Examen Resuelto Selectividad UCLM 2019 Dibujo Técnico II

OPCIÓN A

EJERCICIO 1 (3 puntos)

Para resolver este ejercicio, primero debemos recordar las propiedades fundamentales de la elipse. Una elipse es el lugar geométrico de todos los puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante e igual a la longitud del eje mayor.

1. Hallar el otro foco ($f'$): Como tenemos el eje mayor ($AB$) y un foco ($f$), podemos encontrar el otro foco ($f'$) reflejando el foco dado ($f$) respecto al centro de la elipse. El centro de la elipse es el punto medio del eje mayor ($AB$). Por lo tanto, la distancia desde $A$ hasta $f$ es igual a la distancia desde $B$ hasta $f'$. Dibujamos un arco con centro en $B$ y radio igual a la distancia $Af$. La intersección de este arco con la recta que contiene a $AB$ nos da la posición del otro foco $f'$.
2. Determinar el eje menor ($CD$): El eje menor es perpendicular al eje mayor y pasa por el centro de la elipse. Su longitud se puede determinar utilizando la relación $a^2 = b^2 + c^2$, donde $a$ es la longitud del semieje mayor, $b$ es la longitud del semieje menor y $c$ es la distancia desde el centro a cada foco. Como conocemos $a$ (la mitad de $AB$) y $c$ (la distancia desde el centro de la elipse hasta $f$), podemos calcular $b$.
3. Hallar puntos de la elipse: Para encontrar puntos de la elipse, tomamos puntos arbitrarios $P$ sobre el eje mayor. Con centro en $f$ y radio $AP$, trazamos un arco. Luego, con centro en $f'$ y radio $BP$, trazamos otro arco. La intersección de estos dos arcos nos da dos puntos de la elipse. Repetimos este proceso para diferentes puntos $P$ sobre el eje mayor para obtener al menos ocho puntos de la elipse.
4. Trazar la tangente: Para trazar la tangente $T$ a la elipse en un punto $P$, dibujamos las líneas que conectan $P$ con los focos ($f$ y $f'$). La bisectriz del ángulo exterior formado por estas dos líneas es la tangente a la elipse en el punto $P$.

Razonamiento: La propiedad fundamental de la elipse nos permite encontrar puntos en ella sumando distancias a los focos. La relación entre los semiejes y la distancia focal nos permite determinar el eje menor. La construcción de la tangente se basa en la propiedad de que la tangente en un punto de la elipse es la bisectriz del ángulo exterior formado por las líneas que unen ese punto con los focos.

Solución gráfica:

EJERCICIO 2 (2 puntos)

La sección de un cilindro por un plano es, en general, una elipse. En este caso, como el plano es oblicuo al eje del cilindro, la sección será una elipse.

1. Determinar los ejes de la elipse en proyección: Para determinar los ejes de la elipse en proyección, buscamos los puntos de intersección del plano $\\alpha$ con el contorno aparente del cilindro, tanto en la proyección horizontal como en la vertical.
   • Proyección horizontal: Los puntos extremos del eje mayor de la elipse en proyección horizontal se encuentran en la intersección de la traza horizontal del plano $\\alpha$ con el contorno aparente horizontal del cilindro.
   • Proyección vertical: Los puntos extremos del eje mayor de la elipse en proyección vertical se encuentran en la intersección de la traza vertical del plano $\\alpha$ con el contorno aparente vertical del cilindro.
2. Hallar la verdadera magnitud de la sección: Para hallar la verdadera magnitud de la sección, necesitamos abatir el plano $\\alpha$ sobre un plano de proyección. Esto lo podemos hacer utilizando la traza horizontal como charnela. Una vez abatido el plano, los puntos de intersección con el cilindro se abaten y podemos determinar la verdadera magnitud de los ejes de la elipse.
3. Puntos de la elipse: Además de los puntos extremos de los ejes, podemos encontrar otros puntos de la elipse intersecando el plano $\\alpha$ con generatrices del cilindro. Proyectamos estas generatrices en ambas vistas, las intersecamos con las trazas correspondientes del plano $\\alpha$, y luego abatimos estos puntos para obtener su posición en la verdadera magnitud de la sección.

Razonamiento: La sección de un cilindro por un plano oblicuo es una elipse. Los ejes de la elipse en proyección se obtienen intersecando el plano con el contorno aparente del cilindro. La verdadera magnitud de la sección se obtiene abatiendo el plano secante.

Solución gráfica:

EJERCICIO 3 (2 puntos)

Para dibujar una recta perpendicular a un plano, debemos recordar que las proyecciones de la recta serán perpendiculares a las trazas homónimas del plano.

