Examen Resuelto Acceso a Grado UCLM Dibujo Técnico II 2018

Este examen evalúa los conocimientos de dibujo técnico, específicamente en geometría descriptiva y proyecciones, para estudiantes que aspiran a acceder a estudios de grado en la Universidad de Castilla-La Mancha. Las preguntas abarcan temas como la homología, intersecciones de rectas y planos, proyecciones de figuras planas y representaciones de sólidos en sistemas diédricos y perspectivas.

OPCIÓN A

EJERCICIO 1 (3 puntos)

Para encontrar la figura homóloga del pentágono dado, se deben seguir los siguientes pasos, utilizando los principios de la homología:

1. Unir el centro de homología C con cada uno de los vértices del pentágono original (A, B, y los otros tres vértices que llamaremos E, F, G). Estas líneas son las rectas de homología.
2. Encontrar los puntos homólogos de los vértices restantes (B', E', F', G'). Para ello, se utiliza la propiedad fundamental de la homología: dos puntos homólogos están alineados con el centro de homología. Además, la recta que une dos puntos homólogos (por ejemplo, A y A') debe cortar al eje de homología en un punto, y la recta que une los puntos homólogos correspondientes (por ejemplo, B y B') debe cortar al eje en el mismo punto. Como ya tenemos A', para encontrar B' por ejemplo, dibujamos una recta desde B que corte al eje de homología en un punto P. Luego trazamos una recta desde C hasta B, y otra desde A' que pase por el mismo punto P en el eje. La intersección de las rectas CB y la recta que pasa por A' y P, nos dará el punto homólogo B'. Repetimos este proceso para encontrar E', F' y G'.
3. Unir los puntos homólogos (A', B', E', F', G') en el orden correcto para formar el pentágono homólogo.

De este modo, se obtiene la figura homóloga del pentágono dado, que será otro pentágono. La forma y el tamaño del pentágono homólogo dependerán de la posición del centro de homología, del eje de homología y de la posición relativa de los puntos homólogos A y A'.

EJERCICIO 2 (2 puntos)

Para resolver este ejercicio, se deben seguir los siguientes pasos, utilizando los principios de la geometría descriptiva y el sistema diédrico:

1. Determinar la proyección horizontal de B (B'). Como B pertenece al plano α, y ya tenemos la proyección vertical de α ($\\alpha''$) y la proyección horizontal ($\\alpha'$), podemos trazar una línea de referencia vertical desde B'' hasta que corte a la proyección horizontal del plano α ($\\alpha'$). La intersección será la proyección horizontal de B (B').
2. Determinar la proyección vertical de C (C''). De manera similar al paso anterior, trazamos una línea de referencia vertical desde C' hasta que corte a la proyección vertical del plano α ($\\alpha''$). La intersección será la proyección vertical de C (C'').
3. Dibujar las proyecciones del triángulo. Una vez que tenemos las proyecciones de los tres vértices (A'', B'', C'') y (A', B', C'), unimos los puntos en cada proyección para formar el triángulo en sus proyecciones horizontal y vertical.
4. Hallar la verdadera magnitud del triángulo. Para encontrar la verdadera magnitud del triángulo, debemos abatir el plano α sobre uno de los planos de proyección. Dado que ya tenemos la traza horizontal ($\\alpha'$) y vertical ($\\alpha''$) del plano α, podemos utilizar la traza horizontal como charnela (eje de giro) para el abatimiento. Abatimos los puntos A, B y C, utilizando arcos de circunferencia con centro en la intersección de las líneas de referencia con la traza horizontal ($\\alpha'$), y radios hasta cada punto en la proyección horizontal (A', B', C'). Los puntos abatidos se encontrarán en una perpendicular a la traza horizontal que pasa por la proyección vertical correspondiente de cada punto, a una distancia igual a la cota de cada punto. Una vez obtenidos los puntos abatidos (A0, B0, C0), los unimos para obtener el triángulo en verdadera magnitud.

Siguiendo estos pasos, obtenemos las proyecciones del triángulo ABC y su verdadera magnitud, lo que permite visualizar la forma y el tamaño real del triángulo en el espacio.

