PROPUESTA A

1A.

a) Para calcular el área de la región, primero necesitamos encontrar los puntos de intersección de la curva $f(x) = (x - 1)(x + 2) = x^2 + x - 2$ con el eje de abscisas (y = 0). Esto ocurre cuando $f(x) = 0$, es decir:

$x^2 + x - 2 = 0$ $(x - 1)(x + 2) = 0$

Las soluciones son $x = 1$ y $x = -2$. Estos son los límites de integración "naturales" de la función, sin embargo el ejercicio dice que la región está limitada por las rectas $x = -3$ y $x = 2$

La función es una parábola que se abre hacia arriba. La región que nos interesa se encuentra entre $x = -3$ , $x=2$ y está dividida por el eje de abscisas x.

Se debe calcular la integral en dos partes:

• De $x = -3$ a $x = -2$: la función está por encima del eje x, así que la integral será positiva.

• De $x = -2$ a $x = 1$: la función está por debajo del eje x, así que la integral será negativa (pero el área es positiva, por lo que tomaremos el valor absoluto).

• De $x=1$ a $x=2$: la función está por encima del eje X

El área total será la suma de las áreas de las tres regiones (tomando el valor absoluto donde sea necesario):

$A_1 = \\int_{-3}^{-2} (x^2 + x - 2) \\, dx = \\left[ \\frac{x^3}{3} + \\frac{x^2}{2} - 2x \\right]_{-3}^{-2} = \\left( -\\frac{8}{3} + 2 + 4 \\right) - \\left( -9 + \\frac{9}{2} + 6 \\right) = -\\frac{8}{3} + 6 + 3 - \\frac{9}{2} = \\frac{11}{6}$

$A_2 = \\left| \\int_{-2}^{1} (x^2 + x - 2) \\, dx \\right| = \\left| \\left[ \\frac{x^3}{3} + \\frac{x^2}{2} - 2x \\right]_{-2}^{1} \\right| = \\left| \\left( \\frac{1}{3} + \\frac{1}{2} - 2 \\right) - \\left( -\\frac{8}{3} + 2 + 4 \\right) \\right| = \\left| \\frac{1}{3} + \\frac{1}{2} - 2 + \\frac{8}{3} - 6 \\right| = \\left| 3 + \\frac{1}{2} - 8 \\right| = \\left| -\\frac{9}{2} \\right| = \\frac{9}{2}$

$A_3 = \\int_{1}^{2} (x^2 + x - 2) \\, dx = \\left[ \\frac{x^3}{3} + \\frac{x^2}{2} - 2x \\right]_{1}^{2} = (\\frac{8}{3} + \\frac{4}{2} -4) - (\\frac{1}{3} + \\frac{1}{2} - 2) = \\frac{7}{3} + 2 - 4 -\\frac{1}{2} +2 = \\frac{11}{6}$

Área total = $A_1 + A_2 + A_3= \\frac{11}{6} + \\frac{9}{2} + \\frac{11}{6} = \\frac{11+27+11}{6} = \\frac{49}{6}$

Por lo tanto, el área de la región es $\\frac{49}{6}$ unidades cuadradas.

b) La ecuación de la recta tangente en $x = 2$ tiene la forma $y - f(2) = f'(2)(x - 2)$.

Primero, calculamos $f(2) = (2 - 1)(2 + 2) = 4$.

Luego, encontramos la derivada de $f(x)$: $f'(x) = 2x + 1$.

Evaluamos la derivada en $x = 2$: $f'(2) = 2(2) + 1 = 5$.

Finalmente, sustituimos estos valores en la ecuación de la recta tangente:

$y - 4 = 5(x - 2)$ $y - 4 = 5x - 10$ $y = 5x - 6$

La ecuación de la recta tangente es $y = 5x - 6$.

2A.

a) Para que la función sea continua en $x = 0$, los límites laterales deben existir, ser iguales, y coincidir con el valor de la función en $x = 0$. Es decir:

$\\lim_{x \\to 0^-} f(x) = \\lim_{x \\to 0^+} f(x) = f(0)$

Analizamos los límites laterales:

• Límite por la izquierda ($x < 0$):

$\\lim_{x \\to 0^-} f(x) = \\lim_{x \\to 0^-} \\left( \\frac{x + 1}{2x + 1} \\right)^{1/x}$

Este límite es de la forma 1^\\infty, que es una indeterminación. Para resolverlo, usamos la siguiente propiedad:

$\\lim_{x \\to a} f(x)^{g(x)} = e^{\\lim_{x \\to a} g(x)(f(x) - 1)}$ (cuando el límite de $f(x)$ es 1 y el de $g(x)$ es $\\infty$).