1. Determinar las trazas del plano $\\alpha$: Como tenemos la proyección horizontal ($s'$) de la recta de máxima pendiente y un punto $A$ del plano, podemos determinar las trazas del plano. La traza horizontal del plano ($\\alpha_1$) será perpendicular a $s'$ y pasará por la traza horizontal de la recta de máxima pendiente. La traza vertical del plano ($\\alpha_2$) se obtiene uniendo la traza vertical de la recta de máxima pendiente con la intersección de la línea de tierra y la línea de referencia del punto $A$. La traza vertical de la recta de máxima pendiente ($V_s$) se encuentra en la intersección de la línea de referencia de la proyección $s'$ con la proyección vertical $s''$, que se traza perpendicular a la línea de tierra.
2. Dibujar las proyecciones de la recta $R$: Como la recta $R$ es perpendicular al plano $\\alpha$, su proyección horizontal ($r'$) será perpendicular a la traza horizontal del plano ($\\alpha_1$) y su proyección vertical ($r''$) será perpendicular a la traza vertical del plano ($\\alpha_2$). Ambas proyecciones deben pasar por las proyecciones correspondientes del punto $A$, es decir, $r'$ pasa por $A'$ y $r''$ pasa por $A''$.

Razonamiento: Una recta es perpendicular a un plano si sus proyecciones son perpendiculares a las trazas homónimas del plano. Las trazas del plano se determinan a partir de la recta de máxima pendiente y un punto conocido del plano.

Solución gráfica:

EJERCICIO 4 (3 puntos)

Para dibujar las vistas de la pieza, debemos proyectar ortogonalmente la pieza sobre los planos de proyección (alzado, planta y perfil).

1. Alzado: El alzado se obtiene proyectando la pieza sobre el plano vertical. Observamos la pieza desde el frente y dibujamos lo que vemos. Las aristas ocultas se representan con líneas discontinuas.
2. Planta: La planta se obtiene proyectando la pieza sobre el plano horizontal. Observamos la pieza desde arriba y dibujamos lo que vemos. Las aristas ocultas se representan con líneas discontinuas.
3. Perfil: El perfil se obtiene proyectando la pieza sobre el plano de perfil. Observamos la pieza desde el lateral izquierdo y dibujamos lo que vemos. Las aristas ocultas se representan con líneas discontinuas.
4. Correspondencia entre vistas: Las vistas deben estar alineadas correctamente. La altura del alzado debe coincidir con la altura del perfil. La anchura del alzado debe coincidir con la profundidad de la planta. La profundidad del perfil debe coincidir con la anchura de la planta.

Razonamiento: Las vistas de un objeto se obtienen proyectando ortogonalmente el objeto sobre los planos de proyección. La correspondencia entre vistas se basa en la alineación de las dimensiones del objeto en los diferentes planos.

Solución gráfica:

OPCIÓN B

EJERCICIO 1 (3 puntos)

Para resolver este ejercicio de homología, necesitamos encontrar la relación entre el triángulo dado $ABC$ y su homólogo $A'B'C'$, utilizando el punto doble $P=P'$ y el lado homólogo $A'B'$.

1. Dibujar el eje de Homología E: El eje de homología es la recta que contiene todos los puntos dobles. Como tenemos un punto doble $P=P'$, y sabemos que los puntos de intersección de lados homólogos también son puntos dobles, podemos encontrar otro punto doble. Unimos $A$ con $A'$ y $B$ con $B'$. La intersección de estas dos rectas con el lado $A'B'$ nos da dos puntos que, unidos con $P$, definen el eje de homología $E$.
2. Dibujar el Centro de Homología C: El centro de homología es el punto de intersección de las rectas que unen puntos homólogos. Como ya tenemos las rectas $AA'$ y $BB'$, su intersección nos da el centro de homología $C$.
3. Dibujar el triángulo A'B'C': Para encontrar el vértice $C'$, unimos $C$ con $C$ hasta que corte al eje de homología en un punto. Luego, unimos este punto con la intersección de la recta $BC$ con el eje de homología. La intersección de esta última recta con la recta que une $C$ y el centro de homología nos da el punto $C'$. Unimos $A'$, $B'$ y $C'$ para obtener el triángulo homólogo.

Razonamiento: En una homología, el eje de homología contiene todos los puntos dobles, y el centro de homología es el punto de intersección de las rectas que unen puntos homólogos. Estos conceptos nos permiten encontrar la relación entre las figuras dadas y construir la figura homóloga.

Solución gráfica:

EJERCICIO 2 (2 puntos)

Para encontrar el punto $B$ del plano $\\alpha$ más próximo a $A$, debemos trazar una recta perpendicular al plano $\\alpha$ que pase por $A$ y encontrar su intersección con el plano.