EJERCICIO 3 (2 puntos)

Para hallar las proyecciones del punto de intersección entre la recta R y el plano β, debemos seguir los siguientes pasos:

1. Encontrar la intersección de la recta R con el plano β. Para ello, primero necesitamos encontrar la traza de la recta R con un plano auxiliar que sea, por ejemplo, proyectante vertical, es decir, un plano cuya traza horizontal sea perpendicular a la línea de tierra. Dibujamos la traza horizontal de este plano auxiliar que contenga a la proyección horizontal r'. La traza vertical de este plano será una línea vertical que pase por el punto donde r' corta a la línea de tierra.
2. Encontrar la intersección del plano auxiliar con el plano β. Esta intersección será una recta que podemos llamar I. Para encontrarla, hallamos la intersección de las trazas horizontales de ambos planos y la intersección de las trazas verticales. Unimos ambos puntos para obtener la recta I, tanto en su proyección horizontal (i') como vertical (i'').
3. Determinar el punto de intersección A. El punto de intersección A entre la recta R y el plano β será el punto donde la recta R corta a la recta I, que es la intersección del plano auxiliar con el plano β. En la proyección vertical, A'' será la intersección de r'' e i''. En la proyección horizontal, A' será la intersección de r' e i'.

Al seguir estos pasos, se obtienen las proyecciones A' y A'' del punto A, que es la intersección de la recta R con el plano β.

EJERCICIO 4 (3 puntos)

Para dibujar las vistas de la pieza dada en perspectiva isométrica, debemos seguir los siguientes pasos:

1. Analizar la pieza en perspectiva isométrica. Observar detenidamente la forma, las dimensiones y las aristas visibles y ocultas de la pieza.
2. Dibujar la planta. La planta se obtiene proyectando la pieza sobre el plano horizontal (XY). Se representan las aristas vistas desde arriba, respetando las dimensiones y la forma de la base de la pieza. Las aristas ocultas se dibujan con línea discontinua. En este caso, la planta será un rectángulo de 40x60 mm con un rectángulo interior desplazado hacia la derecha.
3. Dibujar el alzado. El alzado se obtiene proyectando la pieza sobre el plano vertical (XZ). Se representan las aristas vistas de frente, respetando las dimensiones y la forma frontal de la pieza. Las aristas ocultas se dibujan con línea discontinua. En este caso, el alzado tendrá una forma escalonada con tres alturas diferentes (15, 30 y 45 mm).
4. Dibujar el perfil izquierdo. El perfil izquierdo se obtiene proyectando la pieza sobre el plano de perfil (YZ). Se representan las aristas vistas desde la izquierda, respetando las dimensiones y la forma lateral de la pieza. Las aristas ocultas se dibujan con línea discontinua. En este caso, el perfil tendrá la forma escalonada del alzado, pero vista desde la izquierda.

Siguiendo estos pasos, obtenemos las tres vistas principales de la pieza (planta, alzado y perfil izquierdo), que nos permiten comprender la forma tridimensional de la pieza a partir de sus proyecciones ortogonales.

OPCIÓN B

EJERCICIO 1 (3 puntos)

Para dibujar un ovoide dados sus ejes AB y CD, se deben seguir los siguientes pasos:

1. Dibujar los ejes AB y CD perpendiculares entre sí. El eje mayor AB y el eje menor CD se cortan en su punto medio, que llamaremos O.
2. Trazar una circunferencia con centro en O y radio OA (o OB, que es igual). Esta circunferencia será la base para la construcción del ovoide.
3. Trazar un arco con centro en A y radio AB, y otro arco con centro en B y el mismo radio. Estos arcos se cortarán en un punto que llamaremos E.
4. Trazar una línea recta que una A con C y otra que una B con C.
5. Trazar una línea recta que una A con D y otra que una B con D.
6. Prolongar las líneas AC y AD hasta que corten a la circunferencia en los puntos F y G, respectivamente.
7. Prolongar las líneas BC y BD hasta que corten a la circunferencia en los puntos H e I, respectivamente.
8. Con centro en E, trazar un arco que una los puntos F y H.
9. Con centro en C, trazar un arco que una los puntos F y H.
10. Con centro en D, trazar un arco que una los puntos G e I.

Siguiendo estos pasos, se obtiene la construcción geométrica del ovoide, una curva cerrada con un extremo más ancho que el otro, definida por cuatro arcos de circunferencia.