En nuestro caso:

$\\lim_{x \\to 0^-} \\frac{1}{x} \\left( \\frac{x + 1}{2x + 1} - 1 \\right) = \\lim_{x \\to 0^-} \\frac{1}{x} \\left( \\frac{x + 1 - (2x + 1)}{2x + 1} \\right) = \\lim_{x \\to 0^-} \\frac{1}{x} \\left( \\frac{-x}{2x + 1} \\right) = \\lim_{x \\to 0^-} \\frac{-1}{2x + 1} = -1$

Por lo tanto, $\\lim_{x \\to 0^-} f(x) = e^{-1}$.

• Límite por la derecha ($x \\ge 0$):

$\\lim_{x \\to 0^+} f(x) = \\lim_{x \\to 0^+} (6x + k) = k$

• Valor de la función en x=0 $f(0) = 6.0 + k = k$ Para que la función sea continua, ambos límites laterales deben ser iguales, entonces:

$e^{-1} = k$

Por lo tanto, el valor de $k$ para que la función sea continua en $x = 0$ es $k = e^{-1}$.

b) El teorema de Bolzano establece que si una función $f(x)$ es continua en un intervalo cerrado $[a, b]$, y $f(a)$ y $f(b)$ tienen signos opuestos (es decir, $f(a) \\cdot f(b) < 0$), entonces existe al menos un valor $c$ en el intervalo abierto $(a, b)$ tal que $f(c) = 0$.

Para comprobar si la ecuación $\\cos x = 2 - x$ tiene alguna solución en $[0, 2\\pi]$, definimos la función $g(x) = \\cos x - (2 - x) = \\cos x + x - 2$. Queremos ver si existe algún $x$ en $[0, 2\\pi]$ tal que $g(x) = 0$.

Verificamos las condiciones del teorema de Bolzano:

1. Continuidad: La función $g(x) = \\cos x + x - 2$ es continua en todo su dominio (que incluye $[0, 2\\pi]$) porque es la suma de funciones continuas (coseno, una función lineal y una constante).

2. Signos opuestos: Evaluamos $g(x)$ en los extremos del intervalo:

   • $g(0) = \\cos 0 + 0 - 2 = 1 - 2 = -1$
   • $g(2\\pi) = \\cos(2\\pi) + 2\\pi - 2 = 1 + 2\\pi - 2 = 2\\pi - 1$ (que es positivo, ya que $2\\pi > 1$).

Como $g(0) < 0$ y $g(2\\pi) > 0$, los valores tienen signos opuestos.

Dado que se cumplen las condiciones del teorema de Bolzano, podemos concluir que existe al menos una solución real de la ecuación $\\cos x = 2 - x$ en el intervalo $[0, 2\\pi]$

3A.

a) Para discutir el sistema, utilizamos el método de Gauss o el cálculo de determinantes. Usaremos el método de Gauss para escalonar la matriz ampliada del sistema:

\\begin{pmatrix} a & 1 & 1 & | & 1 \\\\ 1 & a & 1 & | & 0 \\\\ 1 & 1 & a & | & 0 \\end{pmatrix}

Primero, intercambiamos la primera y la segunda fila:

\\begin{pmatrix} 1 & a & 1 & | & 0 \\\\ a & 1 & 1 & | & 1 \\\\ 1 & 1 & a & | & 0 \\end{pmatrix}

Luego, restamos a veces la primera fila a la segunda, y restamos la primera fila a la tercera:

\\begin{pmatrix} 1 & a & 1 & | & 0 \\\\ 0 & 1 - a^2 & 1 - a & | & 1 \\\\ 0 & 1 - a & a - 1 & | & 0 \\end{pmatrix}

Podemos factorizar $1 - a^2 = (1 - a)(1 + a)$. Ahora, analizamos los casos:

• Caso 1: $a = 1$

  La matriz se convierte en:

  \\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & | & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \\end{pmatrix}

  La segunda fila representa la ecuación $0 = 1$, que es imposible. Por lo tanto, el sistema es incompatible (no tiene solución).

