Examen Resuelto Prueba Acceso UCM Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II 2023

OPCIÓN A

Ejercicio 1.

Dado el sistema de ecuaciones lineales:

$$\begin{cases} 3x + y + 2z = 1 \\ x + my - z = 2 \\ x + y + z = 3 \end{cases}$$

a) Estudio de la compatibilidad del sistema en función de los valores de m.

Para estudiar la compatibilidad del sistema, analizaremos los rangos de la matriz de coeficientes (A) y la matriz ampliada (A').

La matriz de coeficientes A es: A = \\begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\\\ 1 & m & -1 \\\\ 1 & 1 & 1 \\end{pmatrix} La matriz ampliada A' es: A' = \\begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 & | & 1 \\\\ 1 & m & -1 & | & 2 \\\\ 1 & 1 & 1 & | & 3 \\end{pmatrix}

Calculamos el determinante de A para encontrar los valores de m que lo anulan: \\det(A) = \\begin{vmatrix} 3 & 1 & 2 \\\\ 1 & m & -1 \\\\ 1 & 1 & 1 \\end{vmatrix} = 3(m \\cdot 1 - (-1) \\cdot 1) - 1(1 \\cdot 1 - (-1) \\cdot 1) + 2(1 \\cdot 1 - m \\cdot 1) $\\det(A) = 3(m + 1) - 1(1 + 1) + 2(1 - m) = 3m + 3 - 2 + 2 - 2m = m + 3$

El determinante de A es cero si $m + 3 = 0$, es decir, si $m = -3$.

Caso 1: $m \\neq -3$ Si $m \\neq -3$, entonces $\\det(A) \\neq 0$. Esto implica que el rango de la matriz A es 3 ($\\text{rg}(A) = 3$). Como la matriz ampliada A' tiene 3 filas y 4 columnas, su rango máximo es 3. Dado que $A$ es una submatriz de $A'$ y $\\text{rg}(A) = 3$, el rango de A' también debe ser 3 ($\\text{rg}(A') = 3$). Según el Teorema de Rouché-Frobenius, si $\\text{rg}(A) = \\text{rg}(A') = n$ (donde n es el número de incógnitas, en este caso 3), el sistema es Compatible Determinado (SCD). Por lo tanto, si $m \\neq -3$, el sistema tiene una única solución.

Caso 2: $m = -3$ Si $m = -3$, entonces $\\det(A) = 0$, lo que significa que $\\text{rg}(A) < 3$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo en A. Por ejemplo, el menor formado por las filas 1 y 3, y las columnas 1 y 2: \\begin{vmatrix} 3 & 1 \\\\ 1 & 1 \\end{vmatrix} = 3 \\cdot 1 - 1 \\cdot 1 = 3 - 1 = 2 \\neq 0 Por lo tanto, $\\text{rg}(A) = 2$ cuando $m = -3$.

Ahora estudiamos el rango de la matriz ampliada A' para $m = -3$: A' = \\begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 & | & 1 \\\\ 1 & -3 & -1 & | & 2 \\\\ 1 & 1 & 1 & | & 3 \\end{pmatrix} Para determinar el rango de A', consideramos el menor de orden 3 formado por las columnas 1, 2 y 4: \\begin{vmatrix} 3 & 1 & 1 \\\\ 1 & -3 & 2 \\\\ 1 & 1 & 3 \\end{vmatrix} = 3(-3 \\cdot 3 - 2 \\cdot 1) - 1(1 \\cdot 3 - 2 \\cdot 1) + 1(1 \\cdot 1 - (-3) \\cdot 1) $= 3(-9 - 2) - 1(3 - 2) + 1(1 + 3) = 3(-11) - 1(1) + 1(4) = -33 - 1 + 4 = -30$ Como existe un menor de orden 3 en A' no nulo, el rango de A' es 3 ($\\text{rg}(A') = 3$).

Según el Teorema de Rouché-Frobenius, si $\\text{rg}(A) \\neq \\text{rg}(A')$, el sistema es Incompatible (SI). En este caso, para $m = -3$, tenemos $\\text{rg}(A) = 2$ y $\\text{rg}(A') = 3$. Por lo tanto, si $m = -3$, el sistema no tiene solución.

