Examen Resuelto de Acceso a la Universidad Matemáticas II UCM 2023

OPCIÓN A

A. 1.

Razonamiento: Este problema se puede modelar mediante un sistema de ecuaciones lineales. Definimos las variables como el número inicial de cada tipo de árbol:

• $N$ = número de naranjos
• $L$ = número de limoneros
• $P$ = número de perales

Planteamos las ecuaciones según la información proporcionada:

1. El número total de árboles es 58: $N + L + P = 58$
2. La suma del número de limoneros y del doble de perales excedía en 6 unidades al número de naranjos: $L + 2P = N + 6 \\implies -N + L + 2P = 6$
3. Después de la plaga, murieron 5 naranjos y 3 perales. Los nuevos números son:
   • Naranjos: $N' = N - 5$
   • Limoneros: $L' = L$
   • Perales: $P' = P - 3$ El número de naranjos (después de la plaga) se equilibra con el total de limoneros y perales (después de la plaga): $N' = L' + P' \\implies N - 5 = L + (P - 3)$ $N - 5 = L + P - 3 \\implies N - L - P = 2$

Ahora tenemos un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas: (1) $N + L + P = 58$ (2) $-N + L + 2P = 6$ (3) $N - L - P = 2$

Procedemos a resolver el sistema. Podemos usar el método de reducción (o Gauss):

• Sumamos la ecuación (1) y la ecuación (2): $(N + L + P) + (-N + L + 2P) = 58 + 6$ $2L + 3P = 64$ (Ecuación 4)
• Sumamos la ecuación (1) y la ecuación (3): $(N + L + P) + (N - L - P) = 58 + 2$ $2N = 60 \\implies N = 30$
• Sustituimos $N = 30$ en la ecuación (1): $30 + L + P = 58 \\implies L + P = 28$ (Ecuación 5)

Ahora tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (L y P): (4) $2L + 3P = 64$ (5) $L + P = 28$

Podemos resolver este sistema. Multiplicamos la ecuación (5) por -2 y la sumamos a la ecuación (4): $-2(L + P) = -2(28) \\implies -2L - 2P = -56$ $(2L + 3P) + (-2L - 2P) = 64 - 56$ $P = 8$ Sustituimos $P = 8$ en la ecuación (5): $L + 8 = 28 \\implies L = 20$

Así, inicialmente había $N = 30$ naranjos, $L = 20$ limoneros y $P = 8$ perales. Comprobamos con la ecuación (2): $-30 + 20 + 2(8) = -10 + 16 = 6$. Correcto. Comprobamos con la ecuación (3): $30 - 20 - 8 = 10 - 8 = 2$. Correcto.

La pregunta pide calcular el número de perales que han sobrevivido a la plaga. El número inicial de perales era $P = 8$. Murieron 3 perales. Número de perales supervivientes = $P' = P - 3 = 8 - 3 = 5$.

Respuesta: El número de perales que han sobrevivido a la plaga es 5.

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A. 2.

Razonamiento:

La función dada es: f(x) = \\begin{cases} e^x & \\text{si } x \\le 0, \\\\ |x-1| & \\text{si } x > 0. \\end{cases} Podemos reescribir la parte del valor absoluto: |x-1| = \\begin{cases} -(x-1) = 1-x & \\text{si } x-1 < 0 \\implies x < 1 \\\\ x-1 & \\text{si } x-1 \\ge 0 \\implies x \\ge 1 \\end{cases} Combinando esto con la definición de f(x), obtenemos: f(x) = \\begin{cases} e^x & \\text{si } x \\le 0 \\\\ 1-x & \\text{si } 0 < x < 1 \\\\ x-1 & \\text{si } x \\ge 1 \\end{cases}

a) Dominio, continuidad y diferenciabilidad:

• Dominio: La función $e^x$ está definida para todo $x \\in \\mathbb{R}$. La función $|x-1|$ (o las funciones lineales $1-x$ y $x-1$) también están definidas para todo $x \\in \\mathbb{R}$. La definición de $f(x)$ cubre todos los números reales ($x \\le 0$, $0 < x < 1$ y $x \\ge 1$). Por lo tanto, el dominio de $f$ es $\\text{Dom}(f) = \\mathbb{R}$.

• Continuidad:

  • Para $x < 0$, $f(x) = e^x$ es continua por ser una función exponencial.
  • Para $0 < x < 1$, $f(x) = 1-x$ es continua por ser una función polinómica.
  • Para $x > 1$, $f(x) = x-1$ es continua por ser una función polinómica. Debemos estudiar la continuidad en los puntos donde cambia la definición: $x=0$ y $x=1$.
  • En $x=0$:
    • $f(0) = e^0 = 1$
    • $\\lim_{x \\to 0^-} f(x) = \\lim_{x \\to 0^-} e^x = e^0 = 1$
    • $\\lim_{x \\to 0^+} f(x) = \\lim_{x \\to 0^+} |x-1| = \\lim_{x \\to 0^+} (1-x) = 1-0 = 1$ Como $f(0) = \\lim_{x \\to 0^-} f(x) = \\lim_{x \\to 0^+} f(x)$, la función es continua en $x=0$.
  • En $x=1$:
    • $f(1) = |1-1| = 0$ (usando la rama $x \\ge 1$ o $x>0$)
    • $\\lim_{x \\to 1^-} f(x) = \\lim_{x \\to 1^-} |x-1| = \\lim_{x \\to 1^-} (1-x) = 1-1 = 0$
    • $\\lim_{x \\to 1^+} f(x) = \\lim_{x \\to 1^+} |x-1| = \\lim_{x \\to 1^+} (x-1) = 1-1 = 0$ Como $f(1) = \\lim_{x \\to 1^-} f(x) = \\lim_{x \\to 1^+} f(x)$, la función es continua en $x=1$. Por lo tanto, la función $f(x)$ es continua en todo $\\mathbb{R}$.

• Diferenciabilidad: Calculamos la derivada de $f(x)$ en los intervalos abiertos: f'(x) = \\begin{cases} e^x & \\text{si } x < 0 \\\\ -1 & \\text{si } 0 < x < 1 \\\\ 1 & \\text{si } x > 1 \\end{cases} Debemos estudiar la diferenciabilidad en $x=0$ y $x=1$.

  • En $x=0$:
    • Derivada por la izquierda: $f'_-(0) = \\lim_{x \\to 0^-} f'(x) = \\lim_{x \\to 0^-} e^x = e^0 = 1$
    • Derivada por la derecha: $f'_+(0) = \\lim_{x \\to 0^+} f'(x) = \\lim_{x \\to 0^+} (-1) = -1$ Como $f'_-(0) \\neq f'_+(0)$, la función no es differentiable en $x=0$.
  • En $x=1$:
    • Derivada por la izquierda: $f'_-(1) = \\lim_{x \\to 1^-} f'(x) = \\lim_{x \\to 1^-} (-1) = -1$
    • Derivada por la derecha: $f'_+(1) = \\lim_{x \\to 1^+} f'(x) = \\lim_{x \\to 1^+} (1) = 1$ Como $f'_-(1) \\neq f'_+(1)$, la función no es differentiable en $x=1$. Por lo tanto, la función $f(x)$ es diferenciable en $\\mathbb{R} \\setminus \\{0, 1\\}$.

b) Asíntotas:

• Asíntotas Verticales: Como la función es continua en todo $\\mathbb{R}$, no existen asíntotas verticales.
• Asíntotas Horizontales:
  • $\\lim_{x \\to -\\infty} f(x) = \\lim_{x \\to -\\infty} e^x = 0$. Hay una asíntota horizontal $y=0$ cuando $x \\to -\\infty$.
  • $\\lim_{x \\to +\\infty} f(x) = \\lim_{x \\to +\\infty} |x-1| = \\lim_{x \\to +\\infty} (x-1) = +\\infty$. No hay asíntota horizontal cuando $x \\to +\\infty$.
• Asíntotas Oblicuas: Solo puede haber asíntota oblicua cuando $x \\to +\\infty$. Buscamos una asíntota de la forma $y = mx + n$.
  • $m = \\lim_{x \\to +\\infty} \\frac{f(x)}{x} = \\lim_{x \\to +\\infty} \\frac{|x-1|}{x} = \\lim_{x \\to +\\infty} \\frac{x-1}{x} = \\lim_{x \\to +\\infty} \\left(1 - \\frac{1}{x}\\right) = 1$
  • $n = \\lim_{x \\to +\\infty} (f(x) - mx) = \\lim_{x \\to +\\infty} (|x-1| - 1x) = \\lim_{x \\to +\\infty} (x-1 - x) = \\lim_{x \\to +\\infty} (-1) = -1$ Hay una asíntota oblicua $y = x - 1$ cuando $x \\to +\\infty$.

c) Área: Se pide el área de la región comprendida entre el eje x, la función $f$ y las rectas $x = -2$ y $x = 2$. Dado que $f(x) = e^x > 0$ para todo $x$ y $f(x) = |x-1| \\ge 0$ para todo $x$, la función $f(x)$ es siempre no negativa. Por lo tanto, el área es la integral definida: $A = \\int_{-2}^{2} f(x) dx$ Debemos dividir la integral según la definición de $f(x)$ en el intervalo [-2, 2]: $A = \\int_{-2}^{0} e^x dx + \\int_{0}^{1} (1-x) dx + \\int_{1}^{2} (x-1) dx$ Calculamos cada integral:

• $\\int_{-2}^{0} e^x dx = [e^x]_{-2}^{0} = e^0 - e^{-2} = 1 - e^{-2}$
• $\\int_{0}^{1} (1-x) dx = [x - \\frac{x^2}{2}]_{0}^{1} = (1 - \\frac{1^2}{2}) - (0 - \\frac{0^2}{2}) = 1 - \\frac{1}{2} = \\frac{1}{2}$
• $\\int_{1}^{2} (x-1) dx = [\\frac{x^2}{2} - x]_{1}^{2} = (\\frac{2^2}{2} - 2) - (\\frac{1^2}{2} - 1) = (\\frac{4}{2} - 2) - (\\frac{1}{2} - 1) = (2 - 2) - (-\\frac{1}{2}) = 0 + \\frac{1}{2} = \\frac{1}{2}$ Sumamos los resultados para obtener el área total: $A = (1 - e^{-2}) + \\frac{1}{2} + \\frac{1}{2} = 1 - e^{-2} + 1 = 2 - e^{-2}$

Respuesta: a) Dominio: $\\text{Dom}(f) = \\mathbb{R}$. Continuidad: $f$ es continua en $\\mathbb{R}$. Diferenciabilidad: $f$ es diferenciable en $\\mathbb{R} \\setminus \\{0, 1\\}$. b) Asíntota horizontal: $y=0$ cuando $x \\to -\\infty$. Asíntota oblicua: $y = x - 1$ cuando $x \\to +\\infty$. No hay asíntotas verticales. c) El área de la región pedida es $A = 2 - e^{-2}$ unidades de área.

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A. 3.

Razonamiento:

• El primer láser sigue la trayectoria de la recta $r \\equiv \\frac{x-1}{-1} = \\frac{y}{-2} = \\frac{z+2}{1}$. Un punto de la recta es $A_r(1, 0, -2)$ y su vector director es $\\vec{d}_r = (-1, -2, 1)$.
• El segundo láser se emite desde el punto $P(-1, 0, 0)$ y converge con el primero en el punto $Q(0, 1, 0)$. La trayectoria de este segundo láser es la recta $s$ que pasa por $P$ y $Q$. Un punto de la recta es $P(-1, 0, 0)$ y su vector director es $\\vec{d}_s = \\vec{PQ} = Q - P = (0 - (-1), 1 - 0, 0 - 0) = (1, 1, 0)$. Verificamos que el punto Q pertenece a la recta r: $\\frac{0-1}{-1} = \\frac{1}{-2} = \\frac{0+2}{1} \\implies 1 = -\\frac{1}{2} = 2$ Esto es falso. Hay una inconsistencia en el enunciado. El punto Q(0,1,0) no pertenece a la recta r. Sin embargo, el problema dice que los láseres convergen en Q. Asumiré que el problema quiere decir que el primer láser pasa por Q o que Q es el punto donde deben converger, implicando quizás una corrección de la recta r. Dado que se usa Q como punto de convergencia en los apartados b) y c), asumiré que Q(0,1,0) es el punto de convergencia, y que la recta r dada es correcta, pero el primer láser no pasa naturalmente por Q si sigue esa recta. Sin embargo, para responder a las preguntas tal como están formuladas, trabajaré con la recta r dada y la recta s definida por P y Q.

a) Ángulo entre las trayectorias: El ángulo $\\alpha$ entre las rectas $r$ y $s$ es el ángulo formado por sus vectores directores $\\vec{d}_r = (-1, -2, 1)$ y $\\vec{d}_s = (1, 1, 0)$. Utilizamos la fórmula del producto escalar: $\\cos \\alpha = \\frac{|\\vec{d}_r \\cdot \\vec{d}_s|}{\\|\\vec{d}_r\\| \\|\\vec{d}_s\\|}$ Calculamos los componentes:

• $\\vec{d}_r \\cdot \\vec{d}_s = (-1)(1) + (-2)(1) + (1)(0) = -1 - 2 + 0 = -3$
• $\\|\\vec{d}_r\\| = \\sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + 1^2} = \\sqrt{1 + 4 + 1} = \\sqrt{6}$
• $\\|\\vec{d}_s\\| = \\sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \\sqrt{1 + 1 + 0} = \\sqrt{2}$ Sustituimos en la fórmula: $\\cos \\alpha = \\frac{|-3|}{\\sqrt{6} \\sqrt{2}} = \\frac{3}{\\sqrt{12}} = \\frac{3}{2\\sqrt{3}} = \\frac{3\\sqrt{3}}{2 \\cdot 3} = \\frac{\\sqrt{3}}{2}$ El ángulo es \\alpha = \\arccos\\left(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right) = 30^\\circ (o $\\pi/6$ radianes).

