Opción A

Ejercicio 1

a) Primero, calculamos la matriz transpuesta de M, que se denota por $M^t$. La matriz transpuesta se obtiene intercambiando las filas por las columnas de la matriz original.

$M = \\begin{pmatrix} -2 \\\\ -1 \\end{pmatrix}$

M^t = \\begin{pmatrix} -2 & -1 \\end{pmatrix}

Ahora, realizamos el producto $M \\cdot M^t$:

M \\cdot M^t = \\begin{pmatrix} -2 \\\\ -1 \\end{pmatrix} \\cdot \\begin{pmatrix} -2 & -1 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} (-2) \\cdot (-2) & (-2) \\cdot (-1) \\\\ (-1) \\cdot (-2) & (-1) \\cdot (-1) \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 4 & 2 \\\\ 2 & 1 \\end{pmatrix}

b) Para despejar X en la expresión matricial $P \\cdot X = M \\cdot M^t$, necesitamos multiplicar ambos lados de la ecuación por la inversa de P (si existe) por la izquierda. Suponiendo que P es invertible (su determinante es distinto de cero), entonces:

$P^{-1} \\cdot P \\cdot X = P^{-1} \\cdot (M \\cdot M^t)$

Como $P^{-1} \\cdot P = I$ (la matriz identidad), tenemos:

$I \\cdot X = P^{-1} \\cdot (M \\cdot M^t)$

$X = P^{-1} \\cdot (M \\cdot M^t)$

c) Primero, calculamos la inversa de P:

P = \\begin{pmatrix} -2 & -3 \\\\ 4 & 3 \\end{pmatrix}

El determinante de P es: $det(P) = (-2)(3) - (-3)(4) = -6 + 12 = 6$

La inversa de P es:

P^{-1} = \\frac{1}{det(P)} \\cdot \\begin{pmatrix} 3 & 3 \\\\ -4 & -2 \\end{pmatrix} = \\frac{1}{6} \\cdot \\begin{pmatrix} 3 & 3 \\\\ -4 & -2 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 \\\\ -2/3 & -1/3 \\end{pmatrix}

Ahora, calculamos X:

X = P^{-1} \\cdot (M \\cdot M^t) = \\begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 \\\\ -2/3 & -1/3 \\end{pmatrix} \\cdot \\begin{pmatrix} 4 & 2 \\\\ 2 & 1 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} (1/2)(4) + (1/2)(2) & (1/2)(2) + (1/2)(1) \\\\ (-2/3)(4) + (-1/3)(2) & (-2/3)(2) + (-1/3)(1) \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 3 & 3/2 \\\\ -10/3 & -5/3 \\end{pmatrix}

Ejercicio 2

a) Definimos las variables:

• x: número de entradas de cine vendidas.
• y: número de entradas de teatro vendidas.
• z: número de entradas de concierto vendidas.

Planteamos el sistema de ecuaciones basado en la información proporcionada:

1. Total de entradas vendidas: $x + y + z = 320$
2. Recaudación total: $8x + 20y + 30z = 6460$
3. Relación entre entradas de concierto y teatro: $z = 3y$

El sistema de ecuaciones es:

$\\begin{cases} x + y + z = 320 \\\\ 8x + 20y + 30z = 6460 \\\\ z = 3y \\end{cases}$

b) Sustituimos la tercera ecuación en las dos primeras:

$\\begin{cases} x + y + 3y = 320 \\\\ 8x + 20y + 30(3y) = 6460 \\end{cases}$

Simplificamos:

$\\begin{cases} x + 4y = 320 \\\\ 8x + 110y = 6460 \\end{cases}$

Resolvemos el sistema. Multiplicamos la primera ecuación por -8:

$\\begin{cases} -8x - 32y = -2560 \\\\ 8x + 110y = 6460 \\end{cases}$

Sumamos las ecuaciones:

$78y = 3900$

$y = \\frac{3900}{78} = 50$

Sustituimos y = 50 en la primera ecuación simplificada:

$x + 4(50) = 320$

$x + 200 = 320$

$x = 120$

Sustituimos y = 50 en la tercera ecuación original:

$z = 3(50) = 150$

Por lo tanto, se vendieron 120 entradas de cine, 50 entradas de teatro y 150 entradas de concierto.