1. Trazar la recta perpendicular a $\\alpha$ por $A$: Dibujamos una recta $r$ cuyas proyecciones sean perpendiculares a las trazas homónimas del plano $\\alpha$. Es decir, la proyección horizontal $r'$ es perpendicular a la traza horizontal $\\alpha_1$ y la proyección vertical $r''$ es perpendicular a la traza vertical $\\alpha_2$. Ambas proyecciones deben pasar por las proyecciones correspondientes del punto $A$, es decir, $r'$ pasa por $A'$ y $r''$ pasa por $A''$.
2. Encontrar la intersección de la recta con el plano: Para encontrar la intersección de la recta $r$ con el plano $\\alpha$, podemos utilizar un plano proyectante que contenga a la recta $r$. Por ejemplo, podemos utilizar el plano proyectante horizontal que contiene a $r$. La traza horizontal de este plano coincidirá con $r'$. La intersección de este plano proyectante con el plano $\\alpha$ es una recta $i$. La intersección de la recta $i$ con la recta $r$ nos da el punto $B$, que es el punto del plano $\\alpha$ más próximo a $A$.
3. Hallar la verdadera magnitud de la distancia AB: Para hallar la verdadera magnitud de la distancia $AB$, podemos utilizar el método de diferencia de cotas o el método de giro. En este caso, podemos usar la diferencia de cotas, ya que tenemos las proyecciones de $A$ y $B$. La diferencia de cotas entre $A$ y $B$ es la distancia vertical entre sus proyecciones verticales. Construimos un triángulo rectángulo donde un cateto es la diferencia de cotas y el otro cateto es la proyección horizontal de $AB$. La hipotenusa de este triángulo es la verdadera magnitud de la distancia $AB$.

Razonamiento: El punto más cercano de un plano a un punto exterior se encuentra en la intersección de una recta perpendicular al plano trazada desde el punto exterior con el plano. La verdadera magnitud de la distancia se puede obtener mediante métodos de geometría descriptiva, como la diferencia de cotas o el giro.

Solución gráfica:

EJERCICIO 3 (2 puntos)

Para resolver este ejercicio, necesitamos encontrar las trazas del plano definido por los tres puntos dados y luego abatir el plano para encontrar la verdadera magnitud de la altura.

1. Dibujar las trazas del plano $\\alpha$: Para encontrar las trazas del plano, primero unimos los puntos $A$ y $B$ para formar una recta $r$, y los puntos $B$ y $C$ para formar una recta $s$. Luego, encontramos las trazas horizontales y verticales de estas rectas. La traza horizontal del plano ($\\alpha_1$) se obtiene uniendo las trazas horizontales de las rectas $r$ y $s$. La traza vertical del plano ($\\alpha_2$) se obtiene uniendo las trazas verticales de las rectas $r$ y $s$.
2. Determinar la verdadera magnitud de la altura h: Para encontrar la verdadera magnitud de la altura $h$ del triángulo $ABC$ respecto a la base $AB$, necesitamos abatir el plano $\\alpha$ sobre un plano de proyección. Usaremos la traza horizontal ($\\alpha_1$) como charnela. Abatimos los puntos $A$, $B$ y $C$ utilizando la charnela. Una vez abatidos, dibujamos el triángulo $ABC$ en su verdadera magnitud. Trazamos la altura $h$ desde el vértice $C$ perpendicular a la base $AB$ en el plano abatido. La longitud de esta altura en el abatimiento es la verdadera magnitud de la altura $h$.

Razonamiento: Las trazas de un plano se determinan a partir de las trazas de dos rectas contenidas en el plano. La verdadera magnitud de una figura plana se obtiene abatiendo el plano que la contiene sobre un plano de proyección.

Solución gráfica:

EJERCICIO 4 (3 puntos)

Para dibujar la pieza en perspectiva isométrica, debemos representar las tres dimensiones de la pieza (ancho, alto y profundidad) en un solo dibujo, utilizando los ejes isométricos.

1. Dibujar los ejes isométricos: Los ejes isométricos forman ángulos de 120° entre sí. El eje vertical representa la altura, y los otros dos ejes representan el ancho y la profundidad.
2. Situar el punto O: El punto $O$ se sitúa en la intersección de los tres ejes isométricos.
3. Dibujar la pieza: A partir del punto $O$, medimos las dimensiones de la pieza a lo largo de los ejes isométricos correspondientes, teniendo en cuenta que las medidas se mantienen en una proporción de 1:1. Dibujamos las aristas de la pieza, uniendo los puntos correspondientes. No se dibujan las líneas ocultas.

Razonamiento: La perspectiva isométrica es un tipo de proyección axonométrica que permite representar objetos tridimensionales en un plano, conservando las proporciones en las tres direcciones principales. Los ejes isométricos forman ángulos de 120° entre sí, lo que permite una representación visualmente clara del objeto.

Solución gráfica: