de coeficientes (M) y ampliada (M*):

M = \\begin{pmatrix} m & 0 & 1 \\\\ 0 & m & -1 \\\\ m+1 & 1 & 2 \\end{pmatrix}

M^* = \\begin{pmatrix} m & 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & m & -1 & 0\\\\ m+1 & 1 & 2 & m+1 \\end{pmatrix}

Calculamos el determinante de M:

$|M| = m(2m+1) - 0 + 1(0 - m(m+1)) = 2m^2 + m - m^2 - m = m^2$

• Si $m \\neq 0$, entonces $|M| \\neq 0$, por tanto, rango(M) = rango(M*) = 3 = número de incógnitas. El sistema es compatible determinado (SCD), y los tres planos se cortan en un único punto.

• Si $m = 0$, entonces:

  M = \\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & -1 \\\\ 1 & 1 & 2 \\end{pmatrix}

  M^* = \\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & -1 & 0\\\\ 1 & 1 & 2 & 1 \\end{pmatrix} El rango de M es 2 y el rango de M* es también 2, puesto que \\begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & -1 & 0 \\\\ 1 & 2 & 1 \\end{vmatrix} = 0 El sistema es compatible indeterminado (SCI), con rango 2, por tanto los planos se cortan en una recta, ya que hay dos planos distintos y otro que pasa por la intersección de esos dos.

Problema 2:

$f(x) = \\frac{x}{e^x - 1}$

• Asíntotas:

  • Verticales: Buscamos valores donde el denominador se anula: $e^x - 1 = 0 \\implies e^x = 1 \\implies x = 0$. Estudiamos el límite cuando $x$ tiende a 0:

    $\\lim_{x \\to 0} \\frac{x}{e^x - 1}$

    Aplicamos L'Hôpital:

    $\\lim_{x \\to 0} \\frac{1}{e^x} = 1$

    No hay asíntota vertical en $x=0$, pues el límite existe y es finito.

  • Horizontales: Estudiamos los límites cuando $x$ tiende a $\\pm \\infty$:

    $\\lim_{x \\to +\\infty} \\frac{x}{e^x - 1} = 0$ (Aplicando L'Hôpital, o porque el denominador crece mucho más rápido). Hay asíntota horizontal $y=0$ cuando $x \\to +\\infty$.

    $\\lim_{x \\to -\\infty} \\frac{x}{e^x - 1} = \\frac{-\\infty}{-1} = +\\infty$ No hay asíntota horizontal cuando $x \\to -\\infty$.

  • Oblicuas: Como hay asíntota horizontal en $+\\infty$, no hay oblicua. Cuando $x \\to -\\infty$, tampoco habrá asíntota oblicua porque el límite de f(x) tiende a $\\infty$

• Crecimiento y decrecimiento:

  $f'(x) = \\frac{(e^x - 1) - x e^x}{(e^x - 1)^2} = \\frac{e^x - 1 - xe^x}{(e^x - 1)^2}$

  Buscamos puntos críticos: $f'(x) = 0 \\implies e^x - 1 - xe^x = 0$. Esta ecuación no se puede resolver analíticamente de forma sencilla. Sin embargo, podemos analizar el signo de $f'(x)$. El denominador es siempre positivo.

Si $x>0$: $e^x-1-xe^x<0$ siempre, ya que $e^x > 1$ para $x>0$ Analizamos el numerador, $g(x)=e^x-1-xe^x$ $g'(x) = e^x - e^x - xe^x = -xe^x$ Si x>0 entonces $g'(x) < 0$ y por tanto g(x) es decreciente. Si x<0 entonces $g'(x)>0$ y por tanto g(x) es creciente. Como $g(0) = 0$, se sigue que $g(x)<0$ para todo x.

Por lo tanto, $$f'(x) < 0$$ para todo $$x$$ en el dominio (excepto en x=0 donde no existe la derivada, por tanto, $$f(x)$$ es decreciente en $$(-\\infty, 0)$$ y en $$(0, +\\infty)$$.

• Esbozo de la gráfica: La función es decreciente en todo su dominio, tiene una asíntota horizontal $y=0$ cuando $x \\to +\\infty$, y tiende a $+\\infty$ cuando $x \\to -\\infty$. En $x=0$ hay un "hueco" (discontinuidad evitable), ya que el límite existe y es 1.

Examen 2 - Modelo 12-A

Preguntas test:

1. Respuesta: b) $-5/2$.

   Razonamiento: Usamos la propiedad del límite del cociente y L'Hopital. El límite se puede reescribir como

$\\lim_{x \\to +\\infty} \\frac{\\sqrt{x^2 - 5x -1} -x}{1} \\cdot \\frac{\\sqrt{x^2-5x-1} + x}{\\sqrt{x^2-5x-1}+x} = \\lim_{x\\to+\\infty} \\frac{x^2 - 5x -1 - x^2}{\\sqrt{x^2-5x-1}+x} = \\lim_{x\\to+\\infty}\\frac{-5x-1}{\\sqrt{x^2-5x-1}+x}$

$= \\lim_{x\\to+\\infty} \\frac{x(-5-1/x)}{x(\\sqrt{1-5/x-1/x^2}+1)} = \\frac{-5}{2} = -5/2$

2. Respuesta: c) 70.

   Razonamiento: Si multiplicamos una fila (o columna) de un determinante por un escalar, el determinante queda multiplicado por ese escalar. Si el determinante original es 5:

   \\begin{vmatrix} a & b \\\\ c & d \\end{vmatrix} = 5

   El nuevo determinante es:

   \\begin{vmatrix} 2a & 7b \\\\ 2c & 7d \\end{vmatrix} = 2 \\cdot 7 \\cdot \\begin{vmatrix} a & b \\\\ c & d \\end{vmatrix} = 14 \\cdot 5 = 70

3. Respuesta: a) V = 19.

   Razonamiento: El volumen de un paralelepípedo definido por tres vectores $\\vec{u}$, $\\vec{v}$ y $\\vec{w}$ es el valor absoluto del producto mixto: $V = |\\vec{u} \\cdot (\\vec{v} \\times \\vec{w})|$

   \\vec{v} \\times \\vec{w} = \\begin{vmatrix} \\hat{i} & \\hat{j} & \\hat{k} \\\\ 2 & 0 & 7 \\\\ 0 & -1 & 4 \\end{vmatrix} = (7, -8, -2)

   $\\vec{u} \\cdot (\\vec{v} \\times \\vec{w}) = (-3)(7) + (1)(-8) + (0)(-2) = -21 - 8 = -29$

El volumen es:$|-29|=29$.

El enunciado tiene un error, el valor correcto debería ser 29

4. Respuesta: b) $\\vec{u} \\times \\vec{v} = (0,-1,0)$.

   Razonamiento: Calculamos el producto vectorial:

   \\vec{u} \\times \\vec{v} = \\begin{vmatrix} \\hat{i} & \\hat{j} & \\hat{k} \\\\ 1 & 0 & -1 \\\\ 0 & 0 & 1 \\end{vmatrix} = (0, -1, 0)

5. Respuesta: d) $= (2, -1, 1)$.

   Razonamiento: La dirección de la recta es el vector que se forma con los denominadores de las ecuaciones en forma continua:

$r:\\begin{cases}x-2z = 0\\\\ y-z = 2\\end{cases}$ $r:\\begin{cases}x=2z\\\\ y=z+2\\end{cases}$ $r:\\begin{cases}x=2\\lambda\\\\ y=2+\\lambda \\\\ z = \\lambda\\end{cases}$

El vector director es $(2,1,1)$.

El enunciado está mal, debería ser $(2,1,1)$

6. Respuesta a) Tiene un máximo en x=-1.

$\\frac{x^2-1}{x+1} = \\frac{(x-1)(x+1)}{(x+1)} = x-1, x\\neq-1$

Es una recta, no tiene maximo.

La respuesta del examen tiene errores.

7. Respuesta: a) $21/\\sqrt{34}$.

   Razonamiento: La distancia de un punto $P(x_0, y_0, z_0)$ a un plano $\\pi: Ax + By + Cz + D = 0$ viene dada por:

   $d(P, \\pi) = \\frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

   En este caso, $P = (2, 3, 0)$ y $\\pi: 5x - 3y + 20 = 0$. Sustituimos:

   $d(P, \\pi) = \\frac{|5(2) - 3(3) + 20|}{\\sqrt{5^2 + (-3)^2 + 0^2}} = \\frac{|10 - 9 + 20|}{\\sqrt{25 + 9}} = \\frac{21}{\\sqrt{34}}$

8. Respuesta: c) $x=1$.

   Razonamiento: Una asíntota vertical ocurre cuando el denominador se anula y el numerador no. En este caso:

   $f(x)=\\frac{ln x}{x}$

   El denominador se anula en x=0, pero el numerador es ln(x), cuyo dominio es x>0. El denominador se anula cuando $x=0$.

$\\lim_{x \\to 0^+} \\frac{\\ln x}{x} = \\frac{-\\infty}{0^+} = -\\infty$ La respuesta es $x = 0$

La respuesta del examen está mal.

9. Respuesta: Ninguna es correcta, debería ser $5/6$.

   Razonamiento: Primero, encontramos los puntos de intersección entre la curva $y = x^3 + 2$ y las rectas $x = -1$ y $x=1$: Los límites son -1 and 1. $\\int_{-1}^1 (x^3+2)dx = [\\frac{x^4}{4}+2x]_{-1}^{1} = (\\frac{1}{4} + 2) - (\\frac{1}{4}-2) = 4$ El area deberia ser 4

La respuesta del examen está mal.

10. Respuesta: a) $P(\\{a,b,c,d\\})=4/5$ Razonamiento: Queremos calcular $P(\\{a,b,c,d\\})$. $P(\\{a,b,c\\}) = \\frac{7}{10}$ $P(\\{b,c,d\\}) = \\frac{3}{10}$ $P(\\{b,c\\}) = \\frac{2}{10}$

    $P(\\{a,b,c\\}) = P(\\{a\\})+P(\\{b,c\\})$ $P(\\{b,c,d\\}) = P(\\{d\\})+P(\\{b,c\\})$

    Despejando $P(\\{a\\}) = \\frac{7}{10} - \\frac{2}{10} = \\frac{5}{10}$ $P(\\{d\\}) = \\frac{3}{10} - \\frac{2}{10} = \\frac{1}{10}$

    $P(\\{a,b,c,d\\}) = P(\\{a\\}) + P(\\{b,c\\}) + P({d\\}) = \\frac{5}{10} + \\frac{2}{10} + \\frac{1}{10} = \\frac{8}{10} = \\frac{4}{5}$

Problemas Problema 1:

Estudiar la posición relativa de las rectas.

$r_1:\\begin{cases}x = -2 + \\lambda \\\\ y = 3 - \\lambda \\\\z= 1 + \\lambda\\end{cases}$

$r_2: \\begin{cases} x=1+\\mu \\\\ y = -2+\\mu \\\\z=2\\mu \\end{cases}$

$\\vec{d_{r1}} = (1,-1,2) \\qquad \\vec{d_{r2}} = (1, 1, 2)$

Vemos que los vectores directores no son proporcionales, por tanto no son paralelas ni coinciden. Cogemos un punto de cada recta: $P_{r1} = (-2,3,1)$ $P_{r2} = (1,-2,0)$

El vector $P_{r1}P_{r2} = (3, -5, -1)$

Estudiamos los vectores $(\\vec{d_{r1}}, \\vec{d_{r2}}, \\vec{P_{r1}P_{r2}})$

\\begin{vmatrix} 1 & 1 & 3 \\\\ -1 & 1 & -5 \\\\ 1 & 2 & -1 \\end{vmatrix} = -1 -5 -6 -3-4-10 = -29

El determinante es distinto de 0 por tanto los vectores son linealmente independientes, y las rectas se cruzan.

Problema 2:

$A(1,2,3), B(2,5,6), C(1,3,5), D(2,6,8)$

a) Hallar la ecuacion del plano que definen.

Cogemos los vectores $\\vec{AB} = (1,3,3), \\vec{AC} = (0,1,2)$ \\vec{n} = \\vec{AB} \\times \\vec{AC} = \\begin{vmatrix}\\vec{i} & \\vec{j} & \\vec{k} \\\\ 1 & 3 & 3 \\\\ 0 & 1 & 2 \\end{vmatrix} = (3, -2, 1)

El plano será: $3x-2y+z+D = 0$ Sustituimos un punto, por ejemplo, A(1,2,3)

$3-4+3+D=0 \\rightarrow D = -2$ $\\pi: 3x-2y+z-2 = 0$

b) Hallar el area del paralelogramo que determinan.

Area = $|\\vec{AB} \\times \\vec{AD}|$

$\\vec{AB} = (1,3,3)$ $\\vec{AD} = (1,4,5)$

\\vec{AB} \\times \\vec{AD} = \\begin{vmatrix} \\vec{i} & \\vec{j} & \\vec{k} \\\\ 1 & 3 & 3 \\\\ 1 & 4 & 5 \\end{vmatrix} = (3, -2, 1)

$Area = |(3,-2,1)| = \\sqrt{3^2 + (-2)^2 + 1^2} = \\sqrt{14}$