• Caso 2: $a = -1$

  La matriz se convierte en:

  \\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & | & 0 \\\\ 0 & 0 & 2 & | & 1 \\\\ 0 & 2 & -2 & | & 0 \\end{pmatrix}

  Podemos dividir la segunda fila por 2 y la tercera por 2: \\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & | & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & | & 1/2 \\\\ 0 & 1 & -1 & | & 0 \\end{pmatrix} Intercambiando la segunda y tercera fila: \\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & | & 0 \\\\ 0 & 1 & -1 & | & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & | & 1/2 \\end{pmatrix} Sistema compatible determinado (solución única).

• Caso 3: $a \\ne 1$ y $a \\ne -1$ En este caso dividimos la fila 2 entre $(1-a)$ \\begin{pmatrix} 1 & a & 1 & | & 0 \\\\ 0 & 1 + a & 1 & | & \\frac{1}{1-a} \\\\ 0 & 1 - a & a - 1 & | & 0 \\end{pmatrix} De la última fila, si multiplicamos por -1, se observa que la ecuación se convierte en: 0 & a-1 & 1-a & | 0 Dividimos la fila entre $a-1$ \\begin{pmatrix} 1 & a & 1 & | & 0 \\\\ 0 & 1 + a & 1 & | & \\frac{1}{1-a} \\\\ 0 & 1 & -1 & | & 0 \\end{pmatrix} El sistema es compatible determinado (tiene solución única), porque podemos seguir escalonando la matriz y obtener una solución única.

b) Para $a = 0$, el sistema original es:

$y + z = 1$ $x + z = 0$ $x + y = 0$

De la tercera ecuación, $y = -x$. Sustituyendo en la primera ecuación:

$-x + z = 1$

Y tenemos la segunda ecuación:

$x + z = 0$

Sumando ambas ecuaciones, obtenemos $2z = 1$, por lo que $z = \\frac{1}{2}$.

Sustituyendo $z$ en la segunda ecuación: $x + \\frac{1}{2} = 0$, entonces $x = -\\frac{1}{2}$.

Finalmente, como $y = -x$, entonces $y = \\frac{1}{2}$.

La solución es $x = -\\frac{1}{2}, y = \\frac{1}{2}, z = \\frac{1}{2}$.

4A.

a) Para encontrar los puntos de intersección del plano $\\alpha \\equiv -x + 2y + z + 2 = 0$ con los ejes coordenados, hacemos lo siguiente:

• Intersección con el eje x (y = 0, z = 0): $-x + 2(0) + 0 + 2 = 0 \\Rightarrow x = 2$. Punto: $(2, 0, 0)$.

• Intersección con el eje y (x = 0, z = 0): $-0 + 2y + 0 + 2 = 0 \\Rightarrow y = -1$. Punto: $(0, -1, 0)$.

• Intersección con el eje z (x = 0, y = 0): $-0 + 2(0) + z + 2 = 0 \\Rightarrow z = -2$. Punto: $(0, 0, -2)$.

El tetraedro está formado por los puntos $(0, 0, 0)$, $(2, 0, 0)$, $(0, -1, 0)$, y $(0, 0, -2)$. El volumen de un tetraedro con vértices en el origen y en los puntos $(a, 0, 0)$, $(0, b, 0)$, y $(0, 0, c)$ se calcula con la fórmula:

$V = \\frac{1}{6} |abc|$

En nuestro caso, $a = 2$, $b = -1$, y $c = -2$. Por lo tanto:

$V = \\frac{1}{6} |(2)(-1)(-2)| = \\frac{1}{6} |4| = \\frac{2}{3}$

El volumen del tetraedro es $\\frac{2}{3}$ unidades cúbicas.

b) La recta paralela a los planos $\\alpha$ y $\\beta$ tendrá como vector director el producto vectorial de los vectores normales de los planos.

• Vector normal de $\\alpha \\equiv -x + 2y + z + 2 = 0$: \\vec{n}_\\alpha = (-1, 2, 1).

• Vector normal de $\\beta \\equiv -2y + z = 0$: \\vec{n}_\\beta = (0, -2, 1).