EJERCICIO 2 (2 puntos)

Para completar el dibujo con la traza vertical del plano α y la proyección horizontal de la recta R, seguimos los siguientes pasos:

1. Determinar la traza vertical del plano α ($\\alpha''$). Como el plano α es perpendicular a la recta R, y ya conocemos la proyección vertical de R (r''), la traza vertical del plano α ($\\alpha''$) será perpendicular a r''. Además, como la recta R pasa por el punto A, el plano α también debe pasar por el punto A. Por lo tanto, trazamos una perpendicular a r'' que pase por A''. Esta perpendicular será la traza vertical del plano α ($\\alpha''$).
2. Determinar la proyección horizontal de la recta R (r'). Como la recta R es perpendicular al plano α, su proyección horizontal r' será perpendicular a la traza horizontal del plano α ($\\alpha'$). Además, como la recta R pasa por el punto A, su proyección horizontal también debe pasar por A'. Por lo tanto, trazamos una perpendicular a $\\alpha'$ que pase por A'. Esta perpendicular será la proyección horizontal de la recta R (r').

Siguiendo estos pasos, completamos las proyecciones del plano α y la recta R, cumpliendo la condición de perpendicularidad entre ambos.

EJERCICIO 3 (2 puntos)

Para dibujar las trazas de un plano α que contenga a la recta R y una recta paralela al plano α que pase por el punto A, se deben seguir los siguientes pasos:

1. Dibujar las trazas del plano α. Como el plano α contiene a la recta R, las trazas del plano deben pasar por las trazas de la recta. Primero, prolongamos r' hasta que corte a la línea de tierra. Este punto de corte será la traza horizontal de la recta R. La traza horizontal del plano α ($\\alpha'$) será una recta que pase por este punto y tenga una dirección arbitraria (podemos elegir la dirección que queramos, ya que hay infinitos planos que contienen a una recta dada). Luego, prolongamos r'' hasta que corte a la línea de tierra. Este punto de corte será la traza vertical de la recta R. La traza vertical del plano α ($\\alpha''$) será una recta que pase por este punto y sea paralela a la línea de tierra, ya que no tenemos información adicional para determinar su inclinación.
2. Dibujar la recta paralela al plano α que pasa por A. Para que una recta sea paralela a un plano, su proyección horizontal debe ser paralela a la traza horizontal del plano, y su proyección vertical debe ser paralela a la traza vertical del plano. Por lo tanto, trazamos una recta s' que pase por A' y sea paralela a $\\alpha'$, y una recta s'' que pase por A'' y sea paralela a $\\alpha''$. Estas rectas s' y s'' representarán las proyecciones de una recta paralela al plano α que pasa por el punto A.

Siguiendo estos pasos, se obtienen las trazas de un plano que contiene a la recta R y una recta paralela a dicho plano que pasa por el punto A, cumpliendo las condiciones del problema.

EJERCICIO 4 (3 puntos)

Para dibujar la pieza en perspectiva caballera, se deben seguir los siguientes pasos, considerando un coeficiente de reducción de 1/2 para el eje Y y un ángulo de 135º para el eje XOY:

1. Dibujar los ejes. Dibujar el eje X horizontal hacia la derecha, el eje Z vertical hacia arriba y el eje Y con un ángulo de 135º respecto al eje X (hacia arriba y a la izquierda).
2. Situar el punto O. El punto O será el origen de los ejes y se ubica en la esquina inferior izquierda del papel.
3. Trasladar las medidas a los ejes.
   • En el eje X, se trasladan las medidas del alzado (ancho de la pieza).
   • En el eje Z, se trasladan las medidas del alzado (altura de la pieza).
   • En el eje Y, se trasladan las medidas de la planta (profundidad de la pieza), pero reducidas a la mitad debido al coeficiente de reducción.
4. Construir la pieza. A partir de las medidas trasladadas a los ejes, se van trazando líneas paralelas a los ejes para ir construyendo la pieza. Se empieza por la base y se va subiendo nivel por nivel, teniendo en cuenta las formas y dimensiones de cada parte de la pieza.
5. No dibujar líneas ocultas. En este caso, se nos pide que no dibujemos las líneas ocultas, por lo que solo representaremos las aristas visibles.

Siguiendo estos pasos, se obtiene la representación de la pieza en perspectiva caballera, que permite visualizar la forma tridimensional de la pieza a partir de sus vistas diédricas, aplicando el coeficiente de reducción y el ángulo especificados.