Conclusión del estudio:

• Si $m \\neq -3$, el sistema es Compatible Determinado (SCD), tiene una única solución.
• Si $m = -3$, el sistema es Incompatible (SI), no tiene solución.

b) Resolución del sistema para $m = 1/3$

Como $m = 1/3 \\neq -3$, el sistema es Compatible Determinado. Podemos usar la regla de Cramer para resolverlo. Ya calculamos $\\det(A) = m + 3$. Para $m = 1/3$, $\\det(A) = 1/3 + 3 = 1/3 + 9/3 = 10/3$.

Calculamos los determinantes necesarios para Cramer: \\det(A_x) = \\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\\\ 2 & 1/3 & -1 \\\\ 3 & 1 & 1 \\end{vmatrix} = 1(1/3 \\cdot 1 - (-1) \\cdot 1) - 1(2 \\cdot 1 - (-1) \\cdot 3) + 2(2 \\cdot 1 - 1/3 \\cdot 3) $= 1(1/3 + 1) - 1(2 + 3) + 2(2 - 1) = 1(4/3) - 1(5) + 2(1) = 4/3 - 5 + 2 = 4/3 - 3 = 4/3 - 9/3 = -5/3$ $x = \\frac{\\det(A_x)}{\\det(A)} = \\frac{-5/3}{10/3} = -\\frac{5}{10} = -\\frac{1}{2}$

\\det(A_y) = \\begin{vmatrix} 3 & 1 & 2 \\\\ 1 & 2 & -1 \\\\ 1 & 3 & 1 \\end{vmatrix} = 3(2 \\cdot 1 - (-1) \\cdot 3) - 1(1 \\cdot 1 - (-1) \\cdot 1) + 2(1 \\cdot 3 - 2 \\cdot 1) $= 3(2 + 3) - 1(1 + 1) + 2(3 - 2) = 3(5) - 1(2) + 2(1) = 15 - 2 + 2 = 15$ $y = \\frac{\\det(A_y)}{\\det(A)} = \\frac{15}{10/3} = 15 \\cdot \\frac{3}{10} = \\frac{45}{10} = \\frac{9}{2}$

\\det(A_z) = \\begin{vmatrix} 3 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1/3 & 2 \\\\ 1 & 1 & 3 \\end{vmatrix} = 3(1/3 \\cdot 3 - 2 \\cdot 1) - 1(1 \\cdot 3 - 2 \\cdot 1) + 1(1 \\cdot 1 - 1/3 \\cdot 1) $= 3(1 - 2) - 1(3 - 2) + 1(1 - 1/3) = 3(-1) - 1(1) + 1(2/3) = -3 - 1 + 2/3 = -4 + 2/3 = -12/3 + 2/3 = -10/3$ $z = \\frac{\\det(A_z)}{\\det(A)} = \\frac{-10/3}{10/3} = -1$

La solución para $m = 1/3$ es $x = -1/2, y = 9/2, z = -1$.

c) Resolución del sistema para $m = 1$

Como $m = 1 \\neq -3$, el sistema es Compatible Determinado. Usamos la regla de Cramer nuevamente. Para $m = 1$, $\\det(A) = m + 3 = 1 + 3 = 4$.

Calculamos los determinantes necesarios: \\det(A_x) = \\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\\\ 2 & 1 & -1 \\\\ 3 & 1 & 1 \\end{vmatrix} = 1(1 \\cdot 1 - (-1) \\cdot 1) - 1(2 \\cdot 1 - (-1) \\cdot 3) + 2(2 \\cdot 1 - 1 \\cdot 3) $= 1(1 + 1) - 1(2 + 3) + 2(2 - 3) = 1(2) - 1(5) + 2(-1) = 2 - 5 - 2 = -5$ $x = \\frac{\\det(A_x)}{\\det(A)} = \\frac{-5}{4}$