El producto vectorial es:

\\vec{v} = \\vec{n}_\\alpha \\times \\vec{n}_\\beta = \\begin{vmatrix} \\hat{i} & \\hat{j} & \\hat{k} \\\\ -1 & 2 & 1 \\\\ 0 & -2 & 1 \\end{vmatrix} = (2 - (-2))\\hat{i} - (-1 - 0)\\hat{j} + (2 - 0)\\hat{k} = 4\\hat{i} + \\hat{j} + 2\\hat{k} = (4, 1, 2)

La recta que buscamos tiene la forma paramétrica:

$\\begin{cases} x = 0 + 4t \\\\ y = -1 + t \\\\ z = 3 + 2t \\end{cases}$

Para obtener la ecuación general, eliminamos el parámetro t:

De la segunda ecuación: $t = y + 1$

Sustituyendo en la primera y tercera ecuaciones:

$x = 4(y + 1) \\Rightarrow x - 4y - 4 = 0$ $z = 3 + 2(y + 1) \\Rightarrow z - 2y - 5 = 0$

La ecuación general de la recta, por tanto, vendrá dada por la intersección de estos dos planos, es decir

$\\begin{cases} x - 4y - 4 = 0 \\\\ z - 2y - 5=0 \\end{cases}$

5A.

a)

a1) Sea D el evento "la placa tiene un defecto de soldadura". Sean A, B, y C los eventos de que la placa fue soldada por los robots A, B, y C, respectivamente. Tenemos las siguientes probabilidades:

• $P(A) = 0.25$
• $P(B) = 0.20$
• $P(C) = 0.55$
• $P(D|A) = 0.03$ (Probabilidad de defecto dado que soldó A)
• $P(D|B) = 0.04$
• $P(D|C) = 0.02$

Queremos calcular $P(D)$, la probabilidad de que una placa tenga un defecto. Usamos el teorema de la probabilidad total:

$P(D) = P(D|A)P(A) + P(D|B)P(B) + P(D|C)P(C)$ $P(D) = (0.03)(0.25) + (0.04)(0.20) + (0.02)(0.55) = 0.0075 + 0.008 + 0.011 = 0.0265$

La probabilidad de que una placa tenga un defecto es 0.0265.

a2) Queremos calcular $P(C|D)$, la probabilidad de que la placa haya sido soldada por el robot C, dado que tiene un defecto. Usamos el teorema de Bayes:

$P(C|D) = \\frac{P(D|C)P(C)}{P(D)}$

Ya calculamos $P(D) = 0.0265$, y conocemos $P(D|C) = 0.02$ y $P(C) = 0.55$. Sustituyendo:

$P(C|D) = \\frac{(0.02)(0.55)}{0.0265} = \\frac{0.011}{0.0265} \\approx 0.4151$

La probabilidad de que la placa haya sido soldada por el robot C, dado que tiene un defecto, es aproximadamente 0.4151.

b)

b1) Este es un problema de distribución binomial. Tenemos $n = 5$ ensayos (lanzamientos de la moneda), la probabilidad de éxito (cara) en cada ensayo es $p = 0.6$, y queremos la probabilidad de obtener exactamente $k = 3$ caras. La fórmula de la distribución binomial es:

$P(X = k) = \\binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k}$

Donde $\\binom{n}{k} = \\frac{n!}{k!(n - k)!}$ es el coeficiente binomial.

En nuestro caso:

$P(X = 3) = \\binom{5}{3} (0.6)^3 (1 - 0.6)^{5 - 3} = \\binom{5}{3} (0.6)^3 (0.4)^2$ $\\binom{5}{3} = \\frac{5!}{3!2!} = \\frac{5 \\times 4}{2 \\times 1} = 10$ $P(X = 3) = 10 \\times (0.6)^3 \\times (0.4)^2 = 10 \\times 0.216 \\times 0.16 = 0.3456$

La probabilidad de obtener exactamente tres caras es 0.3456.

b2) Queremos la probabilidad de obtener más de tres caras, es decir, 4 o 5 caras. Podemos calcular esto como:

$P(X > 3) = P(X = 4) + P(X = 5)$

Calculamos cada término por separado:

$P(X = 4) = \\binom{5}{4} (0.6)^4 (0.4)^1 = 5 \\times 0.1296 \\times 0.4 = 0.2592$ $P(X = 5) = \\binom{5}{5} (0.6)^5 (0.4)^0 = 1 \\times 0.07776 \\times 1 = 0.07776$

$P(X > 3) = 0.2592 + 0.07776 = 0.33696$

La probabilidad de obtener más de tres caras es 0.33696.

PROPUESTA B

1B.

Sea x la longitud del lado de la base cuadrada de la piscina (en metros), y sea h la altura de la piscina (en metros). El volumen de la piscina es:

$V = x^2h = 32$

Queremos minimizar la cantidad de material necesario, que es proporcional al área de la superficie de las paredes y el fondo. El área total A es:

$A = x^2 + 4xh$ (área del fondo + área de las cuatro paredes)

De la ecuación del volumen, podemos despejar h:

$h = \\frac{32}{x^2}$

Sustituimos esta expresión en la ecuación del área:

$A(x) = x^2 + 4x\\left(\\frac{32}{x^2}\\right) = x^2 + \\frac{128}{x}$

Para encontrar el mínimo, derivamos A(x) con respecto a x e igualamos a cero:

$A'(x) = 2x - \\frac{128}{x^2}$

Igualamos a cero:

$2x - \\frac{128}{x^2} = 0$ $2x^3 - 128 = 0$ $x^3 = 64$ $x = 4$

Para confirmar que este es un mínimo, calculamos la segunda derivada:

$A''(x) = 2 + \\frac{256}{x^3}$

Evaluamos en $x = 4$:

$A''(4) = 2 + \\frac{256}{64} = 2 + 4 = 6$

Como $A''(4) > 0$, el punto $x = 4$ es un mínimo local.

Ahora, encontramos la altura h correspondiente:

$h = \\frac{32}{x^2} = \\frac{32}{4^2} = \\frac{32}{16} = 2$

Las dimensiones más económicas son: lado de la base = 4 metros, altura = 2 metros.

2B.

a) $\\int \\frac{x^3 + 2x^2 + x - 10}{x^2 + x - 2} dx$

Primero, realizamos la división polinómica:

        x + 1
x^2+x-2 | x^3 + 2x^2 + x - 10
        -(x^3 + x^2 - 2x)
        ------------------
              x^2 + 3x - 10
             -(x^2 +  x - 2)
              ------------------
                    2x - 8

Por lo tanto:

$\\frac{x^3 + 2x^2 + x - 10}{x^2 + x - 2} = x + 1 + \\frac{2x - 8}{x^2 + x - 2}$

Ahora, integramos cada término por separado:

$\\int \\frac{x^3 + 2x^2 + x - 10}{x^2 + x - 2} dx = \\int (x + 1) dx + \\int \\frac{2x - 8}{x^2 + x - 2} dx$

La primera integral es sencilla:

$\\int (x + 1) dx = \\frac{x^2}{2} + x + C_1$

Para la segunda integral, descomponemos el denominador en factores:

$x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)$

Descomponemos la fracción en fracciones parciales:

$\\frac{2x - 8}{(x + 2)(x - 1)} = \\frac{A}{x + 2} + \\frac{B}{x - 1}$

Multiplicamos ambos lados por $(x + 2)(x - 1)$:

$2x - 8 = A(x - 1) + B(x + 2)$

Para encontrar A y B, podemos sustituir valores convenientes de x:

• $x = 1$: $2(1) - 8 = A(0) + B(3) \\Rightarrow -6 = 3B \\Rightarrow B = -2$
• $x = -2$: $2(-2) - 8 = A(-3) + B(0) \\Rightarrow -12 = -3A \\Rightarrow A = 4$

Entonces:

$\\int \\frac{2x - 8}{x^2 + x - 2} dx = \\int \\left( \\frac{4}{x + 2} - \\frac{2}{x - 1} \\right) dx = 4\\ln|x + 2| - 2\\ln|x - 1| + C_2$

Finalmente, la integral completa es:

$\\int \\frac{x^3 + 2x^2 + x - 10}{x^2 + x - 2} dx = \\frac{x^2}{2} + x + 4\\ln|x + 2| - 2\\ln|x - 1| + C$

b) $\\int x^2 \\ln x \\, dx$

Usamos integración por partes. Sea $u = \\ln x$ y $dv = x^2 dx$. Entonces, $du = \\frac{1}{x} dx$ y $v = \\frac{x^3}{3}$.