b) Distancia del punto de convergencia Q al plano $\\pi$: El punto de convergencia es $Q(0, 1, 0)$. El plano es $\\pi : x + y - z = -2$, que se puede escribir como $x + y - z + 2 = 0$. La distancia de un punto $Q(x_0, y_0, z_0)$ a un plano $Ax + By + Cz + D = 0$ viene dada por la fórmula: $d(Q, \\pi) = \\frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ En este caso, $(x_0, y_0, z_0) = (0, 1, 0)$ y $A=1, B=1, C=-1, D=2$. $d(Q, \\pi) = \\frac{|1(0) + 1(1) - 1(0) + 2|}{\\sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2}} = \\frac{|0 + 1 - 0 + 2|}{\\sqrt{1 + 1 + 1}} = \\frac{|3|}{\\sqrt{3}} = \\frac{3}{\\sqrt{3}}$ Racionalizando: $d(Q, \\pi) = \\frac{3\\sqrt{3}}{3} = \\sqrt{3}$

c) Plano paralelo a $\\pi$ que pasa por el punto de convergencia Q: Un plano $\\pi'$ paralelo a $\\pi : x + y - z = -2$ tendrá el mismo vector normal $\\vec{n} = (1, 1, -1)$. Por lo tanto, la ecuación de $\\pi'$ será de la forma $x + y - z = D'$ para alguna constante $D'$. Como el plano $\\pi'$ debe pasar por el punto de convergencia $Q(0, 1, 0)$, las coordenadas de Q deben satisfacer la ecuación del plano: $0 + 1 - 0 = D' \\implies D' = 1$ La ecuación del plano paralelo es $x + y - z = 1$.

Respuesta: a) El ángulo formado entre las trayectorias de los láseres es \\alpha = 30^\\circ. b) La distancia del punto de convergencia Q al plano $\\pi$ es $d(Q, \\pi) = \\sqrt{3}$ unidades de longitud. c) El plano paralelo a $\\pi$ que pasa por el punto de convergencia Q es $\\pi' : x + y - z = 1$.

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A. 4.

Razonamiento:

Se dan los sucesos A y B con las siguientes probabilidades:

• $P(A) = 0.1$
• $P(B) = 0.4$
• $P(A | B) = 0.25$

a) Calcular $P(B | A)$: Para calcular $P(B | A)$, necesitamos conocer $P(A \\cap B)$ y $P(A)$. $P(A)$ ya se conoce. Utilizamos la definición de probabilidad condicionada $P(A | B) = \\frac{P(A \\cap B)}{P(B)}$. Despejamos $P(A \\cap B)$: $P(A \\cap B) = P(A | B) \\times P(B)$ $P(A \\cap B) = 0.25 \\times 0.4 = 0.10$ Ahora aplicamos la definición de $P(B | A)$: $P(B | A) = \\frac{P(A \\cap B)}{P(A)}$ $P(B | A) = \\frac{0.1}{0.1} = 1$

b) Calcular $P(A \\cap B)$ y $P(A \\cup B)$:

• $P(A \\cap B)$ ya se calculó en el apartado (a): $P(A \\cap B) = 0.1$
• Para calcular $P(A \\cup B)$, utilizamos la fórmula de la probabilidad de la unión: $P(A \\cup B) = P(A) + P(B) - P(A \\cap B)$ $P(A \\cup B) = 0.1 + 0.4 - 0.1$ $P(A \\cup B) = 0.4$

c) Calcular $P(\\bar{A} \\cup \\bar{B})$, donde $\\bar{A}$ denota el suceso complementario a A. Utilizamos una de las Leyes de De Morgan, que establece que $\\bar{A} \\cup \\bar{B} = \\overline{A \\cap B}$. Por lo tanto, la probabilidad pedida es la probabilidad del suceso complementario de la intersección: $P(\\bar{A} \\cup \\bar{B}) = P(\\overline{A \\cap B})$ Usamos la regla del complementario: $P(\\overline{C}) = 1 - P(C)$. $P(\\overline{A \\cap B}) = 1 - P(A \\cap B)$ Sustituyendo el valor de $P(A \\cap B)$ calculado en el apartado (b): $P(\\bar{A} \\cup \\bar{B}) = 1 - 0.1 = 0.9$

Respuesta: a) $P(B | A) = 1$ b) $P(A \\cap B) = 0.1$ $P(A \\cup B) = 0.4$ c) $P(\\bar{A} \\cup \\bar{B}) = 0.9$