\\det(A_y) = \\begin{vmatrix} 3 & 1 & 2 \\\\ 1 & 2 & -1 \\\\ 1 & 3 & 1 \\end{vmatrix} Este determinante ya fue calculado en el apartado b) y su valor es 15. $y = \\frac{\\det(A_y)}{\\det(A)} = \\frac{15}{4}$

\\det(A_z) = \\begin{vmatrix} 3 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 2 \\\\ 1 & 1 & 3 \\end{vmatrix} = 3(1 \\cdot 3 - 2 \\cdot 1) - 1(1 \\cdot 3 - 2 \\cdot 1) + 1(1 \\cdot 1 - 1 \\cdot 1) $= 3(3 - 2) - 1(3 - 2) + 1(1 - 1) = 3(1) - 1(1) + 1(0) = 3 - 1 + 0 = 2$ $z = \\frac{\\det(A_z)}{\\det(A)} = \\frac{2}{4} = \\frac{1}{2}$

La solución para $m = 1$ es $x = -5/4, y = 15/4, z = 1/2$.

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Ejercicio 2.

La función que representa el incremento en beneficio según la inversión en publicidad (x, en miles de euros) es $f(x) = -x^2 + 6x$, con $x \\in [0, 6]$.

a) Indicación del tipo de función y representación gráfica.

La función $f(x) = -x^2 + 6x$ es una función cuadrática. Su gráfica es una parábola. Como el coeficiente del término $x^2$ es negativo ($a = -1$), la parábola está abierta hacia abajo (cóncava).

Para representarla gráficamente, calculamos sus elementos principales en el intervalo $x \\in [0, 6]$:

• Vértice: La coordenada x del vértice es $x_v = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{6}{2(-1)} = -\\frac{6}{-2} = 3$. La coordenada y del vértice es $y_v = f(3) = -(3)^2 + 6(3) = -9 + 18 = 9$. El vértice es el punto $(3, 9)$. Como $x=3$ está en el intervalo $[0, 6]$, el vértice pertenece al dominio de interés.
• Puntos de corte con el eje X: Hacemos $f(x) = 0$. $-x^2 + 6x = 0 \\implies -x(x - 6) = 0$ Las soluciones son $x = 0$ y $x = 6$. Los puntos de corte con el eje X son $(0, 0)$ y $(6, 0)$. Estos puntos coinciden con los extremos del intervalo del dominio $[0, 6]$.
• Punto de corte con el eje Y: Hacemos $x = 0$. $f(0) = -(0)^2 + 6(0) = 0$. El punto de corte con el eje Y es $(0, 0)$.

Representación Gráfica: La gráfica es un arco de parábola cóncava con vértice en $(3, 9)$ y que pasa por los puntos $(0, 0)$ y $(6, 0)$.

      ^ y (Beneficio)
      |
   10 +
      |     . (3,9) Vértice
    8 +    / \
      |   /   \
    6 +  /     \
      | /       \
    4 +/         \
      |/           \
    2 +             \
      |               \
(0,0)+------------------+---->(6,0) x (Inversión)
      0  1  2  3  4  5  6  7

(Nota: La representación anterior es una descripción textual de la gráfica)

b) Obtención de los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

Para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, estudiamos el signo de la primera derivada de la función $f(x)$. $f'(x) = \\frac{d}{dx}(-x^2 + 6x) = -2x + 6$ Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: $f'(x) = 0 \\implies -2x + 6 = 0 \\implies 2x = 6 \\implies x = 3$ El punto crítico es $x = 3$, que corresponde al vértice de la parábola.

Estudiamos el signo de $f'(x)$ en el intervalo $[0, 6]$ dividiéndolo por el punto crítico $x = 3$:

• Intervalo $(0, 3)$: Elegimos un valor de prueba, por ejemplo $x = 1$. $f'(1) = -2(1) + 6 = 4 > 0$ Como la derivada es positiva, la función $f(x)$ es creciente en el intervalo $[0, 3)$.
• Intervalo $(3, 6)$: Elegimos un valor de prueba, por ejemplo $x = 4$. $f'(4) = -2(4) + 6 = -8 + 6 = -2 < 0$ Como la derivada es negativa, la función $f(x)$ es decreciente en el intervalo $(3, 6]$.

Por lo tanto, los intervalos son:

• Crecimiento: $[0, 3)$
• Decrecimiento: $(3, 6]$

c) Inversión que proporciona el máximo beneficio y cuál es ese beneficio.

El máximo de la función $f(x) = -x^2 + 6x$ en el intervalo $[0, 6]$ se alcanza en el vértice de la parábola, ya que esta es cóncava. El vértice se encuentra en $x = 3$. La inversión $x$ está dada en miles de euros, por lo tanto, la inversión que proporciona el máximo incremento en beneficio es de 3 mil euros.

El valor del máximo incremento en beneficio se obtiene evaluando la función en $x = 3$: $f(3) = -(3)^2 + 6(3) = -9 + 18 = 9$ El máximo incremento en beneficio es de 9 (probablemente miles de euros, aunque las unidades del beneficio no se especifican, se deduce del contexto de "incremento en beneficio").

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Ejercicio 3.

Experimento aleatorio: extraer dos bolas secuencialmente y sin reemplazamiento de una urna con 4 bolas blancas (B) y 5 bolas rojas (R). Total de bolas = 4 + 5 = 9.

a) Identificación del espacio muestral.

El espacio muestral $\\Omega$ consiste en todos los posibles resultados ordenados de extraer dos bolas. Los resultados posibles son pares de colores, donde el primer color corresponde a la primera extracción y el segundo color a la segunda extracción. Sea B = bola blanca, R = bola roja. Los posibles resultados son:

• Extraer Blanca y luego Blanca (BB)
• Extraer Blanca y luego Roja (BR)
• Extraer Roja y luego Blanca (RB)
• Extraer Roja y luego Roja (RR)

El espacio muestral es: $\\Omega = \\{ (B, B), (B, R), (R, B), (R, R) \\}$

b) Cálculo de la probabilidad de que se obtengan dos bolas rojas (RR).

Para obtener dos bolas rojas, la primera bola extraída debe ser roja y la segunda también debe ser roja.

• Probabilidad de que la primera bola sea roja: $P(R_1) = \\frac{\\text{Nº bolas rojas}}{\\text{Total bolas}} = \\frac{5}{9}$
• Dado que la primera bola fue roja (y no se reemplaza), quedan 8 bolas en la urna, de las cuales 4 son rojas. La probabilidad de que la segunda bola sea roja, dado que la primera fue roja, es: $P(R_2 | R_1) = \\frac{4}{8} = \\frac{1}{2}$ La probabilidad de obtener dos bolas rojas es el producto de estas probabilidades: $P(RR) = P(R_1) \\times P(R_2 | R_1) = \\frac{5}{9} \\times \\frac{4}{8} = \\frac{20}{72}$ Simplificando la fracción: $P(RR) = \\frac{5}{18}$

c) Cálculo de la probabilidad de que se extraiga al menos una bola blanca.

El evento "extraer al menos una bola blanca" es el evento complementario a "no extraer ninguna bola blanca", lo cual significa extraer dos bolas rojas (RR). Utilizamos la regla del complemento: $P(\\text{al menos una B}) = 1 - P(\\text{ninguna B}) = 1 - P(RR)$ Usando el resultado del apartado b): $P(\\text{al menos una B}) = 1 - \\frac{5}{18} = \\frac{18}{18} - \\frac{5}{18} = \\frac{13}{18}$

d) Cálculo de la probabilidad de extraer dos bolas del mismo color.

Este evento ocurre si se extraen dos bolas blancas (BB) o dos bolas rojas (RR). Estos dos eventos son mutuamente excluyentes. $P(\\text{mismo color}) = P(BB) + P(RR)$ Ya calculamos $P(RR) = 5/18$. Ahora calculamos $P(BB)$.