La fórmula de integración por partes es: $\\int u \\, dv = uv - \\int v \\, du$

Aplicando la fórmula:

$\\int x^2 \\ln x \\, dx = (\\ln x)\\left(\\frac{x^3}{3}\\right) - \\int \\frac{x^3}{3} \\cdot \\frac{1}{x} \\, dx = \\frac{x^3 \\ln x}{3} - \\frac{1}{3} \\int x^2 \\, dx$ $= \\frac{x^3 \\ln x}{3} - \\frac{1}{3} \\cdot \\frac{x^3}{3} + C = \\frac{x^3 \\ln x}{3} - \\frac{x^3}{9} + C$ $= \\frac{x^3}{3} (\\ln x -\\frac{1}{3}) + C$

3B.

a) Para calcular $A^{-1}$, usamos el método de Gauss-Jordan o la adjunta. Usaremos Gauss-Jordan. Formamos la matriz ampliada $(A | I)$:

\\left( \\begin{array}{ccc|ccc} 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\end{array} \\right)

Intercambiamos la primera y segunda fila:

\\left( \\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\end{array} \\right)

Restamos la tercera fila a la segunda:

\\left( \\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & -1 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\end{array} \\right)

La matriz ya está en forma escalonada reducida. La inversa es la parte derecha de la matriz:

A^{-1} = \\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\\\ 1 & 0 & -1 \\\\ 0 & 0 & 1 \\end{pmatrix}

b) Queremos resolver $A \\cdot X + B = C^2$ para X. Primero, restamos B de ambos lados:

$A \\cdot X = C^2 - B$

Luego, multiplicamos ambos lados por $A^{-1}$ por la izquierda:

$A^{-1} \\cdot A \\cdot X = A^{-1} (C^2 - B)$ $X = A^{-1} (C^2 - B)$

Primero, calculamos $C^2 = C \\cdot C$:

C^2 = \\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 3 & 0 \\\\ -1 & 0 & 1 \\end{pmatrix} \\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 3 & 0 \\\\ -1 & 0 & 1 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 \\\\ 0 & 9 & 0 \\\\ -2 & -1 & 1 \\end{pmatrix}

Luego, calculamos $C^2 - B$:

C^2 - B = \\begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 \\\\ 0 & 9 & 0 \\\\ -2 & -1 & 1 \\end{pmatrix} - \\begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\\\ 0 & -1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 1 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 2 & 4 & -1 \\\\ 0 & 10 & 0 \\\\ -2 & -2 & 0 \\end{pmatrix}

Finalmente, multiplicamos $A^{-1}$ por $(C^2 - B)$:

X = A^{-1}(C^2 - B) = \\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\\\ 1 & 0 & -1 \\\\ 0 & 0 & 1 \\end{pmatrix} \\begin{pmatrix} 2 & 4 & -1 \\\\ 0 & 10 & 0 \\\\ -2 & -2 & 0 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 0 & 10 & 0 \\\\ 4 & 6 & -1 \\\\ -2 & -2 & 0 \\end{pmatrix}

Por lo tanto:

X = \\begin{pmatrix} 0 & 10 & 0 \\\\ 4 & 6 & -1 \\\\ -2 & -2 & 0 \\end{pmatrix}

4B.

a) Para que el plano $\\alpha \\equiv x - y - az + 5 = 0$ sea paralelo a la recta $r \\equiv \\frac{x - 2}{3} = \\frac{y}{-5} = \\frac{z}{2}$, el vector normal del plano y el vector director de la recta deben ser perpendiculares. Es decir, su producto escalar debe ser cero.

• Vector normal de $\\alpha$: \\vec{n}_\\alpha = (1, -1, -a).

• Vector director de $r$: $\\vec{v}_r = (3, -5, 2)$.

Producto escalar:

\\vec{n}_\\alpha \\cdot \\vec{v}_r = (1)(3) + (-1)(-5) + (-a)(2) = 3 + 5 - 2a = 8 - 2a

Igualamos a cero:

$8 - 2a = 0$ $2a = 8$ $a = 4$

El valor de a para que el plano sea paralelo a la recta es $a = 4$.

b) Para calcular la distancia del punto $P(1, 2, 3)$ a la recta $r \\equiv \\frac{x - 3}{2} = y - 1 = z$, necesitamos un punto de la recta y el vector director de la recta.

• Punto de la recta (haciendo $z = 0$ en la ecuación de la recta): $Q(3, 1, 0)$.

• Vector director de la recta: $\\vec{v}_r = (2, 1, 1)$.

Calculamos el vector $\\vec{QP} = P - Q = (1 - 3, 2 - 1, 3 - 0) = (-2, 1, 3)$.

La distancia d se calcula con la fórmula:

$d = \\frac{|\\vec{QP} \\times \\vec{v}_r|}{|\\vec{v}_r|}$

Primero, calculamos el producto vectorial:

$$$$