Examen Resuelto Selectividad EVAU UCLM 2022 Dibujo Técnico II

BLOQUE 1. EJERCICIO 1a (3 puntos)

Para encontrar cuatro puntos de la hipérbola, no simétricos entre sí, con focos $F$ y $F'$ y que pasa por el punto $P$, utilizo la definición de la hipérbola como lugar geométrico. La diferencia de las distancias de cualquier punto de la hipérbola a los focos es constante. Primero, calculo la diferencia de distancias de $P$ a los focos: $|PF - PF'|$.

1. Punto 1: El punto dado $P$ ya es un punto de la hipérbola.

2. Punto 2: Elijo un punto $P_1$ en el segmento $PF$ (o $PF'$). Mido la distancia desde $P_1$ a $F$ ($P_1F$) y calculo la distancia a $F'$ que debe tener para mantener la diferencia constante: $P_1F' = P_1F + |PF - PF'|$. Con centro en $F'$ y radio $P_1F'$, trazo un arco que intersecará al arco con centro en $F$ y radio $PF - PF'$ en el punto $P_2$, que también será un punto de la hipérbola.

3. Punto 3: Elijo otro punto $P_3$ en una posición diferente en el segmento $PF$ o $PF'$, o incluso fuera del segmento, pero en la línea que los une. Repito el procedimiento anterior para encontrar el punto correspondiente en la hipérbola. Por ejemplo, si $P_3$ está en la prolongación de $PF$ más allá de $F$, entonces $P_3F' = P_3F - |PF - PF'|$. Trazo un arco con centro en $F'$ y radio $P_3F'$ que intersectará el arco con centro en $F$ y radio $P_3F$ en el punto $P_4$, que será otro punto de la hipérbola.

4. Punto 4: Para encontrar un cuarto punto, puedo elegir un punto $P_5$ en la misma recta que une los focos, pero al otro lado de $F'$ con respecto a $F$. La distancia $P_5F = P_5F' + |PF - PF'|$. Luego trazo un arco con centro en $F$ y radio $P_5F$, que intersectará el arco con centro en $F'$ y radio $P_5F'$ en el punto $P_6$, que será otro punto de la hipérbola.

   De esta manera, aseguro que los cuatro puntos $P, P_2, P_4, P_6$ no sean simétricos entre sí, ya que están en diferentes posiciones respecto a los focos y la diferencia de distancias a los focos se mantiene constante para todos ellos, cumpliendo la condición de estar en la hipérbola.

BLOQUE 2. EJERCICIO 2a (2 puntos)

Para hallar la verdadera magnitud de la distancia entre los planos $\\\\alpha$ y $\\beta$, primero identifico que son planos paralelos, ya que sus trazas homónimas son paralelas. La distancia entre ellos será la distancia de un punto cualquiera de uno de los planos al otro plano.

1. Selección de un punto: Tomo un punto $P$ en el plano $\\\\alpha$, que puede ser la intersección de las trazas $\\\\alpha'$ y $\\\\alpha''$ en la línea de tierra.

2. Recta perpendicular: Desde el punto $P$, trazo una recta $r$ perpendicular al plano $\\beta$. Las proyecciones de la recta $r$ serán perpendiculares a las trazas correspondientes del plano $\\beta$. Es decir, $r'$ será perpendicular a $\\beta'$ y $r''$ será perpendicular a $\\beta''$.

3. Intersección de la recta con el plano: Hallo la intersección de la recta $r$ con el plano $\\beta$. Para ello, utilizo un plano proyectante que contenga a la recta $r$. La intersección de este plano proyectante con $\\beta$ será una recta $s$. El punto de intersección entre $r$ y $s$ será el punto $I$.

4. Verdadera magnitud: La verdadera magnitud de la distancia entre los planos será la distancia entre el punto $P$ y el punto $I$. Como el segmento $PI$ es oblicuo, utilizo el método de giro o de diferencia de cotas para hallar su verdadera magnitud. Giro el segmento $PI$ alrededor de un eje vertical u horizontal hasta que quede paralelo a uno de los planos de proyección, o bien calculo la diferencia de cotas o alejamientos entre $P$ e $I$ y, utilizando el teorema de Pitágoras, determino la verdadera magnitud de la distancia entre los dos puntos.

La distancia $PI$ en verdadera magnitud es la distancia entre los planos $\\\\alpha$ y $\\beta$.

BLOQUE 1. EJERCICIO 1b (3 puntos)

Para dibujar al menos dos circunferencias coaxiales a las dadas, primero debo entender que las circunferencias coaxiales comparten el mismo eje radical. El eje radical de dos circunferencias es el lugar geométrico de los puntos que tienen la misma potencia respecto a ambas circunferencias.

1. Encontrar el eje radical: Dibujo la recta que une los centros de las dos circunferencias dadas, $O_1$ y $O_2$. Luego, trazo una recta perpendicular a la línea de centros que pase por el punto de intersección de las dos circunferencias si se intersecan, o a través de un proceso de encontrar un punto con igual potencia a ambas circunferencias si no se intersecan. Este será el eje radical.

2. Elegir centros para las nuevas circunferencias: Para que las nuevas circunferencias sean coaxiales con las dadas, sus centros deben estar en la línea que une los centros de las circunferencias originales, la línea $O_1O_2$. Elijo dos puntos distintos, $O_3$ y $O_4$, sobre esta línea.

3. Determinar los radios: Desde cada uno de los nuevos centros, $O_3$ y $O_4$, trazo una perpendicular hasta el eje radical. La distancia desde cada centro al punto donde su perpendicular intersecta el eje radical será el radio de la circunferencia coaxial correspondiente. Llamemos a estos puntos de intersección $P_3$ y $P_4$. Así, el radio de la circunferencia con centro en $O_3$ será $O_3P_3$, y el radio de la circunferencia con centro en $O_4$ será $O_4P_4$.

4. Dibujar las circunferencias: Con centro en $O_3$ y radio $O_3P_3$, trazo una circunferencia. Luego, con centro en $O_4$ y radio $O_4P_4$, trazo otra circunferencia.

Estas dos circunferencias serán coaxiales a las dadas, ya que comparten el mismo eje radical.

BLOQUE 2. EJERCICIO 2b (2 puntos)

Para hallar las proyecciones de un tetraedro dado por una de sus aristas y sabiendo que se encuentra apoyado sobre una de sus caras en el Plano Horizontal de Proyección, primero identifico la arista dada y asumo que esta arista está contenida en el plano horizontal.

1. Base del tetraedro: Dibujo la arista dada $AB$ en el plano horizontal. La proyección horizontal $A'B'$ coincidirá con la arista $AB$, y la proyección vertical $A''B''$ estará en la línea de tierra. Como el tetraedro está apoyado en una cara, construyo un triángulo equilátero en el plano horizontal a partir de $A'B'$ para formar la base $A'B'C'$.

2. Altura del tetraedro: La altura del tetraedro regular es perpendicular a la base y se puede calcular usando la fórmula $h = \\\\sqrt{\\\\frac{2}{3}} \\\\cdot l$, donde $l$ es la longitud de la arista. Dibujo la altura desde el centro $O'$ de la base triangular hasta el vértice $D$ del tetraedro. El centro $O'$ se encuentra en la intersección de las medianas del triángulo $A'B'C'$.

3. Proyección vertical del vértice superior: Como la base está en el plano horizontal, la proyección vertical de la altura $h$ será la verdadera magnitud de la altura del tetraedro. Desde $O''$, que está en la línea de tierra directamente debajo de $O'$, mido la altura $h$ verticalmente hacia arriba para obtener $D''$.

4. Proyecciones del tetraedro: Conecto $A''$, $B''$, y $C''$ (que están en la línea de tierra) con $D''$ para completar la proyección vertical del tetraedro. En la proyección horizontal, conecto $D'$ con $A'$, $B'$, y $C'$ para completar el tetraedro.

El tetraedro ahora está representado por sus proyecciones horizontal y vertical, con la base $A'B'C'$ en el plano horizontal y el vértice $D$ proyectado en $D'$ y $D''$.

BLOQUE 2. EJERCICIO 2c (2 puntos)

Para dibujar la traza vertical $\\\\alpha''$ de un plano $\\\\alpha$ del cual se conoce su traza horizontal $\\\\alpha'$ y un punto $A$ contenido en él, con proyecciones $A'$ y $A''$, sigo el siguiente procedimiento:

1. Recta horizontal del plano: Como el punto $A$ pertenece al plano $\\\\alpha$, puedo trazar una recta horizontal $r$ que pase por $A$ y esté contenida en el plano. La proyección vertical de esta recta, $r''$, será paralela a la línea de tierra y pasará por $A''$. La proyección horizontal $r'$ será paralela a la traza horizontal $\\\\alpha'$ y pasará por $A'$.

2. Traza de la recta: Encuentro la traza vertical de la recta $r$. Como $r''$ es paralela a la línea de tierra, su traza vertical estará en el infinito, lo que significa que la recta $r$ es paralela al plano vertical. Sin embargo, la recta $r$ debe cortar a la traza vertical del plano $\\\\alpha$ en algún punto, ya que $r$ está contenida en $\\\\alpha$. Prolongo $r'$ hasta que corte a la línea de tierra, y desde ese punto, trazo una línea vertical hasta cortar a $r''$. Ese punto de intersección será la traza vertical de la recta $r$, que llamaré $V_r$.

3. Dibujar la traza vertical del plano: Como la traza vertical del plano debe contener a la traza vertical de cualquier recta contenida en el plano, y ya tengo la traza horizontal $\\\\alpha'$, la traza vertical $\\\\alpha''$ será la recta que pase por $V_r$ y sea perpendicular a la línea de tierra en el punto donde $\\\\alpha'$ la corta.

Con este método, he encontrado la traza vertical $\\\\alpha''$ del plano $\\\\alpha$, asegurando que contenga al punto $A$ y sea coherente con la traza horizontal dada.

BLOQUE 3. EJERCICIO 3a (3 puntos)

Para dibujar las vistas de alzado, planta y perfil de la pieza dada en isométrica, según el método del primer diedro (sistema europeo), y a escala 1:1, procedo de la siguiente manera:

1. Análisis de la pieza: Observo la pieza en perspectiva isométrica para comprender su forma y dimensiones. Identifico las superficies principales, aristas y detalles significativos.

2. Alzado: Dibujo la vista frontal o alzado de la pieza tal como se vería desde el frente. Represento todas las aristas y superficies visibles desde esa dirección. Las líneas ocultas no se muestran a menos que sean necesarias para la comprensión de la pieza.

3. Planta: Dibujo la vista superior o planta de la pieza como se vería desde arriba. Muestro las aristas y superficies visibles desde la parte superior. Las líneas ocultas se representan si son necesarias para la claridad.

4. Perfil: Dibujo la vista lateral o perfil de la pieza, que en el sistema europeo es la vista desde el lado izquierdo proyectada hacia la derecha. Represento las aristas y superficies visibles desde ese lado.

   Como no es necesario acotar las vistas y la escala es 1:1, me aseguro de que las proporciones y dimensiones relativas de las vistas coincidan con las de la perspectiva isométrica. Las medidas se toman directamente de la figura isométrica, ya que están expresadas en milímetros.

BLOQUE 2. EJERCICIO 2d (2 puntos)

Para dibujar las proyecciones de una recta $R$ perpendicular a la recta $S$ dada y que pase por el punto $P$, sigo estos pasos:

1. Plano perpendicular a S: Primero, dibujo un plano $\\\\pi$ que sea perpendicular a la recta $S$ y que contenga al punto $P$. Las trazas del plano $\\\\pi$ serán perpendiculares a las proyecciones correspondientes de la recta $S$. Es decir, la traza horizontal $\\\\pi'$ será perpendicular a la proyección horizontal $S'$, y la traza vertical $\\\\pi''$ será perpendicular a la proyección vertical $S''$.

2. Intersección de S con el plano: Encuentro el punto de intersección $I$ de la recta $S$ con el plano $\\\\pi$. Para ello, utilizo un plano proyectante que contenga a la recta $S$. La intersección de este plano proyectante con $\\\\pi$ será una recta $T$. El punto donde $T$ y $S$ se intersectan es el punto $I$, que tendrá proyecciones $I'$ e $I''$.

3. Recta R perpendicular: La recta $R$ que busco debe pasar por el punto $P$ y ser perpendicular a $S$. Como $R$ está contenida en el plano $\\\\pi$ y $S$ es perpendicular a $\\\\pi$, entonces $R$ será perpendicular a $S$ en el punto $I$. Dibujo las proyecciones de $R$ ($R'$ y $R''$) pasando por las proyecciones de $P$ ($P'$ y $P''$) y de $I$ ($I'$ e $I''$) respectivamente.

Con estos pasos, he determinado las proyecciones de una recta $R$ que es perpendicular a la recta $S$ y pasa por el punto $P$, utilizando el plano perpendicular a $S$ como intermediario.

BLOQUE 3. EJERCICIO 3b (3 puntos)

Para dibujar la pieza dada por sus vistas en perspectiva isométrica, sin considerar el coeficiente de reducción y a escala 1:1, sigo el siguiente procedimiento:

1. Análisis de las vistas: Estudio las vistas de alzado, planta y perfil proporcionadas para entender la forma tridimensional de la pieza. Identifico las correspondencias entre las diferentes vistas y cómo se relacionan entre sí.

2. Ejes isométricos: Dibujo los tres ejes isométricos que forman ángulos de 120 grados entre sí. Estos ejes representarán las tres dimensiones del espacio: altura, anchura y profundidad.

3. Construcción de la base: Comienzo por la base de la pieza, que generalmente se puede deducir de la vista en planta. Traslado las medidas de la base a los ejes isométricos correspondientes, manteniendo las proporciones correctas según la escala 1:1.

4. Levantar la altura: A partir de la base, levanto las alturas correspondientes a cada parte de la pieza, según se indica en la vista de alzado y perfil. Utilizo líneas paralelas a los ejes isométricos para mantener la perspectiva correcta.

5. Completar la forma: Uno los puntos levantados para formar las aristas de la pieza. Me aseguro de que todas las líneas que representan aristas paralelas en la realidad sean paralelas a los ejes isométricos en la perspectiva.

6. Detalles y acabados: Añado los detalles que se ven en las vistas, como agujeros, ranuras o cualquier otro elemento distintivo de la pieza.

7. Revisión final: Verifico que la perspectiva isométrica sea coherente con las vistas dadas y que todas las partes de la pieza estén correctamente representadas en la perspectiva isométrica.

Como no se debe tener en cuenta el coeficiente de reducción y la escala es 1:1, las medidas de las vistas se trasladan directamente a la perspectiva isométrica, asegurando que las proporciones sean correctas y la pieza esté bien representada.