Ejercicio 3

a) Para que f(x) sea continua en x = 1, los límites laterales deben ser iguales al valor de la función en ese punto:

$\\lim_{x \\to 1^-} f(x) = \\lim_{x \\to 1^+} f(x) = f(1)$

Calculamos los límites:

$\\lim_{x \\to 1^-} f(x) = \\lim_{x \\to 1^-} (x^2 + x - 3) = (1)^2 + 1 - 3 = -1$

$\\lim_{x \\to 1^+} f(x) = \\lim_{x \\to 1^+} (x + t) = 1 + t$

$f(1) = (1)^2 + 1 - 3 = -1$

Igualamos los límites laterales:

$-1 = 1 + t$

$t = -2$

Por lo tanto, la función es continua en x=1 cuando t = -2.

b) Para t = 0, la función en el intervalo $(-\\infty, 1)$ es $f(x) = x^2 + x - 3$. Para encontrar los extremos relativos, calculamos la derivada primera y la igualamos a cero:

$f'(x) = 2x + 1$

$2x + 1 = 0$

$x = -\\frac{1}{2}$

Calculamos la segunda derivada para determinar si es un máximo o un mínimo:

$f''(x) = 2$

Como $f''(-\\frac{1}{2}) = 2 > 0$, tenemos un mínimo relativo en $x = -\\frac{1}{2}$. El valor de la función en ese punto es:

$f(-\\frac{1}{2}) = (-\\frac{1}{2})^2 + (-\\frac{1}{2}) - 3 = \\frac{1}{4} - \\frac{1}{2} - 3 = -\\frac{13}{4}$

El extremo relativo es un mínimo en $(-\\frac{1}{2}, -\\frac{13}{4})$.

c) Para t = 0, y en el intervalo $(-\\infty, 1)$, $f(x) = x^2 + x - 3$. Ya hemos calculado la derivada: $f'(x) = 2x + 1$.

• Si $f'(x) > 0$, la función es creciente. $2x + 1 > 0 \\Rightarrow x > -\\frac{1}{2}$. Por lo tanto, la función es creciente en el intervalo $(-\\frac{1}{2}, 1)$.
• Si $f'(x) < 0$, la función es decreciente. $2x + 1 < 0 \\Rightarrow x < -\\frac{1}{2}$. Por lo tanto, la función es decreciente en el intervalo $(-\\infty, -\\frac{1}{2})$.

Ejercicio 4

La función es $H(x) = ax^3 + bx + c$.

• Punto de inflexión en (0, 2/3): Un punto de inflexión ocurre donde la segunda derivada es cero.

  $H'(x) = 3ax^2 + b$

  $H''(x) = 6ax$

  $H''(0) = 6a(0) = 0$ (Esto se cumple para cualquier valor de a).

  Además, como el punto (0, 2/3) pertenece a la función:

  $H(0) = a(0)^3 + b(0) + c = \\frac{2}{3}$

  $c = \\frac{2}{3}$

• Máximo relativo en (4, 6): En un máximo relativo, la primera derivada es cero.