• Probabilidad de que la primera bola sea blanca: $P(B_1) = \\frac{\\text{Nº bolas blancas}}{\\text{Total bolas}} = \\frac{4}{9}$
• Dado que la primera bola fue blanca, quedan 8 bolas en la urna, de las cuales 3 son blancas. La probabilidad de que la segunda bola sea blanca, dado que la primera fue blanca, es: $P(B_2 | B_1) = \\frac{3}{8}$ La probabilidad de obtener dos bolas blancas es: $P(BB) = P(B_1) \\times P(B_2 | B_1) = \\frac{4}{9} \\times \\frac{3}{8} = \\frac{12}{72} = \\frac{1}{6}$ Ahora sumamos las probabilidades: $P(\\text{mismo color}) = P(BB) + P(RR) = \\frac{1}{6} + \\frac{5}{18} = \\frac{3}{18} + \\frac{5}{18} = \\frac{8}{18}$ Simplificando la fracción: $P(\\text{mismo color}) = \\frac{4}{9}$

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Ejercicio 4.

El peso de las sandías (X) sigue una distribución normal con media $\\mu = 11$ Kg y desviación típica $\\sigma = 2$ Kg. Es decir, $X \\sim N(11, 2^2)$.

a) Cálculo de la probabilidad de que una sandía tomada al azar pese más de 14 Kg.

Queremos calcular $P(X > 14)$. Para ello, tipificamos la variable X para obtener una variable normal estándar Z, donde $Z = \\frac{X - \\mu}{\\sigma}$. $Z = \\frac{14 - 11}{2} = \\frac{3}{2} = 1.5$ Entonces, $P(X > 14) = P(Z > 1.5)$. La tabla de la distribución normal estándar N(0,1) proporciona probabilidades acumuladas $P(Z \\le z)$. Usamos la propiedad del complementario: $P(Z > 1.5) = 1 - P(Z \\le 1.5)$ Buscamos el valor de $P(Z \\le 1.5)$ en la tabla proporcionada. Para $z = 1.50$, la tabla da: $P(Z \\le 1.50) = 0.9332$ Por lo tanto: $P(X > 14) = 1 - 0.9332 = 0.0668$ La probabilidad de que una sandía pese más de 14 Kg es 0.0668 o 6.68%.

b) Cálculo de la probabilidad de que la media muestral de una muestra aleatoria simple de 100 sandías sea inferior a 10.5 Kg.

Tenemos una muestra aleatoria simple de tamaño $n = 100$. La variable aleatoria es la media muestral $\\bar{X}$. Por el Teorema Central del Límite, o porque la población original es normal, la distribución de la media muestral $\\bar{X}$ es también normal. La media de la distribución muestral es la misma que la media poblacional: $\\mu_{\\bar{X}} = \\mu = 11$ Kg. La desviación típica de la distribución muestral (error estándar) es: $\\sigma_{\\bar{X}} = \\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}} = \\frac{2}{\\sqrt{100}} = \\frac{2}{10} = 0.2$ Kg. Entonces, la distribución de la media muestral es $\\bar{X} \\sim N(11, 0.2^2)$.

Queremos calcular $P(\\bar{X} < 10.5)$. Tipificamos la variable $\\bar{X}$: $Z = \\frac{\\bar{X} - \\mu_{\\bar{X}}}{\\sigma_{\\bar{X}}} = \\frac{10.5 - 11}{0.2} = \\frac{-0.5}{0.2} = -2.5$ Entonces, $P(\\bar{X} < 10.5) = P(Z < -2.5)$. Usamos la simetría de la distribución normal estándar: $P(Z < -z) = P(Z > z)$. $P(Z < -2.5) = P(Z > 2.5)$ Ahora usamos la propiedad del complementario: $P(Z > 2.5) = 1 - P(Z \\le 2.5)$ Buscamos el valor de $P(Z \\le 2.5)$ en la tabla N(0,1). Para $z = 2.50$, la tabla da: $P(Z \\le 2.50) = 0.9938$ Por lo tanto: $P(\\bar{X} < 10.5) = 1 - 0.9938 = 0.0062$ La probabilidad de que la media muestral sea inferior a 10.5 Kg es 0.0062 o 0.62%.