  $H'(4) = 3a(4)^2 + b = 0$

  $48a + b = 0$

  También, como el punto (4, 6) pertenece a la función:

  $H(4) = a(4)^3 + b(4) + c = 6$

  $64a + 4b + c = 6$

Tenemos el sistema:

$\\begin{cases} c = \\frac{2}{3} \\\\ 48a + b = 0 \\\\ 64a + 4b + c = 6 \\end{cases}$

Sustituimos $c = \\frac{2}{3}$ en la tercera ecuación:

$64a + 4b + \\frac{2}{3} = 6$

$64a + 4b = \\frac{16}{3}$

De la segunda ecuación, despejamos b: $b = -48a$

Sustituimos en la ecuación anterior:

$64a + 4(-48a) = \\frac{16}{3}$

$64a - 192a = \\frac{16}{3}$

$-128a = \\frac{16}{3}$

$a = \\frac{16}{3} \\cdot \\frac{1}{-128} = -\\frac{1}{24}$

Calculamos b:

$b = -48a = -48(-\\frac{1}{24}) = 2$

Por lo tanto, $a = -\\frac{1}{24}$, $b = 2$, y $c = \\frac{2}{3}$.

Ejercicio 5

a) Definimos los eventos:

• C: El estudiante es de la modalidad de Ciencias.
• H: El estudiante es de la modalidad de Humanidades y Ciencias Sociales.
• A: El estudiante es de la modalidad de Arte.
• S: El estudiante tiene una nota media superior a 8.

Tenemos las siguientes probabilidades:

• P(C) = 0.45
• P(H) = 0.35
• P(A) = 1 - 0.45 - 0.35 = 0.20
• P(S|C) = 0.10
• P(S|H) = 0.20
• P(S|A) = 0.25

Usamos el teorema de la probabilidad total para calcular P(S):

$P(S) = P(S|C)P(C) + P(S|H)P(H) + P(S|A)P(A)$

$P(S) = (0.10)(0.45) + (0.20)(0.35) + (0.25)(0.20)$

$P(S) = 0.045 + 0.07 + 0.05 = 0.165$

La probabilidad de que un estudiante tenga una nota media superior a 8 es 0.165.

b) Definimos el evento $S^c$ como el complemento de S (nota media menor o igual a 8). $P(S^c) = 1 - P(S) = 1 - 0.165 = 0.835$

Queremos calcular $P(C|S^c)$, la probabilidad de que sea de Ciencias dado que tiene nota menor o igual a 8. Usamos el teorema de Bayes:

$P(C|S^c) = \\frac{P(S^c|C)P(C)}{P(S^c)}$

Calculamos $P(S^c|C) = 1 - P(S|C) = 1 - 0.10 = 0.90$

Sustituimos:

$P(C|S^c) = \\frac{(0.90)(0.45)}{0.835} = \\frac{0.405}{0.835} \\approx 0.485$

La probabilidad de que sea de Ciencias dado que tiene una nota media menor o igual a 8 es aproximadamente 0.485.

Ejercicio 6

a) Tenemos una distribución normal con desviación típica $\\sigma = 10$ minutos. La muestra es de tamaño n = 10. Los tiempos de la muestra son: 15, 19, 20, 22, 24, 25, 27, 28, 30 y 32.

Primero, calculamos la media muestral $\\bar{x}$:

$\\bar{x} = \\frac{15 + 19 + 20 + 22 + 24 + 25 + 27 + 28 + 30 + 32}{10} = \\frac{242}{10} = 24.2$

El nivel de confianza es del 95%, lo que significa que $\\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$. Buscamos el valor crítico $z_{\\alpha/2}$ tal que el área a su derecha sea $\\alpha/2 = 0.025$. Esto corresponde a un área acumulada de $1 - 0.025 = 0.975$. Mirando en la tabla, vemos que el valor de z es 1.96.

El intervalo de confianza para la media poblacional $\\mu$ es:

$\\bar{x} \\pm z_{\\alpha/2} \\cdot \\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}}$

$24.2 \\pm 1.96 \\cdot \\frac{10}{\\sqrt{10}}$

$24.2 \\pm 1.96 \\cdot \\frac{10}{3.162}$

$24.2 \\pm 1.96 \\cdot 3.162$

$24.2 \\pm 6.198$

El intervalo de confianza es $(24.2 - 6.198, 24.2 + 6.198) = (18.002, 30.398)$.

b) El error máximo admisible es:

$E = z_{\\alpha/2} \\cdot \\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}}$

Queremos que E sea menor que 1 minuto, con el mismo nivel de confianza (95%, por lo que $z_{\\alpha/2} = 1.96$) y $\\sigma = 10$.

$1 > 1.96 \\cdot \\frac{10}{\\sqrt{n}}$

$\\sqrt{n} > 19.6$

$n > (19.6)^2$

$n > 384.16$

Como n debe ser un entero, el tamaño mínimo de la muestra debe ser 385.

Opción B

Ejercicio 1

a) Región factible: x + 2y ≤ 16 => 2y ≤ -x + 16 => y ≤ -1/2x + 8 5x + 4y ≥ 38 => 4y ≥ -5x + 38 => y ≥ -5/4x + 19/2 4y - x ≥ 2 => 4y ≥ x + 2 => y ≥ 1/4x + 1/2 x>=0, y>=0

Dibujamos estas tres rectas y sombreamos. Cuando x=0, y=8; Cuando y=0, x= 16. (1era restricción) Cuando x=0, y= 9.5. Cuando y=0, x=7.6. (2da restricción) Cuando x=0, y=0.5; Cuando y=0, x=-2. (3era restricción)

b) Vértices:

Resolvemos los sistemas de ecuaciones formados por las restricciones:

• Intersección de x + 2y = 16 y 5x + 4y = 38:

  Multiplicamos la primera ecuación por -2: -2x - 4y = -32 Sumamos a la segunda: 3x = 6 => x = 2 Sustituimos en la primera: 2 + 2y = 16 => 2y = 14 => y = 7 Vértice: (2, 7)

• Intersección de x + 2y = 16 y 4y - x = 2:

  Sumamos las ecuaciones: 6y = 18 => y = 3 Sustituimos en la primera: x + 2(3) = 16 => x = 10 Vértice: (10, 3)

• Intersección de 5x + 4y = 38 y 4y - x = 2:

  Restamos la segunda ecuación de la primera: 6x = 36 => x = 6 Sustituimos en la segunda: 4y - 6 = 2 => 4y = 8 => y = 2 Vértice: (6, 2)

c) F = 5x + 3y F(2,7) = 52 + 3 * 7 = 10 + 21 = 31 F(10,3) = 5 * 10 + 3 * 3 = 50 + 9 = 59 F(6,2) = 56 + 3*2 = 30 + 6 = 36

La solución óptima (mínima) es en el vértice (2, 7) con un valor de 31.

Ejercicio 2

a) x: número de pesas de 200g y: número de pesas de 100g z: número de pesas de 50g

1. Total de pesas: x + y + z = 40
2. Relación entre pesas: z = x + y + 8
3. Peso Total: 200x + 100y + 50z = 3400

x + y + z = 40 \\ z = x + y + 8 \\ 200x + 100y + 50z = 3400 \end{cases}$$ b) $$\begin{cases} x + y + z = 40 \\ -x -y + z = 8\\ 200x + 100y + 50z = 3400 \end{cases}$$ Sustituimos la segunda ecuación en la primera y tercera: z = x + y + 8 x + y + (x + y + 8) = 40 => 2x + 2y = 32 => x + y = 16 200x + 100y + 50(x+y+8) = 3400 => 250x + 150y = 3000 => 5x + 3y = 60 $$\begin{cases} x+y = 16 \\ 5x + 3y = 60 \end{cases}$$ Multiplicamos por -3 la primera: -3x -3y = -48 5x + 3y = 60 Sumamos: 2x= 12 => x=6 Sustituimos: 6+y = 16 => y = 10 z = 6 + 10 + 8 = 24 Hay 6 pesas de 200g, 10 pesas de 100g y 24 pesas de 50g. ## Ejercicio 3 a) Para que *f* sea continua en x = 1: lim x->1- f(x) = lim x->1+ f(x) lim x->1- (x+2)^2 = (1+2)^2 = 9 lim x->1+ (x-2)^2 + t = (1-2)^2 + t = 1 + t 9 = 1 + t => t = 8 b) Para t = 0: $$ f(x) = \begin{cases} (x+2)^2 & x \leq 1 \\ (x-2)^2 & x > 1 \end{cases}

Para x<=1 Cuando x=1, y=(1+2)^2 = 9 Cuando x=0, y=(0+2)^2=4 Cuando x=-1, y=(-1+2)^2 =1 Cuando x=-2, y=(-2+2)^2 = 0

Para x>1 Cuando x=2, y=(2-2)^2=0 Cuando x=3, y=(3-2)^2 = 1 Cuando x=4, y=(4-2)^2 = 4

Ejercicio 4

a) F(0) = 1/3 * 0^3 - 15/2 * 0^2 + 360 + 150 = 150 (Recaudación en cientos de euros) F(16) = 1/3 * 16^3 - 15/2 * 16^2 + 3616 + 150 = 1365.33 - 1920 + 576 + 150 = 171.33 (Recaudación en cientos de euros)

b) F'(x) = x^2 - 15x + 36 x^2 - 15x + 36 = 0 $x = \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \\frac{15 \\pm \\sqrt{15^2 - 4 * 1 * 36}}{2} = \\frac{15 \\pm \\sqrt{225-144}}{2} = \\frac{15 \\pm \\sqrt{81}}{2} = \\frac{15 \\pm 9}{2}$ x1 = 12, x2 = 3

F''(x) = 2x - 15 F''(3) = 23 - 15 = -9 < 0 => Máximo F''(12) = 212 - 15 = 9 > 0 => Mínimo

Crece en (0,3) U (12, 16) Decrece en (3,12)

c) Máxima recaudación: F(3) = 1/3 * 3^3 - 15/2 * 3^2 + 36*3 + 150 = 9 - 67.5 + 108 + 150 = 199.5 (cientos de euros) Mínima recaudación: F(12) = 1/3 * 12^3 - 15/2 * 12^2 + 36 * 12 + 150 = 576 - 1080 + 432 + 150 = 78 (cientos de euros)

Ejercicio 5

a) A: Empleado categoría A B: Empleado categoría B T: Contrato temporal

P(A) = 0.8 P(B) = 0.2 P(T|A) = 0.1 P(T|B) = 0.3

P(T) = P(T|A) * P(A) + P(T|B) * P(B) = 0.1 * 0.8 + 0.3 * 0.2 = 0.08 + 0.06 = 0.14

b) P(B|T) = P(T|B) * P(B) / P(T) = 0.3 * 0.2 / 0.14 = 0.06/0.14 = 3/7 = 0.4286

Ejercicio 6

a) Intervalo de confianza: (128.3, 171.7) Desviación típica poblacional: 30 n = 9

El punto medio del intervalo es la media muestral Media muestral = (128.3 + 171.7)/2 = 300/2 = 150

Amplitud = 171.7-128.3=43.4 El error es la mitad de la amplitud = 43.4/2 = 21.7 Error = Z * (Desviación típica)/sqrt(n)

21.7 = Z * 30/sqrt(9) = Z * 30/3 = Z*10 Z = 21.7/10 = 2.17

Mirando la tabla para z= 2.17, la probabilidad acumulada es 0.985 Como es bilateral, la probabilidad total de la parte central (confianza)=0.985*2-1=0.97 Nivel de confianza = 0.97 o 97%.

b) Error = Z * 30 / sqrt(100) Nivel de confianza = 96.6% => 0.966 La probabilidad en una cola = (1-0.966)/2=0.034/2=0.017 La probabilidad acumulada debe ser= 1-0.017 = 0.983. El valor de Z mirando en la tabla es 2.12 E = 2.12 * 30 / 10 = 6.36